2023-2024学年高中下学期期末高一数学期末卷02（全解全析）（人教A版2019）

这是一份2023-2024学年高中下学期期末高一数学期末卷02（全解全析）（人教A版2019），共15页。试卷主要包含了测试范围，已知甲种杂交水稻近五年的产量等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：（必修第二册）人教A版2019
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复平面内复数所对应的点为，则（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】B
【解析】 因为复数所对应的点为，所以，
所以，故选：B.
2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】B
【解析】 因为，，，
所以，则.故选：B
3．《2023年五一出游数据报告》显示，济南凭借超强周边吸引力，荣登“五一”最强周边游“吸金力”前十名榜单．其中，济南天下第一泉风景区接待游客100万人次，济南动物园接待游客30万人次，千佛山景区接待游客20万人次．现采用按比例分层抽样的方法对三个景区的游客共抽取1500人进行济南旅游满意度的调研，则济南天下第一泉风景区抽取游客（ ）
A．1000人B．300人C．200人D．100人
【答案】A
【解析】 依题意济南天下第一泉风景区应抽取游客（人）.
故选：A
4．如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【解析】 因为为平行四边形对角线上一点，交于点，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，故选：C
5．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A．若，，则B．若，，则
C．若，，则D．若，，则
【答案】B
【解析】 对于A选项，若，，则或异面，故A选项错误；
对于B选项，若，，则，故B选项正确；
对于C选项，若，，则或或相交，故C选项错误；
对于D选项，若，，则或，故D选项错误；
故选：B
6．如图，某圆柱侧面展开图的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
v由斜二测画法得，在原图矩形ABCD中，，所以该圆柱的高为，底面半径为，故该圆柱的体积为．故选：B
7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（ ）（，）

A．B．C．D．
【答案】B
【解析】 依题意得，，
在中，米，，
由正弦定理得，得米，
又
所以该山顶的海拔高度为米.
故选：B
8．一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，事件“第一次向上一面的数字是2”，事件“第二次向上一面的数字是3”，事件“两次向上一面的数字之和是7”，事件 “两次向上一面的数字之和是8”，则（ ）
A．与相互独立B．与相互独立
C．与相互独立D．与相互独立
【答案】D
【解析】 投掷这枚骰子两次，共有个基本事件，
共个基本事件，则，
共个基本事件，则，
共个基本事件，则，
共个基本事件，则，
事件为不可能事件，则，
所以与不相互独立，故A错误；
事件共个基本事件，则，
所以与不相互独立，故B错误；
事件共个基本事件，则，
所以与不相互独立，故C错误；
事件共个基本事件，则，
所以与相互独立，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则（ ）
A．甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
B．甲种的样本方差大于乙种的样本方差
C．甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数
D．甲乙两种水稻近五年的总方差为
【答案】ACD
【解析】 对于A，，，正确；
对于B，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；
对于C，，故甲种样本的分位数为，
乙种样本的分位数为，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确；
对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为0.072，
故甲乙两种水稻近五年的总方差为
，
正确.
故选：ACD
10．在中，角的对边分别为，为的外心，则（ ）
A．若有两个解，则
B．的取值范围为
C．的最大值为9
D．若为平面上的定点，则A点的轨迹长度为
【答案】ABD
【解析】 对于A，由正弦定理，得，
有两解的情形为，且，则，故A正确；
对于B，由正弦定理，得外接圆半径，
由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，，
于是，故B正确；
对于C，法一：用投影向量求解：当在上的投影向量的模最大，且与同向时，取得的最大值，此时，
设为的中点，则，
在上的投影向量的模为，最大值为，故C错误；

法二：转化到圆心：，故C错误；
对于D，如下图，由正弦定理知A点在以为圆心半径为的优弧上运动，由两段优弧拼接成，每段优弧所对圆心角为，
所以A点的轨迹长度为，故D正确．

故选：ABD.
11．如图1，在等腰梯形中，，，，，，将四边形沿进行折叠，使到达位置，且平面平面，连接，，如图2，则（ ）

A．B．平面平面
C．多面体为三棱台D．直线与平面所成的角为
【答案】ABD
【解析】 对于A，因为平面平面，
平面平面，，平面，
所以平面，所以，A正确.
对于B，因为，平面，平面，
则平面，
又，平面，平面，
则平面，
又，平面，所以平面平面，B正确.
对于C，因为，，则，
所以多面体不是三棱台，C错误.
对于D，延长，相交于点G，
因为平面平面，平面平面，平面，，
所以平面，则为直线与平面所成的角.
因为，所以，
解得，，，
则，D正确.

故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知，是单位向量，且，则向量与的夹角为 ．
【答案】
【解析】 ，同理，
，，
由向量夹角的范围为，所以向量与的夹角为.
13．九宫格的起源可以追溯到远古神话中的洛书，洛书上的图案正好对应着从1到9九个数字，并且纵向、横向、斜向三条线上的三个数字的和（这个和叫做幻和）都等于15，即现代数学中的三阶幻方.根据洛书记载：“以五居中，五方皆为阳数，四隅为阴数”，其意思为：九宫格中5位于居中位置，四个顶角为偶数，其余位置为奇数.如图所示，若随机填写一组幻和等于15的九宫格数据，记事件”，则的值为 .
【答案】/
【解析】 由题意九宫格的中间位置填，位置填偶数，位置填奇数，
因为每一横行，每一竖列以及两条对角线上三个数字之和都等于，
所以、位置填或，
先从中任意选出一个数填入位置，则有个结果，
若填，
则填，填，填，填，填，填，填；
或填，填，填，填，填，填，填；
共包含个结果；
所以总的结果个数为个
其中符合的情况有，，，，，共个，
所以.
14．已知正方体的棱长均为2．以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线长为 ．
【答案】
【解析】 取中点，中点，中点，中点，
由题意可得，，，
在平面内取一点，使得，则，
且，所以以中点为球心，为半径的球面与侧面的交线
是以为圆心，为半径的圆弧，且，则，则圆弧的长为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（本小题满分13分）某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率．
【解】（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
；
（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
（3）由频率分步直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取5人，则在分别抽取3人和2人，
记这组三人的编号为这组两人的编号为，
故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：
设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则，共6种情况．
故，
即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为．
16．（本小题满分15分）在锐角中，内角的对边分别为，向量，，且．
(1)求；
(2)若为中点，，的面积为，求的长．
【解】（1）因为向量，，且，
所以，由正弦定理可得，因为，
所以，又，所以.
（2）因为的面积为，所以，
又，，所以，
所以，在中
，
所以.
17．（本小题满分15分）甲，乙两人进行游戏比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为，负的概率为，且每局比赛之间的胜负相互独立．
(1)求第三局结束时甲获胜的概率；
(2)求乙最终以分获胜的概率．
【解】（1）设事件为“第三局结束甲获胜”，
由题意知，甲每局获胜的概率为，不获胜的概率为．
若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
故.
（2）由题知，每局比赛中，乙获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，
设事件为“乙最终以分获胜”．
若第二局结束乙获胜，则乙两局连胜，此时的概率．
若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．
此时的概率．
若第四局结束乙以分获胜，则乙第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：
（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），
（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．
此时的概率
故.
18．（本小题满分17分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．

(1)请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；
(2)求证：平面；
(3)当点运动时，试判断三棱锥的体积是否为定值?若是，求出该定值及点到平面的距离；若不是，说明理由．
【解】（1）如图，点为的中点，连接，

由为中点，则，又，
所以，所以四点共面，
故平面与棱柱的截面为．
（2）证明：因为在与中，，
所以，又，
所以，
所以，
，且平面，
所以平面，
即平面；
（3）由（2）知平面，又平面，
所以，又，
所以，
又，且平面，
所以平面，
又，所以到平面的距离等于到平面的距离，
所以
，
所以三棱锥的体积为定值．
中，，
所以，
由，
可得，
所以点到平面的距离为．
19．（本小题满分17分）平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:
(1)若，求向量的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.
【解】（1），则，
.
（2）设，，
，
所以，
同理可得，
（3）设，又，则，
由，
，
，
得，
所以DE的中点坐标为.
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