高一数学期末模拟卷（天津专用，范围：平面向量解三角形复数立体几何统计概率）2023-2024学年高中下学期（全解全析）

这是一份高一数学期末模拟卷（天津专用，范围：平面向量解三角形复数立体几何统计概率）2023-2024学年高中下学期（全解全析），共11页。试卷主要包含了单项选择题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（5分）复数的虚部为
A．B．C．1D．
【解答】解：复数，
所以该复数的虚部为1．
故选：．
【点评】本题考查了复数的定义与化简问题，是基础题．
2．（5分）有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数是
A．11B．12C．16D．17
【解答】解：根据题意，数据从小到大排列为11，11，11，13，13，13，14，15，16，18，20，24，
由于，
则其上四分位数．
故选：．
【点评】本题考查百分位的计算，注意“上四分位数”的定义，属于基础题．
3．（5分）平行四边形中，，，交于，则等于
A．B．3C．D．6
【解答】解：由题意知平行四边形中，，，
得．
故选：．
【点评】本题考查平面向量的数量积，注意将式子转化为容易运算的条件，属于基础题．
4．（5分）已知向量，它们的夹角为，则
A．4B．12C．2D．
【解答】解：因为向量满足，且它们的夹角为，
所以，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，考查了计算能力，属于中档题．
5．（5分）已知三条不重合的直线、、，两个不重合的平面、，下列四个命题中正确的是
A．若，，，则B．若，，且，则
C．若，，，，则D．若，，则
【解答】解：对选项，根据面面垂直的性质定理可知：
若，，，且时，才能得到，选项错误；
对选项，，，且，，选项正确；
对选项，根据面面平行的判定定理可知：
若，，，，且与相交时，才能得到，选项错误；
对选项，若，，则或，选项错误．
故选：．
【点评】本题考查空间中线面关系，面面关系，面面垂直的性质定理，面面平行的判定定理，空间想象力，属基础题．
6．（5分）甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：
记甲、乙两台机床在这10天中生产次品数的平均数分别为，方差分别为则下列说法正确的是
A．B．
C．D．
【解答】解：，
，
，
，
．
故选：．
【点评】本题主要考查平均数和方差的公式，属于基础题．
7．（5分）如图，在矩形中，，，为上一点，．若，则的值为
A．B．C．D．
【解答】解：由题意建立如图所示直角坐标系，
则，，，
，，设，
，，，解得，
，，，，，
，，．
故选：．
【点评】本题主要考查了向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示，属于中档题．
8．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，，，则的形状是
A．等腰直角三角形B．钝角三角形
C．锐角三角形D．直角三角形
【解答】解：因为，，，
由余弦定理可得，，
因为，
则为直角三角形．
故选：．
【点评】本题考查了解三角形的应用，三角形形状的判断，余弦定理的运用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
9．（5分）已知四棱锥的顶点都在球的球面上，底面是矩形，平面底面，为正三角形，，则球的表面积为
A．B．C．D．
【解答】解：令所在圆的圆心为，则圆的半径，
因为平面底面，
所以，
则球的半径，
所以球的表面积．
故选：．
【点评】本题考查四棱锥外接球的半径的求法，属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）每年的3月15日是“国际消费者权益日”，某地市场监管局在当天对某市场的20家肉制品店、100家粮食加工品店和15家乳制品店进行抽检，要用分层抽样的方法从中抽检27家，则粮食加工品店需要被抽检 20 家．
【解答】解：根据分层抽样原理知，粮食加工品店需要被抽检（家．
故答案为：20．
【点评】本题考查了分层抽样原理，是基础题．
11．（5分）已知复数，，是正实数，则复数 ．
【解答】解：设复数，
，
，是正实数，
，解得：．
则复数．
故答案为：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
12．（5分）如果球的半径为3，那么它的体积为 ．
【解答】解：球的半径为3，
球的体积为．
故答案为：．
【点评】本题考查球的体积，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5分）已知圆柱的体积为（单位：，且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位：是 ．
【解答】解：根据题意，设这个圆柱的底面半径为，高为，
若它的侧面展开图是正方形，则，
若圆柱的体积为，则有，
解可得：，
故答案为：．
【点评】本题考查圆柱的几何结构，注意圆柱的侧面展开图的性质，属于基础题．
14．（5分）已知向量，为单位向量，当向量，的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量是 ．
【解答】解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为，
故答案为：．
【点评】本题考查投影向量的定义，考查平面向量数量积运算公式，属于基础题．
15．（5分）已知，夹角为，，与夹角为，如图所示位置，若， ， ．
【解答】解：如图所示，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系，
设，的终点坐标为，，，
则，所以，
因为，且与的夹角为，
则可求出点的坐标为，所以，
又，且与的夹角为，则与轴的夹角为，
则可求出点的坐标为，，所以，
所以由可得：，，
所以，解得，，
故答案为：，2．
【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到向量坐标的运算性质，考查了学生的运算能力，属于基础题．
三．解答题（共6小题，满分75分）
16．（10分）复数．
（1）若为纯虚数求实数的值，及在复平面内对应的点的坐标；
（2）若在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）若为纯虚数，
则，即，此时复数在复平面内对应的点的坐标；
（2）由（1）得
因为在复平面内对应的点位于第三象限，
所以，
解得．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
17．（10分）在中，内角，，所对的边分别是，，，已知，，．
（1）求：的值；
（2）求：的面积．
【解答】解：（1）由正弦定理及，得，即，
由于，所以，
由余弦定理知，，
所以．
（2）由于，所以是锐角，
所以，
所以．
【点评】本题考查解三角形，熟练掌握正余弦定理，三角形的面积公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18．（10分）甲、乙、丙三人进行投球练习，每人投球一次．已知甲命中的概率是，甲、丙都未命中的概率是，乙、丙都命中的概率是．若每人是否命中互不影响．
（1）求乙、丙两人各自命中的概率；
（2）求甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．
【解答】解：（1）记“甲投球命中”为事件，“乙投球命中”为事件，“丙投球命中”为事件，
则，解得，
，解得，
所以乙、丙两人各自命中的概率分别为、．
（2）甲、乙、丙三人中2人命中的概率
，
甲、乙、丙三人中都命中的概率，
所以甲、乙、丙三人中不少于2人命中的概率．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
19．（15分）某高中为了解本校高一年级学生的综合素养情况，从高年级的学生中随机抽取了名学生作为样本，进行了“综合素养测评”，根据测评结果绘制了测评分数的频率分布直方图和频数分布表，如图．
（1）求，，的值；
（2）由频率分布直方图分别估计该校高一年级学生综合素养成绩的中位数（精确到、平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（3）在选取的样本中，从低于60分的学生中随机抽取两人，求抽取的两名学生成绩属于同一组的概率．
【解答】解：（1）由图知第三组的频率为0.25，又由第三组的频数为10，
所以，
所以，；
（2）平均数（分，
设中位数为，
因为，，
所以，，
则，
解得，
即中位数约为73.33分；
（3）记事件：从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组，
由（1）知样本中位于，内的有两人，分别记为，；位于，内的有四人，分别记为，，，，
从低于60分的学生中随机抽取两人的样本空间，，，，，，，，，，，，，，共包含15个样本点，
所以，，，，，，共包含7个样本点，
所以，
即从低于60分的学生中随机抽取两人成绩属于同一组的概率为．
【点评】本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
20.（15分）在三棱台中，若平面，，，，，分别为，中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
【答案】（Ⅰ）证明见解答；（Ⅱ）；（Ⅲ）．
【考点】直线与平面平行；二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算
【分析】（Ⅰ）连接，推得四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质和线面平行的判定定理可得证明；
（Ⅱ）运用三垂线定理得到平面与平面所成角，再解直角三角形可得所求值；
（Ⅲ）运用等积法和三棱锥的体积公式可得所求距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：连接，可得为△的中位线，
可得，且，
而，，
则，，
可得四边形为平行四边形，
则，
而平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）取的中点，连接，
由，，可得．
由平面，平面，
可得，
可得平面．
过作，垂足为，连接，
由三垂线定理可得，
可得为平面与平面所成角．
由．
在矩形中，，
所以；
（Ⅲ）设到平面的距离为．
在△中，，，，
则．
由，可得，
解得．
21．（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）为的内角平分线，且与直线交于点．
（ⅰ）求证：；
（ⅱ）若，，求的长．
【解答】解：（1）由题设，则，故，
所以，又，故．
（2）证明：由题设，若上的高为，
又，，
所以，即．
由，则，又为锐角，故，
若，则，且，，
由余弦定理知：，
所以，可得或，
当，则，，此时，则；
当，则，即，不符合题设；
综上，．
平均值
即为75百分位数，故D正确.故选：BCD
甲
2
3
1
1
0
2
1
1
0
1
乙
0
1
0
2
2
0
3
1
2
4
，
，
，
，
，
，
4
10
12
8
4