贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试卷

这是一份贵州省贵阳市南明区部分学校2023-2024学年高一下学期6月联考数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数，则( )
A. 2B. C. 5D.
2.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是( )
A. 和B. 和
C. 和D. 和
3.已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是( )
A. B. C. D.
4.a，b为不重合的直线，，为互不相同的平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，则D. 若，，则或a与b异面
5.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，若，则的形状一定( )
A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形
6.下列说法不正确的是( )
A. 正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形
B. 棱台的各侧棱延长线必交于一点
C. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台
D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形
7.人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，定义余弦相似度为，余弦距离为已知，，若P，Q的余弦距离为则( )
A. B. C. D.
8.如图，在正方体中，，E在线段上，则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题中，真命题为( )
A. 复数为纯虚数的充要条件是
B. 复数的共轭复数为
C. 复数的虚部为
D. 复数，则
10.已知，，是平面上三个非零向量，下列说法正确的是( )
A. 一定存在实数x，y使得成立
B. 若且，那么一定有
C. 若，那么
D. 若，那么，，一定相互平行
11.已知某市2017年到2022年常住人口单位：万变化图如图所示，则( )
A. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万
B. 该市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势
C. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为万
D. 该市2017年到2022年这6年的常住人口的平均数大于718万
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，，平面内一点P，满足，的最大值是______.
13.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是__________.
14.已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是，，，a，如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，则a的最大值是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球或黄球的概率是，得到黄球或蓝球的概率是
求盒中红球、黄球、蓝球的个数；
随机试验：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色.
写出该试验的样本空间；
设置游戏规则如下：若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜.从概率的角度，判断这个游戏是否公平，请说明理由.
16.本小题15分
为提倡节约用水，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过简单随机抽样抽取2023年500个家庭的月均用水量单位：，将数据按照分成6组，绘制的频率分布直方图如图所示，已知这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为
在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有多少户？
求a，b的值；
估计这500个家庭的月均用水量的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
17.本小题15分
已知向量
若，且，求向量在向量上的投影向量的坐标；
若向量，且，求向量夹角的余弦值.
18.本小题17分
在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，已知，
求角B；
若M是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；
若D是中AC上的一点，且满足，求的取值范围.
19.本小题17分
如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点.
证明：平面
求异面直线与CD所成角的余弦值.
在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求的值；若不存出在，说明理由.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：，
故选：
由复数代数形式的乘法运算化简，然后直接利用复数模的公式求复数z的模．
本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数模的求法，是基础题．
2.【答案】B
【解析】解：对于A，可设，可知且，显然不成立，所以这两个向量可作为基底，
同理可知，C，D选项中的两个向量都可构成基底；
对于B，，所以这两个向量不构成基底．
故选：
当两向量不共线时，可作为基底，据此判断即可．
本题考查平面向量基本定理与向量共线的判断方法，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，
不妨设，，
又非零向量与的夹角为，
则，
设，
又向量满足，
则
即，
又到直线的距离为，
则的最小值是
故选：
由平面向量数量积的运算，结合圆的性质及点到直线的距离公式求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题．
4.【答案】D
【解析】解：a，b为不重合的直线，，为互不相同的平面，
对于A，若，，，则a与b平行或异面，故A错误；
对于B，若，，，则与相交或平行，故B错误；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，则由线面平行的性质得或a与b异面，故D正确．
故选：
对于A，a与b平行或异面；对于B，与相交或平行；对于C，或；对于D，由线面平行的性质得或a与b异面．
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】A
【解析】解：，
由正弦定理得，
即，
又A，B为的内角，
所以
故选：
结合正弦定理，以及三角形内角和定理，即可求解．
本题主要考查三角形的形状判断，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由正棱锥的定义，正棱锥的底面是正多边形，侧面都是等腰三角形，A正确；
对于B，棱台的各侧棱延长线必交于一点，B正确；
对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台，C错误；
对于D，由棱柱的定义，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，D正确．
故选：
根据题意，由棱锥、棱柱、棱台的结构特征依次分析选项，综合可得答案．
本题考查棱柱、棱锥、棱台的结构特征，涉及棱锥的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由，可得，
所以，
则，
所以，
故
故选：
由已知定义，结合同角基本关系先求出，然后结合诱导公式进行化简即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了向量数量积的坐标表示，诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接AC，，，，将平面和平面展开到同一平面，
连接，交于点M，
则，
因为，所以，
所以四边形为菱形，，
则
故选：
连接AC，，，，将平面和平面展开到同一平面，连接求解即可．
本题考查利用展开法求线段和的最值问题，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查复数的概念与分类，共轭复数，复数的乘法与除法，属于基础题．
根据纯虚数的定义判断A，根据共轭复数的定义判断B，根据虚部的定义判断C，根据复数的乘法与除法判断
【解答】
解：复数为纯虚数的充要条件是且，故A错误，
复数的共轭复数是，故B正确，
复数的虚部为，故C正确，
复数，则，故，故D正确，
故选：
10.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查向量垂直与数量积的关系，属于基础题．
对于选项A，没有声明和不共线；
对于选项B，利用向量垂直的定义即可判断；
对于选项C，将变形成，再平方后变形即可判断；
对于选项D，利用两向量垂直，则数量积等于零，可令与垂直，与垂直，即得到反例．
【解答】
解：对于选项A，当与共线，与不共线时，不存在x、y使得成立，故A选项错误；
对于选项B，因为，所以，即，
所以，故B选项正确；
对于选项C，若，则，
因为，
所以，
因为，所以，即，则，
又因为，所以，
所以，故C选项正确；
对于选项D，当与垂直，与垂直时，成立，但是，，不相互平行，
故D选项错误．
故选
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，该市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为：
，，，，，，
则极差为万，故A正确；
对于B，由图可知该市2017年到2022年这6年的常住人口有增有减，故B错误；
对于C，，第60百分数位为万，故C正确；
对于D，平均数为万，故D错误．
故选：
由百分位数，极差和平均数的定义对选项一一判断即可得出答案．
本题考查百分位数、极差、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图，由向量的数量积定义和可得，
，
所以，由角平分线定理可得：，
设，则，由，，可得，
由余弦定理：，当且仅当，即时等号成立，
因为，则，所以，
所以的最大值是
故答案为：
由向量的数量积定义和条件易得，利用三角形的角平分线定理可得，设，求出x的取值范围，借助于余弦定理得到的解析式，由基本不等式求得的范围，由正弦函数的图象即得的最大值．
本题主要考查向量的数量积定义和余弦定理、基本不等式的综合应用，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：由余弦定理可得，
可得，
由正弦定理可得：，又因为，
整理可得：，
即：，即，又因为，
可得，，
所以；
由余弦定理可得，，
所以，
解得，三角形中，任意两边之和大于第三边可得，
所以的范围为
故答案为：
由题意及余弦定理，正弦定理可得，再由，可得角A的大小，由余弦定理及基本不等式可得的最大值，再由三角形中，任意两边之和大于第三边可得，可得的范围．
本题考查余弦定理，正弦定理，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
14.【答案】
【解析】解：甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是，，，a，
甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，
，
解得
的最大值是
故答案为：
由甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率，利用对立事件概率计算公式列出方程，由此能求出a的最大值．
本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】解：从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，
因为A，B，C为两两互斥事件，
由已知得，
解得，
盒中红球、黄球、蓝球的个数分别是2，1，1；
由知红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，
则样本空间；
由得，记“取到两个球颜色相同”为事件M，“取到两个球颜色不相同”为事件N，
则，
所以，
所以，
因为，所以此游戏不公平．
【解析】从中任取一球，分别记得到红球、黄球、蓝球为事件A，B，C，根据A，B，C为两两互斥事件，由求解．
根据红球、黄球、蓝球个数分别为2，1，1，用1，2表示红球，用a表示黄球，用b表示蓝球，m表示第一次取出的球，n表示第二次取出的球，表示试验的样本点，列举出来；由利用古典概型的概率求解．
本题主要考查了样本空间的定义，考查了古典概型的概率公式，属于中档题．
16.【答案】解：由频率分布直方图可知，月均用水量在内的家庭的频率为，
则在这500个家庭中月均用水量在内的家庭有户．
由频率分布直方图，可得，
则，
因为这500个家庭的月均用水量的第27百分位数为，
所以在，
则，
解得，
估计这500个家庭的月均用水量的平均值为：

【解析】求得月均用水量在内的频率，根据频数公式求解即可；
根据频率分布直方图的性质和月均用水量的第27百分位数为，列方程求解即可；
根据平均数公式列式计算即可求解．
本题考查由频率分布直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
17.【答案】解：因为，
所以，
因为，所以
即，因为，解得，
所以，，
所以，，
则向量在向量上的投影向量为，其坐标为；
因为，所以，
因为，所以，解得，
所以，则，
因为，
所以
【解析】由建立方程即可求出x，再由投影向量的定义计算即可；
由建立方程求得x，由平面向量数量积与夹角计算即可．
本题考查平面向量垂直与平行的应用，平面向量的数量积与夹角求法，属于中档题．
18.【答案】解：已知，
则，
则，
又，
则，
则，
又，
即；
已知点M是内一动点，，
则，
则，
则，
又，
由余弦定理可得：，
即，
又，当且仅当时取等号，
即，
即，当且仅当时等号成立，
即；
因为，
所以，
所以，
即BD平分，
所以，
所以，
又，
所以，
所以，
所以，
所以，
即，
故的取值范围为
【解析】由正弦定理及两角和的正弦公式求解；
由向量的线性运算，结合余弦定理及基本不等式求解；
由正弦定理，结合三角函数的性质求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了正弦定理及余弦定理，属中档题．
19.【答案】证明：正三棱柱中，则为等边三角形，D为AB的中点，
所以，而平面ABC，平面ABC，
所以，又因为，
所以平面平面；
解：取到的中点，连接，，，
由题意可得，
所以或其补角为异面直线与CD所成的角，
因为，
由题意可得，，
，
在中，由余弦定理可得
，
所以异面直线与CD所成角的余弦值为；
解：由可得，过C作交于E，
此时，，
所以平面，而平面BCE，
所以平面平面，
在中，由面积相等可得：
可得，而，，，
所以，
可得，
，
所以
【解析】由为正三角形及点D为AB的中点，可得，再由题意可得，进而可证得结论；
取到的中点，连接，，，由题意可得或其补角为异面直线与CD所成的角，中，求出各边的长度，由余弦定理可得的余弦值，
当时，由题意可证得平面平面，由等面积法可得ECE的值，进而求出的大小即ED的大小，即求出的大小．
本题考查线面垂直的证法及直线与平面所成的角的余弦值的求法，及等面积法求三角形的高，属于中档题．