2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.3 离散型随机变量的均值与方差（4类必考点））

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专题7.3 离散型随机变量的均值与方差TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc29117" 【基础知识梳理】  PAGEREF _Toc29117 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc1435" 【考点1：求离散型随机变量的均值】  PAGEREF _Toc1435 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24788" 【考点2：均值的性质】  PAGEREF _Toc24788 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc22678" 【考点3：求离散型随机变量的方差】  PAGEREF _Toc22678 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc13261" 【考点4：方差的性质】  PAGEREF _Toc13261 \h 9【基础知识梳理】1．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根eq \r(DX)为随机变量X的标准差．2．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b；(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)．[方法技巧]求离散型随机变量的均值与方差的步骤(1)找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；(4)利用公式求均值或方差.【考点1：求离散型随机变量的均值】【知识点：求离散型随机变量的均值】1．（2024·湖南·模拟预测）有一枚质地均匀点数为1到4的特制骰子，投掷时得到每种点数的概率均等，现在进行三次独立投掷，记X为得到最大点数与最小点数之差，则X的数学期望（    ）A． B． C． D．2．（多选）（2024·全国·模拟预测）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（    ）A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为3．（2024·辽宁·二模）小明从4双鞋中，随机一次取出2只，(1)求取出的2只鞋都不来自同一双的概率；(2)若这4双鞋中，恰有一双是小明的，记取出的2只鞋中含有小明的鞋的个数为X，求X的分布列及数学期望，4．（2024·浙江绍兴·二模）盒中有标记数字1，2的小球各2个.(1)若有放回地随机取出2个小球，求取出的2个小球上的数字不同的概率；(2)若不放回地依次随机取出4个小球，记相邻小球上的数字相同的对数为（如1122，则），求的分布列及数学期望.5．（2024·辽宁丹东·一模）不透明的盒中有六个大小形状相同的小球，它们分别标有数字，0，1，1，2，2，现从中随机取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；(2)记取出的3个小球上的数字之积为X，求X的分布列及数学期望．6．（2024·陕西西安·三模）甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式:当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.(1)求投掷3次骰子后球在乙手中的概率；(2)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为，求随机变量的分布列和数学期望.【考点2：均值的性质】【知识点：均值的性质】1．（2024高二下·全国·专题练习）已知离散型随机变量X的分布列为设，则Y的数学期望 ．2．（2024高二下·甘肃天水·阶段练习）已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 ；3．（2024高二下·辽宁·阶段练习）若是离散型随机变量，且，其中为常数，则有，利用这个公式计算 4．（2024高二下·陕西·阶段练习）某大学生将参加知识竞赛，答题环节有6道题目，每答对一道题得3分，答错一题扣1分，已知该学生每道题目答对的概率是，且各题目答对正确与否相互独立，表示该生得分，则 ．5．（2024高二上·黑龙江双鸭山·阶段练习）设的分布列如图，又，则 .6．（多选）（2024高三下·江西·阶段练习）已知随机变量X、Y，且的分布列如下：若，则（    ）A． B． C． D．【考点3：求离散型随机变量的方差】【知识点：求离散型随机变量的方差】1．（23-24高二下·江苏苏州·期中）若随机变量满足，其中为常数，则（    ）A．0 B． C． D．12．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（    ）A．120 B．160 C．200 D．2603．（23-24高二下·江西赣州·期中）已知随机变量的分布列为则（    ）A．7 B．5 C．4.8 D．4.24．（多选）（2024高二下·江西·阶段练习）已知离散型随机变量的分布列如下所示，则（    ）A． B． C． D．5．（2024高二上·河南南阳·期末）已知，且，记随机变量为，，中的最小值，则 .6．（2024高二上·广东广州·期末）随机变量有3个不同的取值，且其分布列如下：则的值为 ．7．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）已知随机变量的分布列是随机变量的分布列是下列选项中正确的是（    ）A． B．当p增大时，递减C． D．当p增大时，递增8．（2024高二下·江苏·专题练习）为选拔奥运会射击选手，对甲､乙两名射手进行选拔测试.已知甲､乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲､乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.(1)求X，Y的概率分布；(2)求X，Y的数学期望与方差，以此比较甲､乙的射击技术并从中选拔一人.9．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C三首歌曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：(1)求甲按“”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；(2)甲决定按“”或者“”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.【考点4：方差的性质】【知识点：方差的性质】1．（2024高二下·江苏·课前预习）设随机变量的概率分布为：若，则等于（    ）A． B．C． D．2．（2024高二下·河南郑州·期中）若随机变量的分布列如下表所示，则（    ）A． B．2 C． D．3．（2024高二下·广东深圳·期中）已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，，则 ．4．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量的分布列为P(X＝k)＝，k＝1，2，3，4，则D(2X－1)＝ ．5．（2024高二下·广东东莞·阶段练习）已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如图：则随机变量Y的方差等于 ．Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn-101aP1234PaX12345PmnX4810P0.30.60.1130102P357P歌曲猜对的概率0.80.50.5获得的奖励基金金额/元10002000300001X012Pa