2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题7.4 二项分布与超几何分布（3类必考点）

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专题7.4 二项分布与超几何分布TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc27051" 【考点1：二项分布的概率、均值与方差】  PAGEREF _Toc27051 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc8071" 【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】  PAGEREF _Toc8071 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc21028" 【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】  PAGEREF _Toc21028 \h 12【考点1：二项分布的概率、均值与方差】【知识点：二项分布的概率、均值与方差】1．独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．2．二项分布在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Ceq \o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．[方法技巧]求随机变量X的均值与方差时，可首先分析X是否服从二项分布，如果X～B(n，p)，则用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量．　1．（2024·辽宁·模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】就质子水平方向移动次数分类讨论，再利用独立事件的概率公式可求概率.【详解】因为移动6次后仍然回到原点，故质子水平方向移动偶数次，竖直方向移动偶数次若质子水平方向移动0次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动2次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动4次，则回到原点的概率；若质子水平方向移动6次，则回到原点的概率；故移动6次后仍然回到原点的概率为，故选：C2．（2024·全国·模拟预测）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意当时，的可能取值为1,3,5，且，根据二项分布的概率公式计算即可求解.【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D．3．（23-24高二下·山东潍坊·期中）某人寿保险公司规定，投保人没活过岁时，保险公司要赔偿100万元.活过岁时，保险公司不赔偿，但要给投保人一次性支付5万元.已知购买此种保险的每个投保人能活过岁的概率都是，随机抽取3个投保人，设其中活过岁的人数为，保险公司要赔偿给这三个人的总金额为万元.则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】依题意可得，又，则，利用二项分布的概率公式计算可得.【详解】依题意，因为个投保人中，活过岁的人数为，所以没活过岁的人数为，因此，即，所以.故选：A4．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）在足球比赛中，扑点球的难度--般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性未扑出点球.若不考虑其他因素，在比赛打成平局进行点球大战中，甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断服从二项分布，再利用二项分布的方差公式计算可得.【详解】由题意，门将每次扑出点球的概率为：,若不考虑其他因素，门将在前3次扑出点球的个数服从二项分布，且，所以甲队门将在前3次扑出点球的个数X的方差为：.故选：A5．（多选）（2024·云南贵州·二模）袋子中有2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为，则（    ）A． B．C．的期望 D．的方差【答案】ABCD【分析】求出一次摸到黑球的概率，根据题意可得随机变量服从二项分布，再根据二项分布列及期望公式、方差公式求解即可.【详解】从袋子中有放回的取球4次，则每次取球互不影响，并且每次取到的黑球概率相等，又每次取一个球，取到白球记0分，黑球记1分，故4次取球的总分数相当于抽到黑球的总个数，又每次摸到黑球的概率为，因为是有放回地取4次球，所以，故A正确；，故B正确；根据二项分布期望公式得，故C正确；根据二项分布方差公式得，故D正确.故选：ABCD【点睛】结论点睛：随机变量X服从二项分布，记作X～，，且有，.6．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）某食品生产厂生产某种市场需求量很大的食品，这种食品有A、B两类关键元素含量指标需要检测，设两元素含量指标达标与否互不影响．若A元素指标达标的概率为，B元素指标达标的概率为，按质量检验规定：两元素含量指标都达标的食品才为合格品．(1)一个食品经过检测，AB两类元素至少一类元素含量指标达标的概率；(2)任意依次抽取该种食品4个，设表示其中合格品的个数，求分布列及．【答案】(1)；(2)分布列见解析，期望值为.【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算即得.（2）求出合格品的概率，利用二项分布的概率求出分布列和数学期望.【详解】（1）令M为一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的事件，则是A，B都不达标的事件，因此，所以一个食品经过检测至少一类元素含量指标达标的概率为.（2）依题意，A，B两类元素含量指标都达标的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，4，显然，因此，，，，，所以的概率分布为：数学期望.7．（2024·广东韶关·二模）小明参加社区组织的射击比赛活动，已知小明射击一次、击中区域甲的概率是，击中区域乙的概率是，击中区域丙的概率是，区域甲，乙、丙均没有重复的部分．这次射击比赛获奖规则是：若击中区域甲则获一等奖；若击中区域乙则有一半的机会获得二等奖，有一半的机会获得三等奖；若击中区域丙则获得三等奖；若击中上述三个区域以外的区域则不获奖．获得一等奖和二等奖的选手被评为“优秀射击手”称号．(1)求小明射击1次获得“优秀射击手”称号的概率；(2)小明在比赛中射击4次，每次射击的结果相互独立，设获三等奖的次数为X，求X分布列和数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析；【分析】（1）根据概率已知条件记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，分析可知，利用互斥事件的概率加法计算公式所以求即可.（2）根据题意判断，根据二项分布求概率、期望公式计算即可.【详解】（1）记“射击一次获得‘优秀射击手’称号”为事件；射击一次获得一等奖为事件；射击一次获得一等奖为事件，所以有，所以，，所以.（2）获得三等奖的次数为，的可能取值为，，，，；记“获得三等奖”为事件，所以，所以，，，，，所以显然，.8．（2024·全国·模拟预测）2023年11月10日，第六届中国国际进口博览会圆满落下帷幕.在各方共同努力和大力支持下，本届进博会办成了一届高标准、高质量、高水平的全球经贸盛会，为世界经济复苏和全球发展繁荣做出积极贡献.本届进博会优化了志愿者服务，为参展商提供了更加准确、细致的服务.为了解参展商对志愿者服务的满意度，组委会组织了所有的参展商对志愿者服务进行评分（满分100分），并从评分结果中随机抽取100份进行统计，按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图.  (1)求出的值和参展商对志愿者服务评分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.(2)以频率估计概率，样本估计总体，从所有参展商的评分结果中随机抽取3份，将记为评分不低于90分的份数，求的分布列和数学期望.【答案】(1)，(2)分布列见解析；期望为【分析】（1）利用频率分布直方图中各组频率之和为1求出的值，再利用平均数求解公式求解平均数即可；（2）根据二项分布求出对应的概率，列表得分布列，然后利用期望公式求解即可.【详解】（1）因为，所以评分结果在的频率为0.2，所以，所以参展商对志愿者服务评分的平均数为；（2）由题意，评分不低于90分的概率为0.3，故，则，，，，所以的分布列为所以.（或者）【考点2：服从二项分布的随机变量概率最大问题】【知识点：服从二项分布的随机变量概率最大问题】1．（2024高二·全国·竞赛）随机变量，当取最大值时， ．【答案】13或14【分析】根据所给的随机变量，写出变量所对应的概率，根据题意列出不等式即可.【详解】 随机变量，，依题意有即解得，故或14．故答案为：13或14.2．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）某中学招聘教师分笔试和面试两个环节，主考官要求应聘者从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错扣1分.甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为，且每道题答对与否互不影响.则甲得 分的概率最大.【答案】112【分析】根据二项分布的概率公式结合组合数计算即可.【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，易知，所以，即，易知时，最大，所以得分的概率最大.故答案为：1123．（2024·安徽池州·二模）学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：(1)求该小组学生甲参加考试次数的分布列及数学期望；(2)规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组3位学生中获得优秀证书的人数为，求使得取最大值时的整数.【答案】(1)分布列见解析，(2)3【分析】（1）确定的可能值，利用独立事件的概率公式计算概率得分布列，再由期望公式计算出期望；（2）确定所有可能取的值为，得出，利用二项公布的概率公式计算出各概率后可得，也可以解不等式得出结论．【详解】（1）由题意知，所有可能取的值为，，的分布列如下：；（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率，方法一：所有可能取的值为，且，，，，，，所以使得取得最大值时，整数的值为3．方法二：由得，所以，所以，所以使得取得最大值时，整数的值为3．4．（2024·河北唐山·一模）某项测试共有8道题，每道题答对5分，不答或答错得0分．某人答对每道题的概率都是，每道试题答对或答错互不影响，设某人答对题目的个数为X．(1)求此人得分的期望；(2)指出此人答对几道题的可能性最大，并说明理由．【答案】(1)(2)此人答对道题的可能性最大；理由见解析.【分析】（1）根据已知条件，确定，得分为，求即可；（2）根据二项分布概率公式有，通过作商法求出，与比较大小即可确定在时取最大值.【详解】（1）某人答对每道题的概率都是，则答对题目的个数服从二项分布，即，，由于每道题答对得分，所以此人答题得分为，因此，在此项测试中，此人答题得分的期望为.（2）设此人答对道题的可能性为，，记，则，，当时，，随的增加而增加，即；当时，，随的增加而减小，即；所以当时，最大，因此此人答对道题的可能性最大.5．（2024·河北邢台·一模）小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概率为0.9，小张回答B类题正确的概率为0.45．已知题库中B类题的数量是A类题的两倍．(1)求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小张在这10个题目中恰好回答正确k个（，1，2，，10）的概率为，则当k为何值时，最大？【答案】(1)0.6(2)6【分析】（1）由独立事件的乘法概率求出即可；（2）由二项分布中最大值的计算求出即可，可设，利用组合数的性质求出即可.【详解】（1）设小张回答A类题正确的概率为，小张回答B类题正确的概率为，小张在题库中任选一题，回答正确的概率为，由题意可得，所以，所以小张在题库中任选一题，回答正确的概率为0.6.（2）由（1）可得，设，即，所以，即，解得，又，所以时，最大.【考点3：超几何分布的概率、均值与方差】【知识点：超几何分布的概率、均值与方差】一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则即其中，且。如果随机变量的分布列具有上表形式，则称随机变量服从超几何分布。在超几何分布模型中，“任取件”是指“每次取一件不放回，共取件”，如果有放回的取则为次独立重复试验，随机变量服从二项分布。[方法技巧]　　求超几何分布的分布列的步骤1．（2024高二下·吉林长春·阶段练习）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先将男生人数设为随机变量，再求得概率，代入期望公式，即可求解.【详解】设男生人数为，且，，，,则.故选：C2．（2024高二下·全国·专题练习）口袋里有大小相同的2个红球和3个黄球，现从中任取两个球，记取出的红球数为，则 .【答案】/【分析】根据超几何分布，求出的可能取值及对应的概率，求期望即可.【详解】取得红球数为可能为0，1，2，则，，，则随机变量的分布列为所以.故答案为：3．（2024高二下·湖南张家界·阶段练习）袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为.(1)求随机变量的分布列；(2)求随机变量的数学期望和方差.【答案】(1)分布列见解析(2)，【分析】（1）找出的所有可能取值并计算对应概率即可得；（2）借助分布列计算期望与方差即可得.【详解】（1）的可能取值为、、，则，，，故其分布列为：（2），.4．（2024高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地，大小一样的5个球，3个标有字母A，另外2个标有字母B，小张从中任取3个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题．(1)设小张抽到球的个数为，求的分布列及．(2)已知A类题里有4道论述题和1道计算题，B类题里有3道论述题和2道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．求小张回答论述题的概率；【答案】(1)分布列见解析，(2)【分析】（1）利用超几何分布可求分布列，利用公式可求期望.（2）利用全概率可求小张回答论述题的概率.【详解】（1）的所有可能取值为1，2，3，则，，，所以的分布列为故．（2）记事件为“小张回答类题”，为“小张回答类题”，为“小张回答论述题”．由（1）知，，由题意知，，所以．5．（23-24高二上·内蒙古呼伦贝尔·期末）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，已知从盒子中任取2个球都是红球的概率为.(1)求的值；(2)现从盒子中任取3个球，记取出的球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【分析】（1）结合组合知识利用古典概型概率公式列方程求解即可；（2）由题意得到随机变量的取值为0，1，2，3，分别求出概率，写出分布列，求出的数学期望.【详解】（1）已知盒子内有大小相同的10个球，其中红球有个，因为从盒子中任取2个球都是红球的概率为，所以，所以，所以，解得或（舍去）；（2）由题意可能的取值为0，1，2，3，则，，，，故的分布列为：所以的数学期望为.6．（23-24高二下·上海·阶段练习）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有道题目，随机抽取道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的道，试求：(1)抽到他能答对题目数的分布列；(2)求的期望和方差【答案】(1)分布列见解析(2)期望；方差【分析】（1）列举出所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可求得每个取值对应的概率，由此可得分布列；（2）根据期望和方差的计算公式直接求解即可.【详解】（1）由题意知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：（2）期望；又，方差.7．（2024·上海长宁·二模）盒子中装有大小和质地相同的6个红球和3个白球；(1)从盒子中随机抽取出1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其颜色相同的球3个，然后再从盒子随机取出1个球，求第二次取出的球是红球的概率；(2)从盒子中不放回地依次随机取出2个球，设2个球中红球的个数为，求的分布、期望与方差；【答案】(1)(2)分布见解析，期望【分析】（1）由独立乘法公式、互斥加法公式即可运算求解古典概型概率；（2）的所有可能取值为0，1，2，它服从超几何分布，结合超几何分布概率的求法求得相应的概率进而可得的分布，结合期望、方差计算公式即可求解.【详解】（1）第一次取出红球的概率为，取出白球的概率为，第一次取出红球，第二次取出红球的概率为，第一次取出白球，第二次取出红球的概率为，所有第二次取出的球是红球的概率为；（2）的所有可能取值为0，1，2，，所以的分布为，它的期望为，它的方差为.8．（23-24高二下·广东东莞·期中）某学校参加某项竞赛仅有一个名额，结合平时训练成绩，甲、乙两名学生进入最后选拔，学校为此设计了如下选拔方案：设计6道题进行测试，若这6道题中，甲能正确解答其中的4道，乙能正确解答每个题目的概率均为，假设甲、乙两名学生解答每道测试题都相互独立、互不影响，现甲、乙从这6道测试题中分别随机抽取3题进行解答(1)求甲、乙共答对2道题目的概率；(2)设甲答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；(3)从数学期望和方差的角度分析，应选拔哪个学生代表学校参加竞赛？【答案】(1)(2)答案见解析(3)应选拔甲学生代表学校参加竞赛【分析】（1）甲、乙两名学生共答对2个问题分为：甲2个乙0个，甲1个乙1个，分别计算概率相加得答案.（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，从而求出，；（3）设学生乙答对题数为，则所有可能的取值为0，1，2，3，由题意知～B（3，），从而求出，，由=，＜，得到甲代表学校参加竞赛的可能性更大．【详解】（1）由题意得甲、乙两名学生共答对2个问题的概率：．（2）设学生甲答对的题数为，则的所有可能取值为1,2,3．， ， ． 的分布列为：所以，．（3）设学生乙答对的题数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．则．所以，． 因为，，即甲、乙答对的题目数一样，但甲较稳定，所以应选拔甲学生代表学校参加竞赛．01234P01230.3430.4410.1890.0271230.50.30.201...…0121230123X123P