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2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题8.1 一元线性回归问题（3类必考点）
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这是一份2024-2025 学年高中数学人教A版选择性必修三专题8.1 一元线性回归问题（3类必考点），文件包含专题81一元线性回归问题3类必考点人教A版2019选择性必修第三册原卷版docx、专题81一元线性回归问题3类必考点人教A版2019选择性必修第三册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
专题8.1 一元线性回归问题TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc25588" 【基础知识】 PAGEREF _Toc25588 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19382" 【考点1：相关系数】 PAGEREF _Toc19382 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc11678" 【考点2：求回归直线方程】 PAGEREF _Toc11678 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28601" 【考点3：一元线性回归模型的应用】 PAGEREF _Toc28601 \h 6【基础知识】【一元线性回归】[方法技巧]判断相关关系的两种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强． 1．回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^)).(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))求系数．2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数eq \o(b,\s\up6(^)). 【考点1：相关系数】【知识点：相关系数】1．（23-24高二下·江苏·期中）关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（ ）A． B． C．1 D．22．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.533．（多选）（2024·河北唐山·二模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ）A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变小C．残差平方和变小 D．决定系数变小4．（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A．变量之间呈负相关关系 B．的值等于5C．变量之间的相关系数 D．该回归直线必过点5．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）A．回归直线至少经过点，，，中的一个点B．若点，，，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数C．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数D．若， ，则相应于样本点的残差为6．（2024·四川南充·三模）近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表.(1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；(2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率.附：参考数据：相关系数.【考点2：求回归直线方程】【知识点：求回归直线方程】1．（2024高二上·全国·单元测试）用最小二乘法得到一组数据（i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为，若，则等于（ ）A．11 B．13C．53 D．652．（2024高二上·全国·课后作业）已知线性回归方程＝4.4x＋0.5．则可估计x与y的增长速度之比约为（ ）A． B． C． D．23．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ）A． B． C． D．4．（23-24高二下·云南·期末）由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（ ）A．48 B．52 C．56 D．805．（23-24高二下·广西百色·期末）具有线性相关关系的变量x，y的回归方程为＝2－x，则下列选项正确的是（ ）A．变量x与y是函数关系 B．变量x与y呈正相关关系C．当x＝4时，y的预测值为2 D．若x增加1个单位，则y减少1个单位6．（23-24高二下·河北沧州·期末）两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数．(1)求；(2)根据样本相关系数以及下面所附公式，建立关于的经验回归方程．附：，，．【考点3：一元线性回归模型的应用】【知识点：一元线性回归模型的应用】1．（2024高三·全国·专题练习）某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7．(1)求表中实数的值；(2)求关于的线性回归方程．参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．2．（23-24高二下·河南驻马店·期末）市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01）(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.附：对于一组数据，其回归直线的斜率，.相关系数.参考数据：，，，，，.3．（23-24高二下·陕西西安·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．参考数据：，，．附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．4．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．相关公式：，参考数据：．回归方程中，5．（23-24高二下·安徽·期末）为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示：(1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）；(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..参考数据： ，，，.参考公式：相关系数6．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：(1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.参考公式：，，.参考数据：，.7．（2024·四川成都·模拟预测）某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．参考公式：，．(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．8．（2024高三上·全国·阶段练习）某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程，其中.参考数据：，. 回归直线从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线回归方程回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，其中eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)， eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))相关系数当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性681012632月份2023.112023.122024.012024.022024.03月份编号x12345利润（y万元）2723201713年份20142015201620172018年投资金额万元12345年利润万元2.42.76.47.9月份x123456净利润y（万元）1.01.41.72.02.22.4研发投入x（亿元）12345产品收益y（亿元）3791011x45556575y23386574x34567y4550606570日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612月份123456销售单价销售量
专题8.1 一元线性回归问题TOC \o "1-3" \t "正文,1" \h HYPERLINK \l "_Toc25588" 【基础知识】 PAGEREF _Toc25588 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19382" 【考点1：相关系数】 PAGEREF _Toc19382 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc11678" 【考点2：求回归直线方程】 PAGEREF _Toc11678 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc28601" 【考点3：一元线性回归模型的应用】 PAGEREF _Toc28601 \h 6【基础知识】【一元线性回归】[方法技巧]判断相关关系的两种方法(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．(2)相关系数法：利用相关系数判定，|r|越趋近于1相关性越强． 1．回归直线方程中系数的两种求法(1)公式法：利用公式，求出回归系数eq \o(b,\s\up6(^))，eq \o(a,\s\up6(^)).(2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心(eq \o(x,\s\up6(－))，eq \o(y,\s\up6(－)))求系数．2．回归分析的两种策略(1)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．(2)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是回归系数eq \o(b,\s\up6(^)). 【考点1：相关系数】【知识点：相关系数】1．（23-24高二下·江苏·期中）关于的一组样本数据，，，，…，的散点图中，所有样本点均在直线上，则这组样本数据的样本相关系数r为（ ）A． B． C．1 D．22．（23-24高二下·河南驻马店·期中）对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）A．模型Ⅰ：相关系数r为 B．模型Ⅱ：相关系数r为0.81C．模型Ⅲ：相关系数r为 D．模型Ⅳ：相关系数r为0.533．（多选）（2024·河北唐山·二模）为研究光照时长（小时）和种子发芽数量（颗）之间的关系，某课题研究小组采集了10组数据，绘制散点图如图所示，并进行线性回归分析，若去掉点后，下列说法正确的是（ ）A．相关系数变小 B．经验回归方程斜率变小C．残差平方和变小 D．决定系数变小4．（多选）（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）A．变量之间呈负相关关系 B．的值等于5C．变量之间的相关系数 D．该回归直线必过点5．（多选）（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ）A．回归直线至少经过点，，，中的一个点B．若点，，，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数C．若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数D．若， ，则相应于样本点的残差为6．（2024·四川南充·三模）近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表.(1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；(2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率.附：参考数据：相关系数.【考点2：求回归直线方程】【知识点：求回归直线方程】1．（2024高二上·全国·单元测试）用最小二乘法得到一组数据（i=1，2，3，4，5）的线性回归方程为，若，则等于（ ）A．11 B．13C．53 D．652．（2024高二上·全国·课后作业）已知线性回归方程＝4.4x＋0.5．则可估计x与y的增长速度之比约为（ ）A． B． C． D．23．（23-24高二下·江苏宿迁·期末）已知数据的三对观测值为，用“最小二乘法”判断下列直线的拟合程度，则效果最好的是（ ）A． B． C． D．4．（23-24高二下·云南·期末）由数据，，…，可得关于的线性回归方程为，若，则（ ）A．48 B．52 C．56 D．805．（23-24高二下·广西百色·期末）具有线性相关关系的变量x，y的回归方程为＝2－x，则下列选项正确的是（ ）A．变量x与y是函数关系 B．变量x与y呈正相关关系C．当x＝4时，y的预测值为2 D．若x增加1个单位，则y减少1个单位6．（23-24高二下·河北沧州·期末）两个具有相关关系的变量的一组统计数据为，，…．其样本中心点为，且由统计知，，样本相关系数．(1)求；(2)根据样本相关系数以及下面所附公式，建立关于的经验回归方程．附：，，．【考点3：一元线性回归模型的应用】【知识点：一元线性回归模型的应用】1．（2024高三·全国·专题练习）某种产品2014年到2018年的年投资金额（万元）与年利润（万元）的数据统计如下，由散点图知，与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7．(1)求表中实数的值；(2)求关于的线性回归方程．参考公式：回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．2．（23-24高二下·河南驻马店·期末）市场监管部门对某线下某实体店2023年前两季度的月利润情况进行调查统计，得到的数据如下： (1)是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明；（参考：若时，则线性相关程度较高，，则线性相关程度一般，计算时精确度为0.01）(2)利用最小二乘法求出y关于x的回归方程；用样本估计总体，请预估第9月份的利润.附：对于一组数据，其回归直线的斜率，.相关系数.参考数据：，，，，，.3．（23-24高二下·陕西西安·期末）新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．某中医药企业根据市场调研与模拟，得到研发投入x（亿元）与产品收益y（亿元）的数据统计如下：(1)计算x，y的相关系数r，并判断是否可以认为研发投入与产品收益具有较高的线性相关程度？（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高）(2)求出y关于x的线性回归方程，并预测研发投入20（亿元）时产品的收益．参考数据：，，．附：相关系数公式：，回归直线方程的斜率，截距．4．（23-24高二下·陕西宝鸡·期末）如图是某采矿厂的污水排放量单位：吨与矿产品年产量单位：吨的折线图：(1)依据折线图计算相关系数精确到，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为10吨时的污水排放量．相关公式：，参考数据：．回归方程中，5．（23-24高二下·安徽·期末）为了解温度对物质参与的某种化学反应的影响，研究小组在不同温度条件下做了四次实验，实验中测得的温度x（单位：°C）与的转化率y% （转化率=）的数据如下表所示：(1)求y与x的相关系数（结果精确到0.01）；(2)该研究小组随后又进行了一次该实验，其中的起始量为50 g，反应结束时还剩余2.5 g，若已知y关于x的线性回归方程为，估计这次实验是在多少摄氏度的温度条件下进行的..参考数据： ，，，.参考公式：相关系数6．（2024高二下·河南南阳·阶段练习）近些年来，短视频社交软件日益受到追捧，用户可以通过软件选择歌曲，拍摄音乐短视频，创作自己的作品.某用户对自己发布的视频个数x与收到的点赞个数之和y之间的关系进行了分析研究，得到如下数据：(1)计算x，y的相关系数r（计算结果精确到0.01），并判断是否可以认为发布的视频个数与收到的点赞数之和的相关性很强；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程.参考公式：，，.参考数据：，.7．（2024·四川成都·模拟预测）某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料：该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进行检验．参考公式：，．(1)求剩余的2组数据都是20日的概率；(2)若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据．①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程；②若某日的昼夜温差为7℃，请预测当日就诊人数．（结果保留整数）．8．（2024高三上·全国·阶段练习）某科技公司研发了一项新产品，经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计，销售单价（千元）和销售量（千件）之间的一组数据如下表所示：（1）试根据1至5月份的数据，建立关于的回归直线方程；（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过千件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？参考公式：回归直线方程，其中.参考数据：，. 回归直线从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线回归方程回归方程为eq \o(y,\s\up6(^))＝eq \o(b,\s\up6(^))x＋eq \o(a,\s\up6(^))，其中eq \o(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up6(－)) \o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)， eq \o(a,\s\up6(^))＝eq \o(y,\s\up6(－))－eq \o(b,\s\up6(^))eq \o(x,\s\up6(－))相关系数当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性681012632月份2023.112023.122024.012024.022024.03月份编号x12345利润（y万元）2723201713年份20142015201620172018年投资金额万元12345年利润万元2.42.76.47.9月份x123456净利润y（万元）1.01.41.72.02.22.4研发投入x（亿元）12345产品收益y（亿元）3791011x45556575y23386574x34567y4550606570日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日昼夜温差x（℃）1011131286就诊人数y（个）222529261612月份123456销售单价销售量
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