人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.5铅笔头模型锯齿模型翘脚模型(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义5.5铅笔头模型锯齿模型翘脚模型(原卷版+解析)，共39页。

模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°
证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
【铅笔头模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C
证明：过点C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【锯齿模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。
模型三：翘脚模型
模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3
模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180°

【题型一】铅笔头模型
【典题】（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
巩固练习
1（）（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
2（）（2022春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
3（）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
4（）（2022春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．
问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
5（）（2022秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【题型二】锯齿模型
【典题】（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
巩固练习
1（）（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
2（）（2022春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132°B．134°C．136°D．138°
3（）（2022春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）
A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
4（）（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5（）（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
6（）（2022春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．
7（）（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
8（）（2022春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
9（）（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．
10（）（2022春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
11（）（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若，，则____________；
(2)如图2，试说明，；
(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
12（）（2022·全国·七年级假期作业）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
=180°+180°
=360°．
【问题解决】
(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
13（）（2022·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；
(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
14（）（2022春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？
（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？
（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【题型三】翘脚模型
【典题】（2022春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°
巩固练习
1（）（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95°B．105°C．110°D．115°
2（）（2022春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
3（）（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，
(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（_______）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；
(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
5.5 铅笔头模型、锯齿模型、翘脚模型
模型一：铅笔头模型
【铅笔头模型基础】已知AB∥DE，结论：∠B+∠C+∠E = 360°
证明1：过点C作CK∥AB （见拐点作平行线）
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B+∠1=180°，∠E+∠2=180° 而∠C=∠1+∠2
∴∠B+∠C+∠E = 360°
【铅笔头模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠N+∠E= 540°
变式二：若a∥b，则∠A1+∠A2+...+∠An-1+∠An=180°×（n-1）=180°×（拐点数+1）
模型二：锯齿模型
【锯齿模型基础】已知AB∥DE，则∠B+∠E=∠C
证明：过点C作CK∥AB
∵AB∥DE ∴AB∥DE∥CK
∴∠B=∠1 ①，∠E=∠2 ②
①+②得 ∠B+∠E=∠1+∠2，即∠B+∠E=∠C
【锯齿模型变形】
变式一：已知AB∥DE，则∠B+∠M+∠E=∠C+∠N
变式二：若a∥b，则所有朝左角之和等于所有朝右角的和。
模型三：翘脚模型
模型一：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1=∠2+∠3
模型二：已知AB∥CD，则∠1，∠2，∠3之间的关系为: ∠1+∠3-∠2=180°

【题型一】铅笔头模型
【典题】（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
【答案】C
【分析】过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
巩固练习
1（）（2022春·福建厦门·七年级校考阶段练习）如图，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A．540°B．180°nC．180°(n-1)D．180°(n+1)
【答案】C
【分析】根据题意，作，，，由两直线平行，同旁内角互补，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，作，，，
∵，
∴，，，……
∴，……
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明．
2（）（2022春·山东聊城·七年级校考阶段练习）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝_____．
【答案】270°
【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．
【详解】过B作BF∥AE，
∵CD∥ AE，
则CD∥BF∥AE，
∴∠BCD+∠1=180°，
又∵AB⊥AE，
∴AB⊥BF，
∴∠ABF=90°，
∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．
故答案为：270．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．
3（）（2022春·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，已知，，，则___度．
【答案】65°
【分析】过点作∥，根据平行公理得，再依据平行线的性质求角即可．
【详解】解：过点作∥，如图：
，
．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是依据平行公理作辅助线，熟练运用平行线的性质解决问题
4（）（2022春·山东日照·七年级校考期中）问题情境：如图1，，，．求 度数．
小明的思路是：如图2，过 作，通过平行线性质，可得 ．
问题迁移：
（1）如图3，，点 在射线 上运动，当点 在 、 两点之间运动时，，． 、 、 之间有何数量关系?请说明理由；
（2）在（1）的条件下，如果点 在 、 两点外侧运动时（点 与点 、 、 三点不重合），请你直接写出 、 、 间的数量关系．
【答案】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β
【分析】（1）过点P作PE∥AD交CD于点E，根据题意得出AD∥PE∥BC，从而利用平行线性质可知=∠DPE，=∠CPE，据此进一步证明即可；
（2）根据题意分当点P在A、M两点之间时以及当点P在B、O两点之间时两种情况逐一分析讨论即可.
【详解】（1）∠CPD=，理由如下：
如图3，过点P作PEAD交CD于点E，
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=；
（2）①当点P在A、M两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图4，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠EPD，=∠CPE
∴∠CPD=∠CPE−∠EPD=；
②当点P在B、O两点之间时，∠CPD=，理由如下：
如图5，过点P作PEAD交CD于点E
∵ADBC，PEAD
∴ADPEBC
∴=∠DPE，=∠CPE
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=
综上所述，当点P在A、M两点之间时，∠CPD=∠β−∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD=∠α−∠β.
【点睛】本题主要考查了在平行线性质及判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
5（）（2022秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
【答案】(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，
∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；
(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，
∵∠1+∠2=325°，
∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【题型二】锯齿模型
【典题】（2022春·广东东莞·七年级校考期中）如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）
A．70°B．65°C．35°D．5°
【答案】B
【分析】作CF∥AB，根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，从而可得∠BCE的度数，本题得以解决．
【详解】作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴CF∥DE，
∴AB∥DE∥DE，
∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，
∵∠1＝30°，∠2＝35°，
∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，
∴∠BCE＝65°，
故选：B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
巩固练习
1（）（2022秋·黑龙江大庆·七年级校联考期中）如图，直线l1∥l2，，则（ ）
A．150°B．180°C．210°D．240°
【答案】C
【分析】根据题意作直线l平行于直线l1和l2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】解：作直线l平行于直线l1和l2．
，
．
，
．
故选C．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．
2（）（2022春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132°B．134°C．136°D．138°
【答案】B
【分析】过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
3（）（2022春·安徽芜湖·七年级芜湖市第二十九中学校考期中）如图，∠BCD＝90°，AB∥DE，则α与β一定满足的等式是（ ）
A．α+β＝180°B．α+β＝90°C．β＝3αD．α﹣β＝90°
【答案】D
【分析】过C作CF∥AB，根据平行于同一条直线的两条直线平行得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质得到作差即可．
【详解】详：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴
∴
故选：D．
【点睛】考查平行公理已经平行线的性质，解题的关键是注意辅助线的作法，作出辅助线．
4（）（2022春·河北唐山·七年级统考期中）如图，已知，于点，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过点H作，过点F作，根据平行线的性质定理进行解答即可．
【详解】解：如图，过点H作，过点F作，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵， ， ，
∴， ，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握判定与性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
5（）（2022春·广东揭阳·七年级校考期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．
【答案】y=90°-x+z．
【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．
【详解】解：作CG//AB，DH//EF，
∵AB//EF，
∴AB//CG//HD//EF，
∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z
∵∠BCD＝90°
∴∠1+∠2=90°，
∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，
∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，
∴∠y=∠z+90°-∠x．
即y=90°-x+z．
【点睛】本题考查平行线的性质，掌握平行线的性质，利用辅助线画出准确图形是解题关键．
6（）（2022春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．
【答案】∠2＋∠4＝∠1＋∠3
【分析】分别过点P1、P2作，，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相等，即可得到最后答案．
【详解】解：分别过点P1、P2作，，
∵，
∴，
∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，
即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的关系．
7（）（2022春·贵州六盘水·七年级统考期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
8（）（2022春·河北唐山·七年级校考阶段练习）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
【答案】C
【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
9（）（2022春·上海·七年级专题练习）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝________度．
【答案】
【分析】过点P1、作直线MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行线的性质可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后过点P2作直线GH∥AB，同理可得，以此类推： ，， ，，即可求解．
【详解】解：如图，过点P1、作直线MN∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；
过点P2作直线GH∥AB，
∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴ ， ，
同理： ，
以此类推： ，， ，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律是解题的关键．
10（）（2022春·浙江杭州·七年级校联考阶段练习）已知AB//CD．
（1）如图1，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D；
（2）如图，连接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直线交于点F．
①如图2，当点B在点A的左侧时，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度数．
②如图3，当点B在点A的右侧时，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，请你求出∠BFD的度数．（用含有α，β的式子表示）
【答案】（1）见解析；（2）55°；（3）
【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；
（2）①如图2，过点作，当点在点的左侧时，根据，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求的度数；
②如图3，过点作，当点在点的右侧时，，，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出的度数．
【详解】解：（1）如图1，过点作，
则有，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作，
有．
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为；
②如图3，过点作，
有．
，
，
．
．
．
即，
平分，平分，
，，
．
答：的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
11（）（2022春·辽宁沈阳·七年级沈阳市第一二六中学校考阶段练习）如图，，点E为两直线之间的一点
(1)如图1，若，，则____________；
(2)如图2，试说明，；
(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由；
②如图4，若设，，，请直接用含、的代数式表示的度数．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①，理由见解析；②
【分析】（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；
（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；
（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．
（1）解：过E点作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴
（2）过E点作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．
（3）①由（1）知 ，∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，∴ ，∴ ，即 ，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴ ，②由①知 ，∵，， ，∴ 即 ，∴ ，∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加辅助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
12（）（2022·全国·七年级假期作业）【阅读材料】
在“相交线与平行线”的学习中，有这样一道典型问题：
如图①，AB∥CD，点P在AB与CD之间，可得结论：∠BAP+∠APC+∠PCD=360°．
理由如下：
过点P作PQ∥AB．
∴∠BAP+∠APQ=180°．
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD．
∴∠PCD+∠CPQ=180°．
∴∠BAP+∠APC+∠PCD
=∠BAP+∠APQ+∠CPQ+∠PCD
=180°+180°
=360°．
【问题解决】
(1)如图②，AB∥CD，点P在AB与CD之间，写出∠BAP，∠APC，∠PCD间的等量关系；（只写结论）
(2)如图③，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，AE平分∠BAP，CE平分∠DCP．写出∠AEC与∠APC间的等量关系，并说明理由；
(3)如图④，AB∥CD，点P，E在AB与CD之间，∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP，写出∠AEC与∠APC间的等量关系．（只写结论）
【答案】(1)∠APC=∠BAP+∠PCD
(2)∠AEC=∠APC，证明见解析
(3)∠APC+3∠AEC=360°
【分析】（1）过P作PM∥AB，可得∠BAP=∠MAP、DC∥PM，进而可得∠PCD=∠MPC，然后根据∠APC=∠APM+∠MPC运用等量代换即可解答；
（2）根据（1）可得∠APC=∠BAP+∠DCP、∠AEC=∠BAE+∠DCE，再根据角平分线的性质可得∠BAE=∠BAP、∠DCE=∠DCP，然后代入∠AEC=∠BAE+∠DCE即可；
（1）设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，由（1）可得∠AEC=x+y，由平行线的性质可得∠APC+3x+3y=360°，然后整理即可解答．
(1)
解：∠APC=∠BAP+∠PCD；
过P作PM∥AB，
∴∠BAP=∠APM，DC∥PM，
∴∠PCD=∠MPC，
∵∠APC=∠APM+∠MPC，
∴∠APC=∠BAP+∠PCD．
(2)
（2）∠AEC=∠APC，理由如下：
过点P作PM∥AB，过点E作EN∥AB．
根据（1）可得：∠APC=∠BAP+∠DCP，∠AEC=∠BAE+∠DCE，
∵AE平分∠BAP，CE平分∠DCP，
∴∠BAE=∠BAP，∠DCE=∠DCP．
∴∠AEC=∠BAE+∠DCE=∠BAP+∠DCP=（∠BAP+∠DCP）=∠APC．
∴∠AEC=∠APC．
(3)
解：如图④中，设∠EAB=x，∠DCE=y，则∠BAP=3x，∠DCP=3y，
由题意可得：∠AEC=x+y，∠APC+3x+3y=360°，
∴∠APC+3∠AEC=360°，
故答案为：∠APC+3∠AEC=360°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，正确添加辅助线、构造平行线是解答本题的关键．
13（）（2022·全国·七年级假期作业）如图1，AM∥NC，点B位于AM，CN之间，∠BAM为钝角，AB⊥BC，垂足为点B．
(1)若∠C＝40°，则∠BAM＝______；
(2)如图2，过点B作BD⊥AM，交MA的延长线于点D，求证：∠ABD＝∠C；
(3)如图3，在（2）问的条件下，BE平分∠DBC交AM于点E，若∠C＝∠DEB，求∠DEB的度数．
【答案】(1)130°
(2)见解析
(3)∠DEB的度数为30°
【分析】对于（1），过点B作平行线，即可得出AM∥BE∥NC，再根据“两直线平行，内错角相等”求出∠CBE，进而得出∠ABE，最后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案；
对于（2），过点B作平行线，根据“两直线平行，同旁内角互补”得∠DBF＝90°，再根据“同角的余角相等”得∠ABD＝∠CBF，最后根据“两直线平行，内错角相等”得出答案；
对于（3），设∠DEB＝x，可得出∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x，再作，可表示∠CBE=2x，然后表示∠DBC＝90°+x，最后根据∠DBC＝2∠CBE＝4x，列出方程，求出解即可.
(1)
过点B作BE∥AM，则AM∥BE∥NC，
∵BE∥NC，∠C＝40°，
∴∠CBE＝∠C＝40°．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣40°＝50°．
∵AM∥BE，
∴∠BAM+∠ABE＝180°，
∴∠BAM＝180°﹣50°＝130°．
故答案为：130°；
(2)
证明：如图，过点B作BF∥DM，则∠ADB+∠DBF＝180°．
∵BD⊥AM，
∴∠ADB＝90°．
∴∠DBF＝90°，∠ABD+∠ABF＝90°．
又∵AB⊥BC，
∴∠CBF+∠ABF＝90°．
∴∠ABD＝∠CBF．
∵AM∥CN，
∴BF∥CN，
∴∠C＝∠CBF．
∴∠ABD＝∠C．
(3)
设∠DEB＝x，由（2）可得∠ABD＝∠C，
∵∠C＝∠DEB，
∴∠ABD＝∠C＝∠DEB＝x．
过点B作BF∥DM，如图，
∴∠DEB＝∠EBF，∠C＝∠FBC．
∴∠CBE＝∠EBF+∠FBC＝∠DEB+∠C＝2x．
∵∠DBC＝∠ABC+∠ABD＝90°+x．
∵BE平分∠DBC，
∴∠DBC＝2∠CBE＝4x，即4x＝90°+x，解得x＝30°．
∴∠DEB的度数为30°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，同角的余角相等，角平分线的定义等，构造平行线是解题的关键．
14（）（2022春·四川成都·七年级树德中学校考阶段练习）（1）如图①，已知，图中，，之间有什么关系？
（2）如图②，已知，图中，，，之间有什么关系？
（3）如图③，已知，请直接写出图中，，，，之间的关系
（4）通过以上3个问题，你发现了什么规律？
【答案】（1）∠2=∠1+∠3；（2）；（3）；（4）当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【分析】（1）过E作EMAB，推出ABEMCD，根据平行线性质得出∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，即可求出答案；
（2）通过作辅助线：过E作，过F作，得到，得到，，即可得:,即可得到答案：；
（3）做辅助线，通过（2）可知：，再由平行得，即可，即：．
（4）通过以上3个问题，发现：当时，奇数角的和等于偶数角的和．
【详解】解：（1）∠2=∠1+∠3，
理由是：
过E作EMAB，推出ABEMCD，
过E作，
∵ABCD，
∴ABEMCD，
∴∠1=∠NEM，∠3=∠MEO，
∴∠NEO=∠NEM+∠MEO=∠1+∠3；
∴∠2=∠1+∠3，
（2）;
理由如下：过E作，过F作
∵，，
∴
∴
同理：
∴
即：
即：已知，图中，，，之间关系：．
（3）；
理由如下：过点G，作
由（2）可知：
∵
∴
∴、
即：
（4）通过以上3个问题，发现：当时，∠1+∠3+∠5+…+∠2n-1=∠2+∠4+…+∠2n．
【点睛】本题考查了平行线性质的应用，关键是正确作辅助线，题目比较典型，是一道比较好的题目．
【题型三】翘脚模型
【典题】（2022春·河南新乡·七年级校考阶段练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°
【答案】D
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】∵EFCD，
∴∠3=∠COE，
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE，
∵ABEF，
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
巩固练习
1（）（2022秋·四川眉山·七年级统考期末）如图，AB∥CD∥EF，若∠ABC＝130°，∠BCE＝55°，则∠CEF的度数为（ ）
A．95°B．105°C．110°D．115°
【答案】B
【分析】由平行的性质可知，再结合即可求解．
【详解】解：
故答案是：B．
【点睛】本题考查平行线的性质和角度求解，难度不大，属于基础题．解题的关键是掌握平行线的性质．
2（）（2022春·黑龙江牡丹江·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
【答案】A
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数．
【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示．
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°．
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键．
3（）（2022春·广东佛山·七年级校考阶段练习）已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，
(1)在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（_______）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
(2)应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；
(3)拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
(2)100°；
(3)∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．
【分析】（1）根据平行公理的推论解答；
（2）过点P作PE∥AB，得到EP∥CD∥AB，证得∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，求出∠APE=60°，∠EPC=40°，由此得到∠APC=∠APE+∠EPC=100°；
（3）根据平行线的性质得到∠C、∠A、∠APC的关系．
（1）解：过点P作PQ∥AB∴∠APQ＝∠A∵PQ∥AB，AB∥CD．∴PQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）∴∠CPQ＝∠C∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C即∠APC＝∠A+∠C，故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴EP∥CD∥AB，∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°∵∠A=120°，∠C=140°，∴∠APE=60°，∠EPC=40°，∴∠APC=∠APE+∠EPC=100°，故答案为：100°；
（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P，即∠C=∠A+∠APC．如图，过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD∥AB，∴∠A=∠APQ，∠QPC=∠C，∴∠APC=∠APQ+∠QPC=∠A+∠C综上，∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．
【点睛】此题考查了平行线的性质求角的关系，平行公理的推论，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．