人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义第六章实数(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义第六章实数(原卷版+解析)，共24页。
典例1．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
变式1-1．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
变式1-2．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）小明要剪一个面积为36cm2的正方形纸片，则边长是多少呢？如果还想剪一个面积为7cm2的正方形纸片，边长又是多少呢？
变式1-3．（2022春·陕西渭南·七年级统考期中）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，求留下的阴影部分的面积．
【题型二】已知一个数的平方根求这个数
典例2．（2022春·宁夏吴忠·七年级校考期末）已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
变式2-1（2022春·福建厦门·七年级福建省厦门集美中学校考期中）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a＋2和3a－6．
(1)求a的值；
(2)求这个数m．
变式2-2．（2022春·新疆克拉玛依·七年级校考期末）已知一个正数的两个平方根是m+3和2m﹣15．
(1)求这个正数是多少？
(2)的平方根又是多少？
变式2-3．（2022秋·山东烟台·七年级统考期末）已知正数x的平方根是a和
(1)当时，求a的值．
(2)若，求x的值．
【题型三】立方根的实际应用
典例3．（2022春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）（1）
（2）．
变式3-1．（2022春·山西吕梁·七年级统考期中）综合与实践
如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
变式3-2．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）小军做了两个正方体纸盒，已知第一个正方体纸盒棱长为3厘米，第二个正方体纸盒比第一个纸盒体积大189立方厘米，试求第二个正方体纸盒的棱长．
变式3-3．（2022春·安徽六安·七年级统考期中）把三个半径分别是3，4，5的铅球熔化后做一个更大的铅球，这个大铅球的半径是多少?（球的体积公式是，其中R是球的半径．）
【题型四】平方根与立方根综合
典例4．（2022春·福建龙岩·七年级统考期中）已知4a+1的平方根是±3，b﹣1的算术平方根为2．
(1)求a与b的值；
(2)求2a+b﹣1的立方根．
变式4-1．（2022春·云南曲靖·七年级校考期末）已知是n－m＋3的算术平方根，是m＋2n的立方根，求B－A的平方根
变式4-2．（2022春·广东中山·七年级统考期中）已知：的算术平方根是3，的立方根是，c是的整数部分，求的值．
变式4-3．（2022春·湖北孝感·七年级统考期中）已知，求x2＋y2－4的平方根．
【题型五】实数与数轴
典例5．（2022春·河北承德·七年级统考期末）如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
变式5-1．（2022春·湖北黄石·七年级统考期中）实数a在数轴上的对应点A的位置如图所示，b＝|a−|＋|2−a|
(1)求b的值；
(2)已知b＋2的小数部分是m，8－b的小数部分是n，求2m＋2n＋1的平方根．
变式5-2．（2022春·江西宜春·七年级校考期中）（1）表示实数，的点在数轴上的位置如图所示，化简代数式的值．

（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值．
变式5-3．（2022春·江西赣州·七年级统考期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)用“＞”或“＜”填空：b﹣c 0，a+b+3 0， 0．
(2)化简：．
【题型六】实数的混合运算
典例6．（2022春·内蒙古呼伦贝尔·七年级校考期末）计算:
变式6-1．（2022春·内蒙古呼和浩特·七年级呼和浩特市实验中学校考期中）计算：
(1)(2)
变式6-2．（2022春·湖南长沙·七年级长沙市长郡双语实验中学校联考期中）计算：
(1)(2)
【题型七】实数运算的实际应用
典例7．（2022春·上海静安·七年级统考期中）如图，在面积为2平方米的正方形ABCD的木料中，挖去以边BC为直径的半圆，则剩下的木料的面积为多少平方米？（，结果精确到 ）
变式7-1．（2022春·江西上饶·七年级统考期末）如图，将长方形分成四个区域，其中A，B两正方形区域的面积分别是3和9.
(1)A，B两正方形的边长各是多少？
(2)求图中阴影部分的面积（结果保留两位小数.参考数据：）.
变式7-2．（2022春·湖北宜昌·七年级校考期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成面积为700平方米的长方形空地，长方形长宽之比为7：4．
(1)求该长方形的长宽各为多少？
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为4：3，面积之和为600平方米，并把原来长方形空地的铁栅栏围墙全部用来围两个小正方形试验田，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗，如果能，原来的铁栅栏围墙够用吗？
【题型八】新定义下的实数运算
典例8．（2022秋·福建厦门·七年级厦门市湖滨中学校考期末）设、是任意两个有理数，规定与之间的一种运算“”为：
（1）求的值；
（2）若，求的值.
变式8-1．（2022秋·山东济南·七年级统考期末）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a．如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16
(1)（﹣2）☆3＝ ；
(2)若（☆3）☆（﹣2）＝16，求a的值；
(3)“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M﹣N，若M﹣N＞0，则M＞N；若M﹣N＝0，则M＝N；若M﹣N＜0，则M＜N．若2☆x＝m，（x）☆3＝n（其中x为有理数），试比较m，n的大小．
变式8-2．（2022秋·江苏·七年级期末）用“*”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定，如：．
(1)求的值；
(2)若，求x的值．
变式8-3．（2022秋·湖南长沙·七年级统考期末）对于任意有理数a、b、c、d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．根据上述规定，解决下列问题：
(1)有理数对______；
(2)若有理数对，则______；
(3)当满足等式中的x是整数时，求整数y的值．
第六章 实数
【题型一】算术平方根的实际应用
典例1．（2022秋·浙江温州·七年级校联考期中）如图， 纸上有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图1），我们可以把它剪开拼成一个正方形（图2）．
(1)图中拼成的正方形的面积是___________； 边长是___________；
(2)你能把十个小正方形组成的图形纸 （图3），剪开并拼成正方形吗？ 若能， 请仿照图 的形式把它重新拼成一个正方形． 并求出这个正方形的边长是___________．
【答案】(1) ；
(2)剪拼图见解析；
【分析】（1）拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积；进一步求边长即可；
（2）仿照（1）中的方法剪拼，根据大正方形的面积求边长即可；
【详解】（1）解：∵拼成的正方形面积等于原五个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
（2）解：剪拼图如下：
∵拼成的正方形面积等于原10个小正方形的面积
∴拼成的正方形面积为：
由正方形的面积公式可得：
【点睛】本题考查了算术平方根；熟练掌握图形的拆补是解题的关键．
变式1-1．（2022春·福建福州·七年级福建省福州第十九中学校考期中）某小区为了促进全民健身活动的开展，决定在一块面积为的正方形空地上建一个篮球场．已知篮球场的面积为，其中长是宽的倍，篮球场的四周必须留出宽的空地，请你通过计算说明能否按规定在这块空地上建一个篮球场？
【答案】能按规定在这块空地上建一个篮球场，见解析
【分析】先设篮球场的宽为xm，列出方程求得篮球场的长和宽，再结合题即可判断能否按规定在这块空地上建篮球场了.
【详解】解：设篮球场的宽为x m，则长为xm，根据题意，得
，即x2=324，
∵x为正数，
∴x==18，
∴篮球场的宽为18m，
∴篮球场的长为30m，
∵ (30+2)2=1024