人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义6.1.1算术平方根(原卷版+解析)

这是一份人教版七年级数学下册同步知识点剖析精品讲义6.1.1算术平方根(原卷版+解析)，共23页。
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。

【题型一】求一个数的算术平方根
【典题】（2022秋·吉林长春·七年级校考期中）的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1．（）（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）的算术平方根是（ ）．
A．2B．4C．D．
2．（）（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（）（2022春·河南三门峡·七年级统考期中）算术平方根等于它本身的数是_____．
4．（）（2022春·山东聊城·七年级统考期中）的算术平方根是_____．
【题型二】利用算术平方根的非负性解题
【典题】（2022秋·山东济南·七年级统考期末）已知，那么（ ）
A．2B．3C．-2D．8
巩固练习
1．（）（2022秋·山东青岛·七年级山东省青岛第二十六中学校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．2或12B．2或C．或12D．或
2．（）（2022春·广西梧州·七年级统考期中）若，则（ ）
A．2B．4C．D．
3．（）（2022春·新疆·七年级统考期中）若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝_____．
4．（）（2022秋·浙江杭州·七年级统考期末）已知，．
(1)求；
(2)若a，b满足，求的值．
5．（）（2022春·安徽芜湖·七年级校考期末）已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【题型三】估计算术平方根的取值范围
【典题】（2022秋·甘肃陇南·七年级统考期中）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
巩固练习
1．（）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）已知a、b表示表中两个相邻的数，且a＜＜b，则a＝（ ）
A．17.4B．17.5C．17.6D．17.7
2．（）（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数与之间，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（）（2022秋·重庆渝中·九年级重庆巴蜀中学校考期中）估计的运算结果应在（）
A．5到6之间B．6到7之间C．5到7之间D．7到8之间
4．（）（2022秋·北京昌平·七年级统考期末）若a和b为两个连续整数，且，那么___________，___________．
5．（）（2022春·福建厦门·七年级厦门市莲花中学校考期末）已知，若是整数，则a＝_____．
【题型四】与算术平方根有关的规律性问题
【典题】（2022秋·山东淄博·七年级统考期末）按一定规律排列的一列数：，，，，其中第6个数为（ ）
A．B．C．D．
巩固练习
1（）（2022春·河北沧州·七年级校考期中）若 则（ ）
A．0.01732B．0.1732C．0.05477D．0.5477
2．（）（2022春·河北邯郸·七年级统考期末）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（ ）
A．179B．109C．210D．104
3．（）（2022春·山东临沂·七年级统考期中）观察下列各式：（1），（2），（3），…，请用你发现的规律写出第8个式子是_____．
4．（）（2022春·湖北十堰·七年级统考期中）将自然数的算术平方根如右图排列，第3行第2列是，则第101行第100列是______．
5．（）（2022春·山东济宁·七年级统考期中）先填写表，通过观察后再回答问题：
(1)表格中x＝ ，y＝ ；
(2)从表格中探究a与数位规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；
②已知＝8.973，若＝89.73，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较与a的大小．
6．（）（2022春·黑龙江大庆·七年级统考期末）观察下列式子变形过程，完成下列任务：
（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；
（2）计算：.
7．（）（2022春·安徽滁州·七年级校联考期末）【初步感知】
(1)直接写出计算结果．
①___________；②_______；③________；④________；
…
【深入探究】观察下列等式．
①；②；③；④；…
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容．
(2)_________；
(3)_______，
【拓展应用】计算：
(4)；
(5)．
【题型五】算术平方根的实际应用
【典题】（2022春·河南商丘·七年级统考期中）面积为4的正方形的边长是（ ）
A．4的平方根B．4的算术平方根C．4开平方的结果D．4的立方根
巩固练习
1（）（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）如图，在数学活动课上，小颖制作了一个表面积为的无盖正方体纸盒，这个正方体纸盒的棱长是（ ）
A．B．C．D．
2．（）（2022春·山东德州·七年级统考期中）“9的算术平方根”这句话用数学符号表示为（ ）
A．B．C．D．
3．（）（2022春·内蒙古通辽·七年级校联考期中）小明打算用一块面积为900cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一个长方形面积为588cm2的桌面，并且长宽之比为4∶3，你认为能做到吗？如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由．
4（）（2022春·陕西商洛·七年级统考期末）小丽想用一块面积为的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么?
5．（）（2022春·福建厦门·七年级校考期末）如图，长方形ABCD长和宽的长度比为4：3，面积为612cm2．请问在此长方形内沿着AB边并排最多能裁出多少个面积为16π的圆？并计算说明．
x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
x2
289
292.41
295.84
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
100
…
6.1.1 算术平方根
算术平方根的概念：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根。记为a，读作“根号a”，a叫做被开方数。
算术平方根的性质：1）正数只有一个算术平方根，且恒为正；
2）0的算术平方根为0（规定）；
3）负数没有算术平方根。

【题型一】求一个数的算术平方根
【典题】（2022秋·吉林长春·七年级校考期中）的算术平方根是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据算术平方根的意义进行计算即可．
【详解】解：的算术平方根是．
故选：B．
【点睛】本题考查了算术平方根，理解算术平方根的意义是正确计算的关键．
巩固练习
1．（）（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）的算术平方根是（ ）．
A．2B．4C．D．
【答案】A
【分析】由于，即求4的算术平方根，这很容易结果．
【详解】∵
∴
即的算术平方根是2
故选：A
【点睛】本题考查求一个正数的算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键，这里还要仔细审题，以免出现选B的错误．
2．（）（2022春·广东江门·七年级校联考期中）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的计算方法求解，然后判断即可得．
【详解】解：A选项：无意义，故A错误；
B选项：，故B错误；
C选项：，故C错误；
D选项：，故D正确．
故选：D．
【点睛】题目主要考查算术平方根，熟练掌握运算法则是解题关键．
3．（）（2022春·河南三门峡·七年级统考期中）算术平方根等于它本身的数是_____．
【答案】0和1
【分析】根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为非负数，由此即可解决问题．
【详解】解：∵1的算术平方根为1，0的算术平方根为0，
∴算术平方根等于它本身的数是1和0，
故答案为：1和0．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义和性质，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误，弄清概念是解决本题的关键．
4．（）（2022春·山东聊城·七年级统考期中）的算术平方根是_____．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：∵ ，
∴的算术平方根是．
故答案为：
【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握“一个非负数x的平方等于a，则x叫做a的算术平方根”是解题关键．
【题型二】利用算术平方根的非负性解题
【典题】（2022秋·山东济南·七年级统考期末）已知，那么（ ）
A．2B．3C．-2D．8
【答案】A
【分析】直接利用绝对值的性质以及算术平方根的性质得出a，b的值，进而求解即可．
【详解】解：∵|a-5|+=0，
∴a-5=0，b-3=0，
解得：a=5，b=3，
∴a-b=5-3=2，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确得出a，b的值是解题关键．
巩固练习
1．（）（2022秋·山东青岛·七年级山东省青岛第二十六中学校考期中）已知，，且，则的值为（ ）
A．2或12B．2或C．或12D．或
【答案】D
【详解】根据=5，=7，得，因为，则，则=5-7=-2或-5-7=-12.
故选D.
2．（）（2022春·广西梧州·七年级统考期中）若，则（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，则，即可得．
【详解】解：∵，
∴，
则，
即，
故选C．
【点睛】本题考查了算术平方根，解题的关键是掌握算式平方根．
3．（）（2022春·新疆·七年级统考期中）若（a﹣1）2与互为相反数，则a2018+b2019＝_____．
【答案】0
【分析】根据相反数的概念和非负数的性质列出方程，求出a、b的值，最后代入所求代数式计算即可．
【详解】解：由题意得，（a﹣1）2+＝0，
则a﹣1＝0，b+1＝0，
解得，a＝1，b＝﹣1，
则a2018+b2019＝12018+（﹣1）2019＝1+（﹣1）＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了相反数的性质和算术平方根非负性的性质，正确运用算术平方根非负性的性质是解答本题的关键．
4．（）（2022秋·浙江杭州·七年级统考期末）已知，．
(1)求；
(2)若a，b满足，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先列式，再去括号，再合并同类项即可得到答案；
（2）利用算术平方根，绝对值的非负性求解的值，再代入化简后的代数式即可得到答案.
【详解】（1）解： ，，


（2）解： ，

解得：

【点睛】本题考查的是非负数的性质，整式的加减运算中的化简求值，掌握“算术平方根与绝对值的非负性，去括号与合并同类项”是解本题的关键.
5．（）（2022春·安徽芜湖·七年级校考期末）已知a，b，c满足，请回答下列问题：
（1）直接写出a，b，c的值．_______，_______，_______．并在数轴上表示．
（2）a，b，c所对应的点分别为A，B，C，若点A以每秒1个单位长度向右运动，点C以每秒3个单位长度向左运动；
①运动1.5秒后，A，C两点相距几个单位长度．
②几秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【答案】（1）-3，1，5，数轴见解析；（2）①2；②1秒或3秒
【分析】（1）根据非负数的性质可得a，b，c，再在数轴上表示；
（2）①分别求出1.5秒后点A和点C所表示的数，再计算距离；
②分点A在点C左侧，点A在点C右侧两种情况，列方程求解．
【详解】解：（1）∵，
∴a+3=0，b-1=0，c-5=0，
∴a=-3，b=1，c=5，
数轴表示如下：
（2）①由题意可得：1.5秒后，
点A表示的数为：-3+1.5×1=-1.5，
点C表示的数为：5-3×1.5=0.5，
0.5-（-1.5）=2，
∴A，C两点相距2个单位长度；
②设t秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度，
若点A在点C左侧，
则-3+t+4=5-3t，
解得：t=1；
若点A在点C右侧，
则-3+t=5-3t+4，
解得：t=3，
综上：1秒或3秒后，A，C两点之间的距离为4个单位长度．
【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程，非负数的性质，解题的关键是理解运动过程，掌握数轴上两点间距离的表示方法．
【题型三】估计算术平方根的取值范围
【典题】（2022秋·甘肃陇南·七年级统考期中）一个正方形的面积是18，估计它的边长的大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【答案】C
【分析】根据正方形的面积是18，可得它的边长是，然后再估算的大小，即可求解．
【详解】解：∵正方形的面积是18，
∴它的边长是，
∵，
∴，
即它的边长的大小在4与5之间．
故选：C
【点睛】本题主要考查了无理数的估算，求算术平方根，熟练掌握估算无理数的大小时要用有理数逼近无理数，求无理数的近似值是解题的关键．
巩固练习
1．（）（2022秋·河南南阳·七年级统考期末）已知a、b表示表中两个相邻的数，且a＜＜b，则a＝（ ）
A．17.4B．17.5C．17.6D．17.7
【答案】C
【分析】根据表中的数据以及算术平方根的定义求解即可，如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．
【详解】解：∵
又a、b表示表中两个相邻的数，a＜＜b，
故选C
【点睛】本题考查了算术平方根的估算，根据表中信息求解是解题的关键．
2．（）（2022春·安徽淮北·七年级淮北一中校联考期末）一个正方形的面积是20，通过估算，它的边长在整数与之间，则的值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据算术平方根的估计方法求解即可．
【详解】解：∵正方形的面积是20，
∴边长为
∵42=16，52=25，
∴42