2024年四川省广安市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省广安市中考数学试卷【含解析】，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，实践应用题，推理论证题，拓展探究题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数最大的是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．1
2．（3分）下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（ ）
A．﹣3与x的和B．﹣3与x的差C．﹣3与x的积D．﹣3与x的商
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a8÷a4＝a2
4．（3分）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校B．安C．平D．园
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．将580000用科学记数法表示为：5.8×104
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差S甲2＝1.2，乙组同学成绩的方差S乙2＝0.05，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是540°”是必然事件
7．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0且m≠﹣1B．m≥0C．m≤0且m≠﹣1D．m＜0
8．（3分）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y（单位：帕），时间为x（单位：秒），则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣，0），对称轴是直线x＝﹣，有以下结论：①abc＜0；②若点（﹣1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；④3a+4c＝0，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）3﹣＝ ．
12．（3分）分解因式：a3﹣9a＝ ．
13．（3分）若x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x+1＝ ．
14．（3分）如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 ．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
16．（3分）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：（﹣3）0+2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1．
18．（6分）先化简（a+1﹣）÷，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
20．（6分）如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线AB与x轴交于点C，点P（m，0）是x轴上的点，若△PAC的面积大于12，请直接写出m的取值范围．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
22．（8分）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
（1）求A，B两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
23．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
24．（8分）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片，请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD＝，DA＝FG＝2，求CE的长．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
2024年四川省广安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题只有一个选项符合题意，请将所选选项填涂在答题卡相应位置上．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列各数最大的是（ ）
A．﹣2B．﹣C．0D．1
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：∵﹣2＜＜0＜1，
∴最大的数是：1．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是本题的关键．
2．（3分）下列对代数式﹣3x的意义表述正确的是（ ）
A．﹣3与x的和B．﹣3与x的差C．﹣3与x的积D．﹣3与x的商
【分析】代数式﹣3x可以表述为：﹣3与x的积，或者3与x的积的相反数．数字与字母乘法中，乘号可以省略．
【解答】选项A：﹣3与x的和应为：﹣3+x，不合题意；
选项B：﹣3与x的差应为：﹣3﹣x，不合题意；
选项C：符合题意；
选项D：﹣3与x的商应为：，不合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查代数式的意义，用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．
3．（3分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5B．（﹣2a2）3＝﹣8a6
C．（a﹣1）2＝a2﹣1D．a8÷a4＝a2
【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；完全平方公式等对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2+a3无法化简，故A选项错误；
B、（﹣2a2）3＝﹣8a6，故B选项正确；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，故C选项错误；
D、a8÷a4＝a4，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、完全平方公式，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．（3分）将“共建平安校园”六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体上，与“共”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．校B．安C．平D．园
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【解答】解：在原正方体中，与“共”字所在面相对的面上的汉字是校，
故选：A．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．
5．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ ）
A．45°B．50°C．60°D．65°
【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质求出∠B，再根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，
∴∠B＝∠CED＝70°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、三角形内角和定理，熟记三角形中位线平行于第三边是解题的关键．
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．将580000用科学记数法表示为：5.8×104
B．在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数和众数都是8
C．甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差S甲2＝1.2，乙组同学成绩的方差S乙2＝0.05，则甲组同学的成绩较稳定
D．“五边形的内角和是540°”是必然事件
【分析】根据随机事件、科学记数法﹣表示较大的数、中位数、众数、方差知识点进行解题即可．
【解答】解：A、将580000用科学记数法表示为：5.8×105，故该项不正确，不符合题意；
B、在8，6，3，5，8，8这组数据中，中位数是7，众数是8，故该项不正确，不符合题意；
C、甲乙两组同学参加“环保知识竞赛”，若甲乙两组同学的平均成绩相同，甲组同学成绩的方差S甲2＝1.2，乙组同学成绩的方差S乙2＝0.05，则乙组同学的成绩较稳定，故该项不正确，不符合题意；
D、“五边形的内角和是540°”是必然事件，故该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查随机事件、科学记数法﹣表示较大的数、中位数、众数、方差，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
7．（3分）若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜0且m≠﹣1B．m≥0C．m≤0且m≠﹣1D．m＜0
【分析】根据关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，可得，即可解得答案．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴，
解得m＜0且m≠﹣1；
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不相等的实数根需满足Δ＞0．
8．（3分）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为y（单位：帕），时间为x（单位：秒），则y关于x的函数图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较小，故注水过程的水的高度是先慢后快．
【解答】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较小，
所以注水过程的水的高度是先慢后快，故选项B正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
9．（3分）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝10，∠C＝70°，以AB为直径作半圆，与AC，BC分别相交于点D，E，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠A的度数，证明OE∥AC，再由OA＝OD，再由等腰三角形的性质和平行线的性质求得∠DOE的度数，利用弧长公式即可求解．
【解答】解：连接OD，OE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝70°，
∵OE＝OB，
∴∠OEB＝∠ABC＝70°，
∴∠OEB＝∠C＝70°，
∴OE∥AC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣70°﹣70°＝40°，，
∵OE∥AC，
∴∠A＝∠ADO＝40°＝∠DOE，
∴的长度为，
故选：C．
【点评】本题考查了弧长的求解，得到圆心角和半径是解题的关键．
10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣，0），对称轴是直线x＝﹣，有以下结论：①abc＜0；②若点（﹣1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③am2+bm≤a﹣b（m为任意实数）；④3a+4c＝0，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据二次函数图象的性质、二次函数图象与系数的关系以及与x轴交点问题逐项分析判断即可．
【解答】解：∵二次函数开口方向向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
∵对称轴是直线，点（﹣1，y1）和点（2，y2）都在抛物线上，
又∵，
∴y1＞y2，故②错误；
∵当x＝m时，y＝am2+bm+c，当时，函数取最大值 ，
∴对于任意实数m有：，
∴，故③正确；
∵，
∴b＝a，
∵当时，y＝0，
∴，
∴9a﹣6b+4c＝0，即3a+4c＝0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键在于通过图象判断对称轴，开口方向以及函数与坐标轴的交点．
二、填空题（请把最简答案填写在答题卡相应位置．本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）3﹣＝ 0 ．
【分析】利用算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣3＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（3分）分解因式：a3﹣9a＝ a（a+3）（a﹣3） ．
【分析】本题应先提出公因式a，再运用平方差公式分解．
【解答】解：a3﹣9a＝a（a2﹣32）＝a（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
13．（3分）若x2﹣2x﹣3＝0，则2x2﹣4x+1＝ 7 ．
【分析】由已知条件可得x2﹣2x＝3，将原式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，
∴x2﹣2x＝3，
∴2x2﹣4x+1
＝2（x2﹣2x）+1
＝2×3+1
＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．
14．（3分）如图，直线y＝2x+2与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB绕点A逆时针方向旋转90°得到△ACD，则点D的坐标为 （﹣3，1） ．
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出OA，OB的长，由旋转的性质，可求出AC，CD的长，再结合点D的位置，即可得出点D的坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝2×0+2＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2；
当y＝0时，2x+2＝0，
解得：x＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA＝1．
根据旋转的性质，可得出：CD＝OB＝2，AC＝AO＝1，AC⊥x轴，CD∥x轴，
∴点D的坐标为（﹣1﹣2，1），即（﹣3，1）．
故答案为：（﹣3，1）．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形变化﹣旋转，利用一次函数图象上点的坐标特征以及旋转的性质，求出点D的坐标是解题的关键．
15．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 ．
【分析】如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM′＝A′M′，当M，M'重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，再进一步结合勾股定理求解即可．
【解答】解：如图，作A关于直线BC的对称点A′，连接A′D交BC于M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM'＝A'M'，
∴当M，M′重合时，MA+MD最小，最小值为A′D，
∵AB＝4，∠ABC＝30°，在▱ABCD中，
∴，AD∥BC，
∴AA'＝2AH＝4，AA'⊥AD，
∵AD＝5，
∴，
故答案为：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确理解各性质及掌握各知识点是解题的关键．
16．（3分）已知，直线l：y＝x﹣与x轴相交于点A1，以OA1为边作等边三角形OA1B1，点B1在第一象限内，过点B1作x轴的平行线与直线l交于点A2，与y轴交于点C1，以C1A2为边作等边三角形C1A2B2（点B2在点B1的上方），以同样的方式依次作等边三角形C2A3B3，等边三角形C3A4B4…，则点A2024的横坐标为 ．
【分析】由直线l：y＝x﹣可知，点A1坐标为（1，0），可得OA1＝1，由于△OA1B1是等边三角形，可得点，把y＝代入直线解析式即可求得A2的横坐标，可得A2C1＝，由于△B2A2B1是等边三角形，可得点A2；同理，A3，发现规律即可得解．
【解答】解：∵直线l：y＝x﹣与x轴负半轴交于点A1，
∴点A1坐标为（1，0），
∴OA1＝1，
过B1，B2作B1M⊥x轴交x轴于点M，B2N⊥x轴交A1B1于点D，交x轴于点N，
∵△A1B1O为等边三角形，
∴∠OB1M＝30°，
∴MO＝A1O＝，
∴B1M＝＝，
∴B1（，），
当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A2C1＝，，，
∴C1D＝A2C1＝，
∴B2D＝＝，
∴B2N＝+＝，
∴当y＝时，＝x﹣，
解得：x＝，
∴A1；
而＝，
同理可得：A4的横坐标为＝，
∴点A2024的横坐标为，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共4个小题，第17小题5分，第18、19、20小题各6分，共23分）
17．（5分）计算：（﹣3）0+2sin60°+|﹣2|﹣（）﹣1．
【分析】利用负整数指数幂，特殊三角函数值，绝对值的性质及零指数幂计算即可．
【解答】解：原式＝1+2×+2﹣﹣2
＝
＝1．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊三角函数值及零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（6分）先化简（a+1﹣）÷，再从﹣2，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）•
＝•
＝，
由题意得：a≠1且a≠﹣2，
当a＝0时，原式＝＝﹣1，
当a＝2时，原式＝＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
19．（6分）如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AB，BC边上的点，BE＝BF，求证：∠DEF＝∠DFE．
【分析】由菱形的性质推出AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，而BE＝BF，得到AE＝CF，由SAS推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF，因此∠DEF＝∠DCF．
【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C，
∵BE＝BF，
∴AE＝CF，
在△DAE和△DCF 中，
，
∴△DAE≌△DCF（SAS），
∴DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DCF．
【点评】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是由菱形的性质推出△DAE≌△DCF，得到DE＝DF．
20．（6分）如图，一次函数y＝ax+b（a，b为常数，a≠0）的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于A（2，4），B（n，﹣2）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）直线AB与x轴交于点C，点P（m，0）是x轴上的点，若△PAC的面积大于12，请直接写出m的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；
（2）先求出点C坐标表示出线段PC长，设点P坐标为（m，0），根据面积大于12列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）把点A（2，4）代入 ，得 k＝8，
∴反比例函数的解析式为 ，
把点B（n，﹣2）代入 得，
n＝﹣4，
∵点A（2，4），B（﹣4，﹣2）在一次函数 y＝ax+b 的图象上，
∴解得，
∴一次函数的解析式为 y＝x+2．
（2）在函数y＝x+2中，当y＝0时，x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
设点P坐标为（m，0），则PC＝丨m+2丨，
∵S△PAC＝丨m+2丨×4＞12，
∴丨m+2丨＞6，
解得：m＞4或m＜﹣8．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键．
四、实践应用题（本大题共4个小题，第21小题6分，第22、23、24小题各8分，共30分）
21．（6分）睡眠管理作为“五项管理”中的重要内容之一，也是学校教育重点关注的内容．某校为了解学生平均每天睡眠时间，随机抽取该校部分学生进行问卷调查，并将结果进行了统计和整理，绘制成如下统计表和不完整的统计图．
（1）本次抽取调查的学生共有 50 人，扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为 144° ；
（2）请补全条形统计图；
（3）被抽取调查的E类4名学生中有2名女生，2名男生．从这4人中随机抽取2人进行电话回访，请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到2名男生的概率．
【分析】（1）由B的人数除以所占百分比得出本次抽取调查的学生人数，即可解决问题；
（2）求出D的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次抽取调查的学生共有14÷28%＝50（人），
扇形统计图中表示C类学生平均每天睡眠时间的扇形的圆心角度数为360°×＝144°，
故答案为：50，144°；
（2）D的人数为：50﹣6﹣14﹣20﹣4＝6（人），
补全条形统计图如下：
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到2名男生的结果有2种，
∴恰好抽到2名男生的概率＝＝．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
22．（8分）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元．
（1）求A，B两种花卉的单价．
（2）该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用．
【分析】（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株，依据购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元；购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元列出二元一次方程组，解答即可；
（2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000﹣m） 株，总费用为W元．依据采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍列出不等式，解答即可．
【解答】解：（1）设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株．
由题意得：，
解得：，
答：A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株；
（2）设采购A种花卉m株，则B种花卉（10000﹣m） 株，总费用为W元．
由题意得：W＝3m+5（10000﹣m）＝﹣2m+50000，
∵m≤4（10000﹣m），
解得：m≤8000，
在W＝﹣2m+50000中，
∵﹣2＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴当 m＝8000 时W的值最小，
Wa＝﹣2×8000+50000＝34000，
此时10000﹣m＝2000，
答：当购进A种花卉8000株，B种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应方程或不等式．
23．（8分）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1），某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点A，B，C，D均在同一平面内，AB⊥BC）．已知斜坡CD长为20米，斜坡CD的坡角为60°，在斜坡顶部D处测得风力发电机塔杆顶端A点的仰角为20°，坡底与塔杆底的距离BC＝30米，求该风力发电机塔杆AB的高度．（结果精确到个位；参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，≈1.73）
【分析】过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，根据三角函数的定义得到CH＝CD•cs60°＝10m，D，根据矩形的性质得到BH＝FD，BF＝DH，求得FD＝40m，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，作DH⊥BE于点H，
由题意得：DC＝20m，∠DCH＝60°，
在Rt△DCH中，
∵，，
∴CH＝CD•cs60°＝10m，
∴D，
∵∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，
∴四边形DFBH为矩形，
∴BH＝FD，BF＝DH，
∵BH＝BC+CH＝（30+10）m＝40m，
∴FD＝40m，
在Rt△AFD中，，
∴AF＝FD•tan20°＝40×0.36m＝14.4m，
∴AB＝AF+BF＝（17.3+14.4）m＝31.7m≈32m，
答：该风力发电机塔杆AB的高度为32m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
24．（8分）如图，矩形纸片的长为4，宽为3，矩形内已用虚线画出网格线，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，现沿着网格线对矩形纸片进行剪裁，使其分成两块纸片，请在下列备用图中，用实线画出符合相应要求的剪裁线．
注：①剪裁过程中，在格点处剪裁方向可发生改变但仍须沿着网格线剪裁；
②在各种剪法中，若剪裁线通过旋转、平移或翻折后能完全重合则视为同一情况．
【分析】根据要求画出剪裁线即可．
【解答】解：方法如图所示：
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
五、推理论证题（9分）
25．（9分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D在BA的延长线上，∠DCA＝∠CBA．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）点G是半径OB上的点，过点G作OB的垂线与BC交于点F，与DC的延长线交于点E，若sinD＝，DA＝FG＝2，求CE的长．
【分析】（1）连接OC，由圆周角定理求∠ACB＝90°，再利用等角的余角相等求得∠OCD＝90°，据此即可证明DC是圆O的切线；
（2）利用三角函数的定义求得OC＝OA＝8，在Rt△OCD中，利用勾股定理求得CD＝6，再证明△DOC∽△DEG，利用相似三角形的性质列式计算即可求解．
【解答】解：（1）证明：连接OC
∵OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB，
∵∠DCA＝∠OBC，
∴∠DCA＝∠OCB，
而AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝∠OCA+∠OCB＝90°，
∴∠OCD＝90°，
∴DC是⊙O的切线，
（2）设OC＝OA＝r，
∵，
∴，
∴r＝8，
∴OC＝OA＝8，
在 Rt△OCD 中，，
∵∠DCA+∠ECF＝∠BFG+∠CBA＝90°，
∴∠ECF＝∠BFG，
又∵∠BFG＝∠EFC，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴EC＝EF，设EC＝EF＝x，
∵∠D＝∠D，∠DCO＝∠DGE，
∴△DOC∽△DEG，
∴，则 ，
解得：x＝14，
经检验x＝14是所列方程的解，
∴CE＝14．
【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，正确证明△DOC∽△DEG是解决本题的关键．
六、拓展探究题（10分）
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点B坐标为（3，0）．
（1）求此抛物线的函数解析式．
（2）点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D，过点P作y轴的垂线，垂足为点E，请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请说明理由．
（3）点M为该抛物线上的点，当∠MCB＝45°时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．
【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式；
（2）先求解C（0，2），及直线BC为，设，可得，再建立二次函数求解即可；
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，可得∠BCK＝∠BCT＝45°，CK，CT与抛物线的另一个 交点即为M，如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，求解T（m，m﹣1），进一步求解直线CT为y＝﹣5x+2，直线CK为，再求解函数的交点坐标即可．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A坐标为 （﹣1，0），点B坐标为（3，0），
∴．
（2）当x＝0时，，
∴C（0，2），
设直线BC为y＝kx+2，
∴3k+2＝0，
解得，
∴直线BC为，
设，
∴，
∴2PD+PE＝＝，
当时，有最大值，
此时．
（3）如图，以CB为对角线作正方形CTBK，
∴∠BCK＝∠BCT＝45°，
∴CK，CT与抛物线的另一个交点即为M，
如图，过T作x轴的平行线交y轴于Q，过B作BG⊥TQ于G，则OB＝GQ＝3，
∴∠CTB＝90°＝∠CQT＝∠QGB，
∴∠QCT+∠CTQ＝90°＝∠CTQ+∠BTG，
∴∠QCT＝∠BTG，
∵CT＝BT，
∴△CQT≌△TGB（AAS），
∴QT＝GB，CQ＝TG，
设TQ＝GB＝m，则CQ＝TG＝3﹣m，
∴Q0＝3﹣m﹣2＝1﹣m，
∴T（m，m﹣1），
由TC＝TB可得m2+（m﹣3）2＝（m﹣3）2+（m﹣1）2，
解得，
∴，
设CT为y＝nx+2，
∴，
解得n＝﹣5，
∴直线CT为y＝﹣5x+2，
∴，
解得或，
∴，，C（0，2），B（3，0），正方形CTBK．
∴，
同理可得直线CK为，
∴，
解得或，
∴，
综上，点M的坐标为或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/6/18 7:38:52；用户：陈莉；邮箱：badywgy52@xyh.cm；学号：39221433学生类别
学生平均每大睡眠时间x（单位：小时）
A
7≤x＜7.5
B
7.5≤x＜8
C
8≤x＜8.5
D
8.5≤x＜9
E
x≥9
学生类别
学生平均每大睡眠时间x（单位：小时）
A
7≤x＜7.5
B
7.5≤x＜8
C
8≤x＜8.5
D
8.5≤x＜9
E
x≥9