2024年四川省凉山州中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省凉山州中考数学试卷【含解析】，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题解答应写出文字说明，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5abB．（ab2）3＝a3b5C．a8÷a2＝a4D．a2•a3＝a6
4．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
5．点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．5
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
7．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
8．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2B．s甲2＜s乙2C．s甲2＝s乙2D．无法确定
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
10．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
11．如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
12．抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝ ．
14．方程＝的解是 ．
15．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
16．如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 ．
17．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 ．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）计算：+|2﹣|+2﹣1+cs30°﹣（﹣1）0．
19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
22．（8分）如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 ．
24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 （填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2024年四川省凉山州中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分）在每小题给出的四个选项中只有一项的，请把正确选项的字母序号填涂在答题卡上对应的位置。
1．下列各数中：5，﹣，﹣3，0，﹣25.8，+2，负数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：5＞0，是正数；
，是负数；
﹣3＜0，是负数；
0既不是正数，也不是负数；
﹣25.8＜0，是负数；
+2＞0，是正数；
∴负数有，﹣3，﹣25.8，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数．
2．如图，由3个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可．
【解答】解：从上面可看，是一行两个相邻的正方形．
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3．下列运算正确的是（ ）
A．2ab+3ab＝5abB．（ab2）3＝a3b5
C．a8÷a2＝a4D．a2•a3＝a6
【分析】利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂乘法及除法法则逐项判断即可．
【解答】解：2ab+3ab＝5ab，则A符合题意；
（ab2）3＝a3b6，则B不符合题意；
a8÷a2＝a6，则C不符合题意；
a2•a3＝a5，则D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂乘法及除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点E在AB的延长线上，当DF∥AB时，∠EDB的度数为（ ）
A．10°B．15°C．30°D．45°
【分析】根据一副直角三角板的性质得出∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，再根据两直线平行，内错角相等得出∠FDB＝∠ABC＝45°，即可求出∠EDB的度数．
【解答】解：由题意得，∠ABC＝45°，∠EDF＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABC＝45°，
∴∠EDB＝∠FDB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质，一副直角三角板的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．5
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数．
【解答】解：∵点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），
∴a＝﹣2，b＝3，
∴a+b＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点，掌握关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数是解题的关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，若△ACD的周长为50cm，则AC+BC＝（ ）
A．25cmB．45cmC．50cmD．55cm
【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝DB，进而利用三角形的周长解答即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AB交BC于点D，
∴AD＝DB，
∵△ACD的周长为50cm，
即AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝50cm，
故选：C．
【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出AD＝DB解答．
7．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度h随时间t变化的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小．故注水过程的水的高度是先快后慢再快．
【解答】解：因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小，
所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数的图象，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙两个芭蕾舞团都表演了舞剧《天鹅湖》，每个团参加表演的8位女演员身高的折线统计图如下．则甲、乙两团女演员身高的方差s甲2、s乙2大小关系正确的是（ ）
A．s甲2＞s乙2B．s甲2＜s乙2C．s甲2＝s乙2D．无法确定
【分析】直接根据8位女演员身高的波动情况比较两团的方差即可；
【解答】解：∵观察甲、乙两团女演员身高的折线统计图，发现甲的波动小于乙的波动，
∴S甲2＜S乙2，
故选：B．
【点评】本题考查了方差的意义及折线统计图的知识，解题的关键是了解方差越大波动越大，不需通过计算方差得到．
9．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．
【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得a2﹣4＝0且a+2≠0，解得a的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是x＝0，
∴a2﹣4＝0且a+2≠0，
解得：a＝2，
故选：A．
【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
10．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（ ）
A．50cmB．35cmC．25cmD．20cm
【分析】根据垂径定理可以得到BD的长，再根据勾股定理，即可求得圆形工件的半径．
【解答】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，
∵CD垂直平分AB，AB＝40cm，
∴BD＝20cm，
∵CD＝10cm，OC＝OB，
∴OD＝OB﹣10，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（OB﹣10）2+202＝OB2，
解得OB＝25，
即圆形工件的半径为25cm，
故选：C．
【点评】本题考查垂径定理的应用、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
11．如图，一块面积为60cm2的三角形硬纸板（记为△ABC）平行于投影面时，在点光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB：BB1＝2：3，则△A1B1C1的面积是（ ）
A．90cm2B．135cm2C．150cm2D．375cm2
【分析】由题意可知△A1B1C1与△ABC是位似图形，根据位似图形的面积比等于位似比的平方可得答案．
【解答】解：由题意可知，△A1B1C1与△ABC是位似图形，且位似比为：，
∴△A1B1C1的面积是60÷＝375（cm2），
故选：D．
【点评】本题考查了中心投影以及三角形的面积，根据题意得出△A1B1C1与△ABC是位似图形是解答本题的关键．
12．抛物线y＝（x﹣1）2+c经过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
【分析】由题意可知抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，求出（，y3）关于直线x＝1的对称点，然后根据二次函数的增减性可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+c，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵（，y3）关于直线x＝1的对称点是（﹣，y3），
∵﹣2＜﹣＜0＜1，
∴y1＞y3＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的增减性，解答本题的关键是掌握二次函数的增减性，把三个点通过对称性转移到对称轴的同一侧，然后利用二次函数的增减性解答．
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．已知a2﹣b2＝12，且a﹣b＝﹣2，则a+b＝ ﹣6 ．
【分析】利用平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算即可．
【解答】解：∵a2﹣b2＝12，
∴（a+b）（a﹣b）＝12，
∵a﹣b＝﹣2，
∴a+b＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查平方差公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
14．方程＝的解是 x＝9 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可确定出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x＝3x﹣9，
解得：x＝9，
经检验x＝9是分式方程的解，
故答案为：x＝9
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
15．如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 100° ．
【分析】由CD是边AB上的高，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，可求得∠CAB、∠CBA的度数，因为AE是∠CAB的平分线，可得∠EAB的度数，根据三角形内角和定理，可得∠AEB的度数．
【解答】解：∵CD是边AB上的高，
∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝50°，∠CBD＝90°﹣∠BCD＝60°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ACD＝40°，
∵AE是∠CAB的平分线，
∴∠EAB＝∠CAB＝20°，
∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠EBA＝100°，
故答案为：100°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理，角平分线的定义．
16．如图，四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，若对角线AC＝24，BD＝18，则四边形EFGH的周长是 42 ．
【分析】根据三角形中位线定理分别求出EF、FG、GH、HE，根据四边形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，
∴EF、FG、GH、HE分别为△ABC、△BCD、△ADC、△ABD的中位线，
∴EF＝AC＝×24＝12，GH＝AC＝12，FG＝BD＝×18＝9，HE＝BD＝9，
∴四边形EFGH的周长为：12+9+12+9＝42，
故答案为：42．
【点评】本题考查的是中点四边形，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
17．如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为 9 ．
【分析】先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再求出点C坐标，根据三角形面积公式计算面积即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过A（3，6）、B（0，3）两点，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x＝﹣3，
∴C（﹣3，0），
∴S△AOC＝＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求解析式是关键．
三、解答题（共5小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（5分）计算：+|2﹣|+2﹣1+cs30°﹣（﹣1）0．
【分析】利用分母有理化法则，零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质计算即可．
【解答】解：原式＝+2﹣++﹣1
＝+2﹣++﹣1
＝2．
【点评】本题考查分母有理化，特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
19．（5分）求不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解．
【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后求出不等式组的整数解即可．
【解答】解：﹣3＜4x﹣7≤9，
即，
解不等式①，得x＞1，
解不等式②，得x≤4，
所以不等式组的解集是1＜x≤4，
所以不等式组﹣3＜4x﹣7≤9的整数解是2，3，4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集是解此题的关键．
20．（7分）为保证每位同学在学校组织的课外体育活动中，都能参与自己最喜欢的球类项目，学校体育社团随机抽取部分同学进行“最喜欢的球类项目”的调查（每人只能选择一项），根据调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图：
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查的总人数是 50 人，估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有 120 人；
（2）补全条形统计图；
（3）学校体育社团为了制订训练计划，将从最喜欢篮球项目的甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名进行个别访谈，请用列表法或画树状图法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【分析】（1）根据最喜欢足球的有18人，对应的百分比是36%，据此即可求得总人数；利用1500除以最喜欢乒乓球所占的百分数，即可求解；
（2）求出喜欢篮球的人数和喜欢羽毛球的人数，然后补全统计图即可；
（3）首先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，再根据概率公式，计算即可．
【解答】解：（1）本次调查的总人数是为：18×36%＝50（人），
估计全校1500名学生中最喜欢乒乓球项目的约有1500×＝120（人），
故答案为：50，120；
（2）喜欢篮球的人数为：50×24%＝12（人），
喜欢乒乓球的人数为：50﹣18﹣12﹣10﹣4＝6（人），
补全条形统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中抽取两人恰好是甲乙的结果数为2，
∴甲乙两位同学同时被抽中的概率为：＝．
【点评】本题考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、利用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在充分利用统计图解答．
21．（7分）为建设全城旅游西昌，加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”窣（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为30°，眼睛B距离地面1.8m，向塔前行67m，到达点D处，测得塔顶C的仰角为60°，求塔高CF． （参考数据：≈1.414，≈1.732，结果精确到0.01m）
【分析】先用CG表示EG，BG，再根据BG﹣EG＝67m，列方程求出CG，进一步可求出CF，从而解决问题．
【解答】解：由题意，知∠CBG＝30°，∠CEG＝60°，∠CGB＝∠CGE＝90°，GF＝ED＝BA＝1.8m，BE＝67m，
在Rt△CBG中，
BG＝＝CG，
在Rt△CEG中，
EG＝＝CG，
∵BG﹣EG＝BE，
∴CG﹣CG＝67，
解得CG≈58.03（m），
∴CF＝CG+GF＝58.03+1.8＝59.83（m），
答：塔高CF为59.83m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，理解题意，熟练运用三角函数关系是解题的关键．
22．（8分）如图，正比例函数y1＝x与反比例函数y2＝（x＞0）的图象交于点A（m，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）把直线y1＝x向上平移3个单位长度与y2＝（x＞0）的图象交于点B，连接AB、OB，求△AOB的面积．
【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先得到平移后直线解析式，联立方程组求出点B坐标，根据平行线可得S△AOB＝S△ADO代入数据计算即可．
【解答】解：（1）∵点A（m，2）在正比例函数图象上，
∴2＝，解得x＝4，
∴A（4，2），
∵A（4，2）在反比例函数图象上，
∴k＝8，
∴反比例函数解析式为y2＝．
（2）把直线y1＝x向上平移3个单位得到解析式为y＝，
直线与y轴交点坐标为D（0，3），连接AD，
联立方程组，
解得，（舍去），
∴B（2，4），
∴S△AOB＝S△ADO＝＝6．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握函数的平移法则是关键．
四、填空题（共2小题，每小题5分，共10分）
23．（5分）已知y2﹣x＝0，x2﹣3y2+x﹣3＝0，则x的值为 3 ．
【分析】由已知条件可得y2＝x，将其代入x2﹣3y2+x﹣3＝0中整理后解一元二次方程求得符合题意的x的值即可．
【解答】解：∵y2﹣x＝0，
∴y2＝x≥0，
∵x2﹣3y2+x﹣3＝0，
∴x2﹣3x+x﹣3＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1（舍去），
即x的值为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于x的方程是解题的关键．
24．（5分）如图，⊙M的圆心为M（4，0），半径为2，P是直线y＝x+4上的一个动点，过点P作⊙M的切线，切点为Q，则PQ的最小值为 2 ．
【分析】连接MP、MQ，根据切线的性质得到MQ⊥PQ，根据勾股定理得到PQ＝，根据一次函数解析式求出点A、点B的坐标，再根据垂线段最短计算即可．
【解答】解：如图，连接MP、MQ，
∵PQ是⊙M的切线，
∴MQ⊥PQ，
∴PQ＝＝，
当PM最小时，PQ最小，
当MP⊥AB时，MP最小，
直线y＝x+4与x轴的交点A的坐标为（﹣4，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），
∴OA＝OB＝4，
∴∠BAO＝45°，AM＝8，
当MP⊥AB时，MP＝AM•sin∠BAO＝8×＝4，
∴PQ的最小值为：＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是切线的性质、一次函数的图象和性质、垂线段最短，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25．（8分）阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…，容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．
（1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为 36 ，前15行的点数之和为 120 ，那么，前n行的点数之和为 ．
（2）体验：三角点阵中前n行的点数之和 不能 （填“能”或“不能”）为500．
（3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
【分析】（1）依次求出前n（n为正整数）行点数之和，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
三角点阵中前1行的点数之和为：1；
三角点阵中前2行的点数之和为：1+2；
三角点阵中前3行的点数之和为：1+2+3；
三角点阵中前4行的点数之和为：1+2+3+4；
…，
所以三角点阵中前n行的点数之和为：1+2+3+…+n＝．
当n＝8时，
，
即三角点阵中前8行的点数之和为36．
当n＝15时，
，
即三角点阵中前15行的点数之和为120．
故答案为：36，120，．
（2）不能．
令得，
解得n＝，
因为n为正整数，
所以三角点阵中前n行的点数之和不能为500．
故答案为：不能．
（3）由题知，
前n排盆景的总数可表示为n（n+1），
令n（n+1）＝420得，
解得n1＝﹣21，n2＝20．
因为n为正整数，
所以n＝20，
即一共能摆20排．
【点评】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给点阵发现前n行点数之和的变化规律是解题的关键．
26．（10分）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E是BC边上一个动点，连接AE，AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，连接EN、CN．
（1）求证：EN＝CN；
（2）求2EN+BN的最小值．
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质和菱形的性质即可证明出结论；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，证明出2EN+BN的最小值为2AH，再求出AH即可解决问题．
【解答】解：（1）连接AN，如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A，点C关于直线BD轴对称，
∴AN＝CN，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴AN＝EN，
∴EN＝CN；
（2）过点N作NG⊥BC于点G，连接AN，AG，过点A作AH⊥BC于点H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BN＝2NG，
∵AE的垂直平分线MN交AE于点M，交BD于点N，
∴EN＝AN，
∴2EN+BN＝2AN+2NG＝2（AN+NG）≥2AG≥2AH，
∴2EN+BN的最小值为2AH，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴AH＝AB•sin60°＝，
∴2EN+BN的最小值为2．
【点评】本题考查菱形的性质，三角函数，含30°角直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，通过作辅助线将所求线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键．
27．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的直线DE⊥AC，交AC的延长线于点E，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接EO并延长，分别交⊙O于M、N两点，交AD于点G，若⊙O的半径为2，∠F＝30°，求GM•GN的值．
【分析】（1）连接OD，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质证明∠DAE＝∠ODA，进而证得OD⊥DE，根据切线的判定即可证得结论；
（2）连接MD，AN，求出OF＝4，DF＝2，则AF＝6，AE＝3，证明AD＝DF＝2，由△DGO∽△AGE，得到＝＝，进而得到DG＝AD，AG＝AD，证明△MGD∽△AGN，根据相似三角形的性质得到＝，得到GM•GN＝GD•GA＝AD•AD＝AD2＝．
【解答】.（1）证明：连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE＝∠OAD，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠DAE＝∠ODA，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：连接MD，AN，
在Rt△ODF中，OB＝OD＝2，∠F＝30°，
∴OD＝OF，∠BOD＝60°，
∴OF＝4，
∴DF＝＝2，
∴AF＝2+4＝6，
在Rt△AEF中，∠F＝30°，
∴AE＝AF＝3，
∵∠F＝30°，OD⊥EF，
∴∠DOF＝60°＝∠2+∠3，
∵OA＝OD，
∵∠2＝∠3，
∴∠2＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴AD＝DF＝2，
∵OD∥AE，
∴△DGO∽△AGE，
∴＝＝，
∴DG＝AD，AG＝AD，
∵∠ANM＝∠MDG，∠MGD＝∠AGN，
∴△MGD∽△AGN，
∴＝，
∴GM•GN＝GD•GA＝AD•AD＝AD2＝×（2）2＝．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正确添加辅助线是解决问题的关键．
28．（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝x+2相交于A（﹣2，0），B（3，m）两点，与x轴相交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与A、B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，当PE＝2ED时，求P点坐标；
（3）抛物线上是否存在点M使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把B（3，m）代入y＝x+2求出B（3，5），再用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），由PE＝2DE，可得﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），解出t的值可得P的坐标为（1，9）；
（3）过M作MK∥y轴交直线AB于K，求出C（4，0），知AC＝6，故S△ABC＝×6×5＝15，设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），可得MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，S△ABM＝MK•|xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|，根据△ABM的面积等于△ABC面积的一半，有|﹣m2+m+6|＝×15，可得|﹣m2+m+6|＝3，即﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，解出m的值可得答案．
【解答】解：（1）把B（3，m）代入y＝x+2得：m＝3+2＝5，
∴B（3，5），
把A（﹣2，0），B（3，5）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8；
（2）设P（t，﹣t2+2t+8），则E（t，t+2），D（t，0），
∵PE＝2DE，
∴﹣t2+2t+8﹣（t+2）＝2（t+2），
解得t＝1或t＝﹣2（此时P不在直线AB上方，舍去）；
∴P的坐标为（1，9）；
（3）抛物线上存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半，理由如下：
过M作MK∥y轴交直线AB于K，如图：
在y＝﹣x2+2x+8中，令y＝0得0＝﹣x2+2x+8，
解得x＝﹣2或x＝4，
∴A（﹣2，0），C（4，0），
∴AC＝6，
∵B（3，5），
∴S△ABC＝×6×5＝15，
设M（m，﹣m2+2m+8），则K（m，m+2），
∴MK＝|﹣m2+2m+8﹣（m+2）|＝|﹣m2+m+6|，
∴S△ABM＝MK•|xB﹣xA|＝|﹣m2+m+6|×5＝|﹣m2+m+6|，
∵△ABM的面积等于△ABC面积的一半，
∴|﹣m2+m+6|＝×15，
∴|﹣m2+m+6|＝3，
∴﹣m2+m+6＝3或﹣m2+m+6＝﹣3，
解得m＝或m＝，
∴M的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．
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