2024年四川省宜宾市中考数学试卷【含解析】

这是一份2024年四川省宜宾市中考数学试卷【含解析】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2的绝对值是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
2．下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．5a﹣3a＝2
C．3x•2x＝6x2D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x
3．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0B．众数为75
C．中位数为77.5D．平均数为75
4．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8B．18C．28D．32
7．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
8．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱
9．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（ ）
A．B．C．2D．2
10．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+3B．6+2C．5D．8
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+AP的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．分解因式：2a2﹣2＝ ．
14．分式方程﹣3＝0的解为 ．
15．如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝ ．
17．如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 ．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2﹣|；
（2）计算：÷（﹣）．
20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求CD和DE的长．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
2024年四川省宜宾市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．2的绝对值是（ ）
A．2B．C．﹣D．﹣2
【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．
【解答】解：∵2＞0，
∴|2|＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了绝对值的意义，任何一个数的绝对值一定是非负数，所以2的绝对值是2．部分学生易混淆相反数、绝对值、倒数的意义．
2．下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2B．5a﹣3a＝2
C．3x•2x＝6x2D．（﹣x）3÷（﹣x）2＝x
【分析】直接利用合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、a+a＝2a，故A不符合题意；
B、5a﹣3a＝2a，故B不符合题意；
C、3x•2x＝6x2，故C符合题意；
D、（﹣x）3÷（﹣x）2＝﹣x，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则、单项式乘以单项式以及同底数幂的除法法则，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3．某校为了解九年级学生在校的锻炼情况，随机抽取10名学生，记录他们某一天在校的锻炼时间（单位：分钟）：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80．对这组数据判断正确的是（ ）
A．方差为0B．众数为75
C．中位数为77.5D．平均数为75
【分析】根据平均数和方差、中位数，众数得出答案即可．
【解答】解：65，67，75，65，75，80，75，88，78，80中，
平均数＝（65+67+75+65+75+80+75+88+78+80）＝74.8，
65，67，75，65，75，80，75，88，78，80按从小到大的顺序排序为65，65，67，75，75，75，78，80，80，88，
∴中位数＝＝75，众数为75，方差＝[（65﹣74.8）2×2+（67﹣74.8）2+（75﹣74.8）2×3+（78﹣74.8）2+（80﹣74.8）2×2+（88﹣74.8）2]≈61，
故选：B．
【点评】本题考查了平均数，方差，中位数，众数等知识点，能熟记中位线、众数的定义和方差的意义是解此题的关键．
4．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠A＝∠CDB＝60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CDB＝60°，
∴∠A＝∠CDB＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠A＝30°，
故选：A．
【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
5．元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？”其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，问快马几天可追上慢马？则快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天B．10天C．15天D．20天
【分析】设快马追上慢马的天数是x天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时两马跑的路程相同，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设快马追上慢马的天数是x天，
根据题意得：240x＝150（x+12），
解得：x＝20，
∴快马追上慢马的天数是20天．
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
6．如果一个数等于它的全部真因数（含单位1，不含它本身）的和，那么这个数称为完美数．例如：6的真因数是1、2、3，且6＝1+2+3，则称6为完美数．下列数中为完美数的是（ ）
A．8B．18C．28D．32
【分析】根据“完美数”的定义，先找出各个数的因数，再按完美数的要求相加，和与这个数相等的，就是“完美数”．
【解答】解：A．8的因数有：1，2，4，8；1+2+4＝7，8不是“完美数”，故A错误；
B．18的因数有1，2，3，6，9，18；1+2+3+6+9＝21，18不是“完美数”，故B错误；
C．28的因数有：1，2，4，7，14，28；1+2+4+7+14＝28，28是“完美数”，故C正确；
D．32的因数有：1，2，4，8，16，32，1+2+4+8+16＝31，32不是“完美数”，故D错误；
故选：C．
【点评】理解“完美数”的定义，掌握求一个数的因数的方法是解题的关键．
7．如图是正方体表面展开图．将其折叠成正方体后，距顶点A最远的点是（ ）
A．B点B．C点C．D点D．E点
【分析】把图形围成立体图形求解．
【解答】解：把图形围成立方体如图所示：
设正方体的棱长为1，则AD＝1，AB＝AE＝，AC＝＝，
∵1＜，
∴与顶点A距离最远的顶点是C，
故选：B．
【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，掌握空间想象力是解题的关键．
8．某果农将采摘的荔枝分装为大箱和小箱销售，其中每个大箱装4千克荔枝，每个小箱装3千克荔枝．该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满，则所装的箱数最多为（ ）
A．8箱B．9箱C．10箱D．11箱
【分析】设可以装x箱大箱，y箱小箱，根据“该果农现采摘有32千克荔枝，根据市场销售需求，大小箱都要装满”，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为自然数，可得出x，y的值，再将其代入x+y中，取其中的最大值，即可得出结论．
【解答】解：设可以装x箱大箱，y箱小箱，
根据题意得：4x+3y＝32，
∴x＝8﹣y，
又∵x，y均为自然数，
∴或或，
∴x+y＝8或9或10，
∴所装的箱数最多为10箱．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
9．如图，△ABC内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于D，则的值为（ ）
A．B．C．2D．2
【分析】作辅助线如图，先证明BD＝CD，∠ACD+∠ABD＝180°，从而可以得到旋转后的图形，再证明△A'DA是等腰直角三角形，利用三角函数即可求得结果．
【解答】解：如图，连接BD、CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝∠BDC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴，
∴BD＝CD，
在四边形ABDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴∠ACD+∠ABD＝180°，
∴△ADC绕D点逆时针旋转90°，则A，B，A'三点共线，如图所示，
∴AB+AC＝AB+A′B＝AA′，
∵由旋转可知∠A′DB＝∠ADC，A′D＝AD，
∴∠A′DA＝∠A′DB+∠BDA＝∠ADC+∠BDA＝∠BDC＝90°，
∴在等腰直角三角形A′DA中，，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的外接圆，特殊角的三角函数，圆周角定理，旋转的性质等知识点，合理作辅助线为解题的关键．
10．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A、B及AC的中点M，BC∥x轴，AB与y轴交于点N．则的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作辅助线如图，利用函数表达式设出A、B两点的坐标，利用D，M是中点，找到坐标之间的关系，利用平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【解答】解：作过A作BC的垂线垂足为D，BC与y轴交于E点，如图，
在等腰三角形ABC中，AD⊥BC，D是BC中点，
设，，
由BC中点为D，AB＝AC，
在等腰三角形ABC中，
∴BD＝DC＝a﹣b，
∴，
∵AC的中点为M，
∴，即，
由M在反比例函数上得，
∴，
解得：b＝﹣3a，
由题可知，AD∥NE，
∴，
故选：B．
【点评】本题主要考查了反比例函数的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质等知识，找到坐标之间的关系是解题的关键．
11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，以BC为边作Rt△BCD，BC＝BD，点D与点A在BC的两侧，则AD的最大值为（ ）
A．2+3B．6+2C．5D．8
【分析】由“SAS”可证△DBE≌△CBA，可得DE＝AC＝2，由三角形的三边关系可求解．
【解答】解：如图，将BA绕点B顺时针旋转90°，得到BE，连接AE，DE，
∴BE＝AB，∠ABE＝90°，
∴AE＝AB＝6，
∵∠DBC＝90°＝∠EBA，
∴∠DBE＝∠CBA，
又∵BD＝BC，AB＝BE，
∴△DBE≌△CBA（SAS），
∴DE＝AC＝2，
在△ADE中，AD＜AE+DE，
∴当A，D，E三点共线时，AD有最大值，
∴AD的最大值＝6+2＝8，
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C．以下结论：①a+b+c＝0；②a+3b+2c＜0；③当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝；④当c＝3时，在△AOC内有一动点P，若OP＝2，则CP+AP的最小值为．其中正确结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】抛物线过点（1，0），求得求得a+b+c＝0，即可判断①；求得对称轴为直线x＝﹣1，即可求得b＝2a，由a+b+c＝0，求得c＝﹣3a，则a+3b+2c＝a＜0，即可判断②；分AC＝AB＝4和AB＝BC＝4两种情况求得c的值即可判断③；取点H（﹣，0），连接PH，则OH＝，可证明△HOP∽△POA，由相似三角形的性质可得PH＝PA，则CP+AP＝CP+PH，故当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CP+AP的最小，最小值为CH，利用勾股定理求得CH即可判断④．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点B（1，0），
∴a+b+c＝0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴﹣＝＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a+3b+2c＝a+6a﹣6a＝a，
∵a＜0，
∴a+3b+2c＜0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴AC≠BC，
∵A（﹣3，0）、B（1，0），C（0，c），
∴AB＝4，
当AC＝AB＝4时，则AC2＝OA2+OC2，
∴42＝32+c2，
解得c＝或c＝﹣（不合题意，舍去），
当AB＝BC＝4时，BC2＝OB2+OC2，
∴42＝12+c2，
解得c＝（负数舍去），
综上，当以点A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形时，c＝或c＝，故③错误；
当c＝3时，C（0，3），则OC＝3，
如图所示，取点H（﹣，0），连接PH，则OH＝，
∴＝，
∵，
∴，
∵∠HOP＝∠POA，
∴△HOP∽△POA，
∴＝，
∴PH＝PA，
∴CP+AP＝CP+PH，
当C、P、H共线时，CP+PH的值最小，即此时CP+AP的最小，最小值为CH，
在Rt△CHO中，CH＝＝＝，故④正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
13．分解因式：2a2﹣2＝ 2（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解答】解：2a2﹣2
＝2（a2﹣1）
＝2（a+1）（a﹣1），
故答案为：2（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
14．分式方程﹣3＝0的解为 x＝2 ．
【分析】先变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验．
【解答】解：去分母得：x+1﹣3（x﹣1）＝0，
解得x＝2，
检验：当x＝2时，x﹣1＝1≠0，
∴x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
15．如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是 2+2 ．
【分析】连接BE交AC于O，由五边形ABCDE是正五边形，可得∠CBA＝∠BAC＝108°，BC＝AB＝AE，即得∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝36°，故∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，从而∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝72°，可得CO＝BC＝4，证明△ABO∽△ACB，有＝，即可解得答案．
【解答】解：连接BE交AC于O，如图：
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CBA＝∠BAC＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE，
∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°，
∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°，
∴∠CBO＝∠BOC＝72°，
∴CO＝BC＝4，
∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA，
∴△ABO∽△ACB，
∴＝，即＝，
解得AC＝2+2或AC＝2﹣2（小于4，舍去），
经检验，AC＝2+2符合题意；
故答案为：AC＝2+2．
【点评】本题考查相似三角形判定与性质，正多边形性质，解题的关键是掌握正多边形的概念和相似三角形的判定定理．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝4，E、F分别是边CD、AD上的动点，且CE＝DF．当AE+CF的值最小时，则CE＝ ．
【分析】由“SAS”可证△CDF≌△HCE，可得CF＝EH，则AE+CF＝AE+EH，即当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，通过证明△CEH∽△BAH，可得△CEH∽△BAH，即可求解．
【解答】解：如图，延长BC至H，使CH＝CD，连接EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝2，AD∥BC，
∴∠D＝∠DCH，
又∵CD＝CH，DF＝CE，
∴△CDF≌△HCE（SAS），
∴CF＝EH，
∴AE+CF＝AE+EH，
∴当点A，点E，点H三点共线时，AE+CF有最小值，
此时：∵CD∥AB，
∴△CEH∽△BAH，
∴，
∴＝，
∴CE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17．如图，一个圆柱体容器，其底部有三个完全相同的小孔槽，分别命名为甲槽、乙槽、丙槽．有大小质地完全相同的三个小球，每个小球标有从1至9中选取的一个数字，且每个小球所标数字互不相同．作如下操作：将这三个小球放入容器中，摇动容器使这三个小球全部落入不同的小孔槽（每个小孔槽只能容下一个小球），取出小球记录下各小孔槽的计分（分数为落入该小孔槽小球上所标的数字），完成第一次操作．再重复以上操作两次．已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作计分之和分别为20分、10分、9分，其中第一次操作计分最高的是乙槽，则第二次操作计分最低的是 乙槽 （从“甲槽”、“乙槽”、“丙槽”中选填）．
【分析】由三次操作三个槽总分是20+10+9＝39分，所以一次操作得总分就是13分，再根据三个球得数不相同可以列举出综合为13得所有情况．，然后再根据各自得分去一一分析比较即可．
【解答】方法一：∵三次操作相同，且总得分是20+10+9＝39分．
∴一次操作的总分，即三个球数字之后为39÷3＝13，
则有以下情况：
，
其中只有1，4，8这一组能同时满足三个数组合相加得20，10，9；
，
∴第一次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为4，8，1；
第二次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；
第三次操作甲槽乙槽丙槽分数分别为8，1，1；
∴第二次操作计分最低的是乙槽．
方法二：设乙第一，第二，第三次操作计分分别为x、y、z．
则x+y+z＝10，
x不可能为9，否则yz出现为0的情况，与题意矛盾．
所以x最大为8，此时8+1+1＝10，
1已经是最小了，所以第二次操作计分最小的是乙槽．
故答案为：乙槽．
【点评】本题主要考查了推理与论证，题型比较活，属于现在比较多的考查形式，要求学生具备一定的数学思维．
18．如图，正方形ABCD的边长为1，M、N是边BC、CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 2﹣2 ．
【分析】由∠MAN＝45°识别出半角模型，从而构造△GAN≌△MAN，将MN线段进行转化，设BM＝x，MN＝y，再利用勾股方程进行转化，建立一个关于y的式子，利用不等式的性质求最值即可．
【解答】解：如图，延长CD到点G，使DG＝BM．
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠MAD＝∠ADM＝90°，
∴∠ADG＝∠ADN＝90°＝∠ABM，
又∵BM＝DG，AD＝BC，
∴△ABM≌△ADG（SAS），
∴∠BAM＝∠DAG，AM＝AG，
∵∠MAN＝45°，
∴∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠DAG+∠DAN＝45°，即∠GAN＝45°，
在△GAN和△MAN中，
，
∴△GAN≌△MAN（SAS），
∴GN＝MN．
设BM＝x，MN＝y，则GN＝y，DG＝x．
∵BC＝CD＝1，
∴CM＝1﹣x，CN＝x﹣y+1，
在Rt△CMN中，由勾股定理得：MN2＝CM2+CN2，
即y2＝（1﹣x）2+（x﹣y+1）2，
整理可得：y＝＝＝x+1+﹣2，
∵x+1+≥2＝2，
∴y≥2﹣2，此时 x＝﹣1．
故：MN的最小值为2﹣2
【点评】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定和性质，其中识别半角模型进行转化是解题的关键．
三、解答题：本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（10分）（1）计算：（﹣2）0+2sin30°﹣|2﹣|；
（2）计算：÷（﹣）．
【分析】（1）把特殊角三角函数值代入，算零指数幂，去绝对值，再算加减；
（2）先通分算括号内的，把除化为乘，再约分即可．
【解答】解：（1）原式＝1+2×﹣2+
＝；
（2）原式＝÷
＝•
＝1．
【点评】本题考查实数运算和分式混合运算，解题的关键是掌握相关运算的法则．
20．（10分）某校为了落实“五育并举”，提升学生的综合素养．在课外活动中开设了四个兴趣小组：A．插花组；B．跳绳组；C．话剧组；D．书法组．为了解学生对每个兴趣小组的参与情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成不完整的统计图．
请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 40 名学生，并将条形统计图补充完整；
（2）话剧组所对应扇形的圆心角为 72 度；
（3）书法组成绩最好的4名学生由3名男生和1名女生构成．从中随机抽取2名参加比赛，请用列表或画树状图的方法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数；求出C组的人数，补全条形统计图即可．
（2）用360°乘以本次调查中C组的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及刚好抽到1名男生与1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】（1）此次调查的学生人数为：4÷10%＝40（人），“C”类兴趣课的人数为：40﹣4﹣16﹣12＝8（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：40；
（2）“C”类兴趣课所对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°；
故答案为：72；
（3）将1名女生记为A，3名男生分别记为B，C，D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中刚好抽到1名男生与1名女生的结果有：AB，AC，AD，BA，CA，DA，共6种，
∴刚好抽到1名男生与1名女生的概率为．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率以及扇形统计图和条形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
21．（10分）如图，点D、E分别是等边三角形ABC边BC、AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F．求证：AD＝BE．
【分析】根据等边三角形的性质得∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，由此可依据“SAS”判定△ABD和△BCE全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【解答】证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，理解等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
22．（10分）宜宾地标广场位于三江汇合口（如图1，左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长江）．某同学在数学实践中测量长江口的宽度，他在长江口的两岸选择两个标点C、D，在地标广场上选择两个观测点A、B（点A、B、C、D在同一水平面，且AB∥CD）．如图2所示，在点A处测得点C在北偏西18.17°方向上，测得点D在北偏东21.34°方向上；在B处测得点C在北偏西21.34°方向上，测得点D在北偏东18.17°方向上，测得AB＝100米．求长江口的宽度CD的值（结果精确到1米）．（参考数据：sin18.17°≈0.31，cs18.17°≈0.95，tan18.17°≈0.33，sin21.34°≈0.36，cs21.34°≈0.93，tan21.34°≈0.39）
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，根据已知易得：AE＝BF，AB＝EF＝100m，然后设AE＝BF＝x m，从而分别在Rt△ACE、Rt△BDF和Rt△AED中，利用锐角三角函数的定义求出CE、DF和DE的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵AB∥CD，
∴AE＝BF，
由题意得：AB＝EF＝100m，
设AE＝BF＝x m，
在Rt△ACE中，∠CAE＝18.17°，
∴CE＝AE•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△BDF中，∠DBF＝18.17°，
∴DF＝BF•tan18.17°≈0.33x（m），
在Rt△AED中，∠EAD＝21.34°，
∴DE＝AE•tan21.34°≈0.39x（m），
∵DE＝EF+DF，
∴0.39x＝100+0.33x，
解得：x＝，
∴CD＝CE+DE＝0.33x+0.39x＝0.72x＝1200（m），
∴长江口的宽度CD的值约为1200m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．（12分）如图，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于点A（1，4）、B（n，﹣1）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）利用图象，直接写出不等式ax+b＜的解集；
（3）已知点D在x轴上，点C在反比例函数图象上．若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）当AB为对角线时，由中点坐标公式得：4﹣1＝，即可求解；当AC或AD为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：k＝4×1＝﹣n，
解得：k＝4，n＝﹣4，
即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣4，﹣1）；
将点A、B的坐标代入一次函数表达式得：
，解得：，
则一次函数表达式为：y＝x+3；
（2）观察函数图象知，当0＜x＜1或x＜﹣4时，ax+b＜成立；
（3）设点C的坐标为：（m，），点D（x，0），
当AB为对角线时，
由中点坐标公式得：4﹣1＝，
解得：m＝，则点C（，3）；
当AC或AD为对角线时，
同理可得：4+＝﹣1或4＝﹣1，
解得：m＝±，
则点C（﹣，﹣5）或（，5），
综上，点C的坐标为：（，3）或（﹣，﹣5）或（，5）．
【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到解不等式、平行四边形的性质，分类求解是解题的关键．
24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝10，过点A作AE∥BC，交⊙O的直径BD的延长线于点E，连结CD．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝，求CD和DE的长．
【分析】（1）连接并延长AO交BC于点F，连接OC，由AB＝AC，得∠AOB＝∠AOC，可证明∠FOB＝∠FOC，所以OF⊥BC，由平行线的性质得∠OAE＝∠OFB＝90°，即可证明AE是⊙O的切线；
（2）由OB＝OA，得∠BAF＝∠ABE，则＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝，由AB＝BF＝10，求得BF＝2，AF＝4，由勾股定理得（2）2+FO2＝（4﹣FO）2，求得FO＝，则OD＝OB＝OA＝，所以CD＝2FO＝3，由＝cs∠AOE＝cs∠FOB＝，求得OE＝，则DE＝．
【解答】（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴∠AOB＝∠AOC，
∴∠FOB＝∠FOC，
∴OF⊥BC，
∵AE∥BC，
∴∠OAE＝∠OFB＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AE⊥OA，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵OB＝OA，
∴∠BAF＝∠ABE，
∴＝tan∠BAF＝tan∠ABE＝，
∴AF＝2BF，
∵AB＝＝＝BF＝10，
∴BF＝2，AF＝4，
∵BF2+FO2＝OB2，且OB＝OA＝4﹣FO，
∴（2）2+FO2＝（4﹣FO）2，
解得FO＝，
∴OD＝OB＝OA＝4﹣＝，
∵OB＝OD，BF＝CF，
∴CD＝2FO＝2×＝3，
∵＝cs∠AOE＝cs∠FOB＝，
∴OE＝＝＝，
∴DE＝OE﹣OD＝﹣＝，
∴CD的长是3，DE的长是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、等角的补角相等、平行线的性质、切线的判定定理、三角形的中位线定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣4），其顶点为D．
（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）在y轴上是否存在一点M，使得△BDM的周长最小．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点E在以点P（3，0）为圆心，1为半径的⊙P上，连结AE，以AE为边在AE的下方作等边三角形AEF，连结BF．求BF的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法得抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；即可得抛物线顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）作D（，﹣）关于y轴的对称点D'（﹣，﹣），连接BD'交y轴于M，求出B（4，0），BD＝，可知△BDM的周长最小，只需DM+BM最小，而DM＝D'M，有DM+BM＝D'M+BM，故B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小；由B（4，0），D'（﹣，﹣）得直线BD'解析式为y＝x﹣，从而M的坐标为（0，﹣）；
（3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2），证明△EAP≌△FAQ（SAS），有PE＝QF＝1，可知F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，因BQ＝，当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF＝﹣1；当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF＝+1；所以BF的范围时﹣1≤BF≤+1．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣3x﹣4；
∵y＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线顶点D的坐标为（，﹣）；
（2）在y轴上存在一点M，使得△BDM的周长最小，理由如下：
作D（，﹣）关于y轴的对称点D'（﹣，﹣），连接BD'交y轴于M，如图：
在y＝x2﹣3x﹣4中，令y＝0得0＝x2﹣3x﹣4，
解得x＝4或x＝﹣1，
∴B（4，0），
∴BD＝＝，
∴△BDM的周长最小，只需DM+BM最小，
∵DM＝D'M，
∴DM+BM＝D'M+BM，
∴B，M，D'共线时，DM+BM最小，最小值为BD'的长，此时△BDM的周长也最小；
由B（4，0），D'（﹣，﹣）得直线BD'解析式为y＝x﹣，
令x＝0得y＝﹣，
∴M的坐标为（0，﹣）；
（3）以APA为边，在AP下方作等边三角形APQ，连接PE，QF，BQ，如图：
由A（﹣1，0），P（3，0），△APQ是等边三角形，可得Q的坐标为（1，﹣2），
∵△AEF，△APQ是等边三角形，
∴AE＝AF，AP＝AQ，∠EAF＝∠PAQ＝60°，
∴∠EAP＝∠FAQ，
∴△EAP≌△FAQ（SAS），
∴PE＝QF＝1，
∴F的轨迹是以Q（1，﹣2）为圆心，1为半径的圆，
∵B（4，0），
∴BQ＝，
当F在线段QB上时，BF最小，此时BF＝BQ﹣QF＝﹣1；
当Q在线段BF上时，BF最大，此时BF＝BQ+QF＝+1；
∴BF的范围时﹣1≤BF≤+1．
【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，轴对称求最短距离，全等三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握“将军饮马问题“解决策略和求出F的轨迹．
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