2024暑假初升高衔接讲义之 衔接点04 一元二次方程（解析版）

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1、能用配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程
2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根
3、能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程，理解方程解的意义。
知识梳理
1、一元二次方程根的判别式
一元二次方程（均为常数）的判别式.
（1）时，（）有两个不相等的实数根；
（2）时，（）有两个相等的实数根；
（3）时，（）没有实数根.
注意：(1)在使用根的判别式之前，应将一元二次方程化成一般式；
(2)在确定一元二次方程待定系数的取值范围时，必须检验二次项系数
(3)证明恒为正数的常用方法：把△的表达式通过配方化成“完全平方
式+正数”的形式.
2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程有两个根分别是，则：
，，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果的两个根分别为，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
对点特训一：利用根的判别式判断一元二次方程根的个数
典型例题
例题1．（2024·安徽·三模）关于的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
例题2．（2024·四川泸州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
精练
1．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知a，b，c为常数，，则关于x的一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法判定
2．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）方程不相等的实数根的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
对点特训二：根据根的个数求参数
典型例题
例题1．（2024·北京大兴·一模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2024·上海静安·二模）如果关于x的一元二次方程有实数根，那么a的取值范围是 ．
精练
1．（2024·四川广安·二模）若关于的方程有实数根，则下列的值中，不符合要求的是（ ）
A．2B．1C．0D．
2．（2024年北京市石景山区九年级中考一模数学试题）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
对点特训三：解一元二次方程
角度1：直接开平方法
典型例题
例题1．（23-24七年级下·河北保定·期中）若，则等于（ ）
A．4B．C．D．或4
例题2．（2024八年级下·浙江·专题练习）求下列方程中的值：
(1)；
(2)．
精练
1．（24-25八年级上·全国·课后作业）求x的值：．
2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）求满足下列各式x的值
(1)；
(2)．
角度2：配方法
典型例题
例题1．（安徽省蚌埠市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题）用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2024·甘肃陇南·一模）解方程：．
精练
1．（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年级上·上海青浦·期中）用配方法解方程：
角度3：因式分解法
典型例题
例题1．（23-24九年级下·四川眉山·期中）方程的解为 ．
例题2．（23-24八年级下·安徽池州·期中）（1）解方程：
（2）解方程：
精练
1．（23-24八年级下·安徽淮北·阶段练习）用适当的方法解下列方程．
(1)．
(2)．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
角度4：利用求根公式求解
典型例题
例题1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）解方程：
(1)．
例题2．（2024·陕西西安·三模）解方程：．
精练
1．（23-24八年级下·北京·期中）解下列一元二次方程
(1)（公式法）．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）解方程．
(1)；
角度5：换元法求解
典型例题
例题1．（23-24九年级上·重庆江津·期中）阅读下面的例题，回答问题：
例：解方程：
令，原方程化成
解得（不合题意，舍去）

原方程的解是．
请模仿上面的方法解方程：
例题2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阅读下面的材料，回答问题：
解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设，那么，于是原方程可变为①，解得，．
当时，，；
当时，，；
原方程有四个根：，，，．
这一方法，在由原方程得到方程①的过程中，利用“换元法”达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)方程的解为________．
(2)仿照材料中的方法，尝试解方程．
精练
1．（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）解高次方程的思想就是“降次”，将含未知数的某部分用低次项替换，例如解四次方程时，可设，则原方程可化为，先解出y，将y的值再代入中解x的值，由此高次方程得解．解高次方程也可以将方程中某个部分看作一个整体，例如上述方程中，可将看作一个整体，得，解出的值，再进一步求解即可．
根据上述方法，完成下列问题：
(1)若，则的值为___________；
(2)解方程：．
2．（23-24九年级上·四川泸州·阶段练习）阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，解得，．
当时，，．
当时，，，．
原方程的解为，，，．
由原方程得到的过程，利用换元法达到了简化方程的目的，体现了整体转化的数学思想．
阅读后解答问题：
(1)利用上述材料中的方法解方程：；
(2)已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别是什么？请说明理由．
对点特训四：利用根与系数的关系（韦达定理）求参数
典型例题
例题1．（23-24八年级下·安徽六安·期中）设、是方程的两个实数根，则 ．
例题2．（23-24九年级下·江西九江·期中）已知，是关于的方程的两根，且，则的值是 ．
精练
1．（23-24八年级下·江西宜春·期中）关于x的方程的两个实数根互为相反数，则k的值是 ．
2．（23-24九年级上·广东广州·期中）已知方程的一根是，方程的另一根为 ．
对点特训五：利用根与系数的关系（韦达定理）求对称式的值
典型例题
例题1．（23-24九年级下·湖南郴州·期中）已知是方程的两个实数根，则的值是 ．
例题2．（23-24八年级下·安徽安庆·期中）已知关于x的一元二次方程.
(1)求证：无论m取任何实数，方程总有实数根；
(2)若一元二次方程的两根为，，且满足，求m的值.
精练
1．（2024·湖南岳阳·一模）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 ．
2．（22-23八年级下·福建福州·期中）关于的一元二次方程．
(1)如果方程有实数根，求的取值范围；
(2)如果是这个方程的两个根，且，求的值．
对点特训六：根的判别式和韦达定理综合应用
典型例题
例题1．（2024·天津和平·一模）已知，是一元二次方程（是常数）的两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若，求一元二次方程的根；
(3)若，则的值为______．
例题2．（23-24九年级下·江苏泰州·阶段练习）对于代数式，若存在实数n，当时，代数式的值也等于n，则称n为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作A．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
(1)代数式的不变值是________， _______．
(2)已知代数式，
① 若，求b的值；
② 若，b为整数，求所有整数b的和．
精练
1．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）【综合与实践】
【问题情境】对于关于的一元二次方程（，，为常数，且），求方程的根的实质是找到一个的具体的值，代入之后等式成立．一般情况下，如果有两个不同的的具体值都满足，这就说明这个方程有两个根，且两根与，，之间具有一定的关系．
【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：
（1）当时，则一元二次方程必有一根是．
（2）当时，则一元二次方程必有一根是．
请判断两个结论的真假，并说明原因．
【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：
方程的较大的根为，方程的较小的根为，求的值．
2．（23-24八年级下·山东泰安·期中）阅读材料：如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个实数根比另一个大1，称这样的方程为“连根方程”，如方程就是一个连根方程．
(1)问题解决：请你判断方程是否是连根方程；
(2)问题拓展：若关于x的一元二次方程（m是常数）是连根方程，求m的值；
(3)方法总结：如果关于x的一元二次方程（b、c是常数）是连根方程，请直接写出b、c之间的关系式．
一、单选题
1．（2024·上海普陀·二模）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·河南濮阳·一模）已知关于的一元二次方程，则该一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
3．（23-24九年级下·江苏连云港·期中）关于x的一元二次方程一个实数根为2024，则方程一定有实数根（ ）
A．2024B．C．－2024D．
4．（2024·重庆·二模）参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·云南曲靖·模拟预测）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值和方程的另一个根分别为（ ）
A．1和2B．和2C．2和D．和
6．（2024·湖南常德·一模）某种商品原价是200元，经两次降价后的价格是160元．设平均每次降价的百分率为x，可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
7．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则实数 的值可能是（ ）
A．10B．8C．5D．2
8．（23-24七年级下·湖南岳阳·期中）问题：聪明的你知道代数式的最小值为多少吗？解：因为，又因为，所以，所以的最小值为1．请用上述方法，解决代数式的最小值为（ ）
A．3B．C．6D．
二、填空题
9．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知关于x的方程的一个根是1，则另一个根是 ．
10．（23-24八年级下·北京·期中）关于x的方程的一个根为，则另一个根是 ；关于x的方程的两个根分别为、5，则的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·北京·期中）定义：若是方程的两个实数根，若满足，则称此类方程为“差积方程”．例如：是差积方程．
(1)下列方程是“差积方程”的是 ；
①
②
③
(2)若方程是“差积方程”，直接写出m的值；
(3)当方程为“差积方程”时，写出a、b、c满足的数量关系并证明．
12．（2024·山东德州·一模）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．小明在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用6240元购进甲灯笼与用8400 元购进乙灯笼的数量相同，已知乙灯笼每对进价比甲灯笼每对进价多9元．
(1)求甲、乙两种灯笼每对的进价；
(2)经市场调查发现，乙灯笼每对售价50元时，每天可售出98对，售价每提高1元，则每天少售出2对．销售部门规定其销售单价不高于每对65元，设乙灯笼每对涨价为x元，小明一天通过乙灯笼获得利润y元．
①求出y与x之间的函数解析式；
②乙种灯笼的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？