2024年暑假二次函数压轴题精讲答案(长沙版)

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①求该函数图象的顶点坐标.
② 当 −1≤x≤3 时,求 y 的取值范围.
(2) 当 x≤0 时, y 的最大值为 2 ; 当 x>0 时, y 的最大值为 3,求二次函数的表达式.
【答案】(1) ① 2,7 ; ② 当 −1≤x≤3 时, −2≤y≤7;2y=−x2+2x+2
【分析】(1) ①将 b=4,c=3 代入解析式,化为顶点式,即可求解;
② 已知顶点 2,7 ,根据二次函数的增减性,得出当 x=2 时, y 有最大值 7,当 x=−1 时取得最小值,即可求解:
(2) 根据题意 x≤0 时, y 的最大值为 2;x>0 时, y 的最大值为 3,得出抛物线的对称轴 x=b2 在 y 轴的右
侧,即 b>0 ,由抛物线开口向下, x≤0 时, y 的最大值为 2,可知 c=2 ,根据顶点坐标的纵坐标为 3,求出 b =2 ,即可得解.
【详解】(1) 解: ① 当 b=4,c=3 时, y=−x2+4x+3=−x−22+7 ,
∴ 顶点坐标为 2,7 .
② ∵ 顶点坐标为 2,7 . 抛物线开口向下,
当 −1≤x≤2 时, y 随 x 增大而增大,
当 2≤x≤3 时, y 随 x 增大而减小,
∴ 当 x=2 时, y 有最大值 7 .
又 2−−1>3−2
∴ 当 x=−1 时取得最小值,最小值 y=−2 ;
∴ 当 −1≤x≤3 时, −2≤y≤7 .
(2) ∵x≤0 时, y 的最大值为 2;x>0 时, y 的最大值为 3,
∴ 抛物线的对称轴 x=b2 在 y 轴的右侧,
∴b>0 ,
∵ 抛物线开口向下, x≤0 时, y 的最大值为 2,
∴c=2 ,
又 ∵4×−1×c−b24×−1=3 ,
∴b=±2 ,
∵b>0 ,
∴b=2 ,
∴ 二次函数的表达式为 y=−x2+2x+2 .
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式, 顶点式, 二次函数的最值问题, 熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键.
题目 2 (2023·浙江·统考中考真题) 已知点 −m,0 和 3m,0 在二次函数 y=ax2+bx+3(a,b 是常数, a≠ 0) 的图像上.
(1) 当 m=−1 时,求 a 和 b 的值;
(2) 若二次函数的图像经过点 An,3 且点 A 不在坐标轴上,当 −2