[数学][期中]山东省淄博市淄川区2023-2024学年高二下学期期中考试试题(解析版)

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 曲线在点（1，0）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，故所求切线方程为．
故选：A．
2. 已知数列满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
故选:C
3. 若函数，满足且，则（ ）
A 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】取，则有，
即，
又因为
所以，
所以，
所以.
故选：C
4. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A. 120种B. 90种
C. 60种D. 30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C
5. 若函数在内无极值，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为函数在内无极值，
所以在内无变号零点，
根据二次函数的对称性和单调性知，在区间单调递增，
所以或即可，
解得或，故选：C.
6. 已知数列是递增的等比数列，，若的前项和为，则，则正整数等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】联立可得或，
又因为数列是递增的等比数列，
所以，
则公比，
所以，
所以.
故选：B.
7. 若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
若在区间内存在单调递增区间，则有解，
故，
令，
则在单调递增，
，
故.
故选：D.
8. 定义：设函数在上的导函数为，若在上也存在导函数，则称函数在上存在二阶导函数，简记为.若在区间上，则称函数在区间上为“凹函数”.已知在区间上为“凹函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
则，，
因为在区间上为“凹函数”，所以，
即在上恒成立，则在上恒成立，
当，即时，因为，，所以，
故显然成立，
当，即时，令，则在上恒成立，
又因为，所以在上单调递增，
所以，即，则在上恒成立，
令，则，
又，当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以，
综上：，即.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】由，得，
设等差数列的公差为，则有，
所以，
所以，
所以，，
，
由，得，
故选：ACD.
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A. 常数项是24B. 第4项系数最大
C. 第3项是D. 所有项的系数的和为1
【答案】AD
【解析】因为展开式的通项公式为；
令可得，所以常数项为，A正确；
由通项公式可知，当时，第4项的系数为负数，故B错误；
第3项是，所以第三项为24，故C错误；
令可得所有项的系数的和为1，故D正确.
故选：AD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 甲､乙､丙､丁4人站成一排，甲不在最左端，则共有种排法
B. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生相邻的排法共有种
C. 3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种
D. 3名男生和4名女生站成一排，3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有1296种
【答案】ACD
【解析】对于A：先排最左端，有种排法，再排剩余3个位置，有种排法，则共有种排法，故A正确；
对于B：3名男生相邻，有种排法，和剩余4名女生排列，相当于5人作排列，有种排法，
所以共有种排法，故B错误；
对于C：先排4名女生，共有种排法，且形成5个空位，再排3名男生，共有种排法，
所以共有种排法，故C正确；
对于D：由C选项可得3名男生和4名女生站成一排，则3名男生互不相邻的排法共有种排法，
若女生甲在最左端，且男生互不相邻的排法有种排法，
所以3名男生互不相邻且女生甲不能排在最左端的排法共有-=1296种，故D正确.
故选：ACD
12. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，.则下列结论正确的是（ ）.
A. 当时，
B. 函数在上有且仅有三个零点
C. 若关于的方程有解，则实数的取值范围是
D. ，
【答案】BD
【解析】令，则，所以，
得，所以选项A错误；
观察在时的图象，令，得，
可知在上单调递减，在上递增，且在上，，在上，，由此可判断在仅有一个零点，由函数的对称性可知在上也有一个零点，又因为，故该函数有三个零点，所以选项B正确；
由图可知，若关于的方程有解，则，所以选项C错误；
由图可知，的值域为，所以对，恒成立，所以选项D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 数列满足，，则___________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
，
，
，
，
累加得：
故答案为：.
14. 的展开式中的系数为___________．
【答案】
【解析】的展开式通项公式，
当时，，
当时，，
故的展开式中的系数为.
故答案为：7
15. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．
【答案】64
【解析】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
16. 已知偶函数，其导函数为，当时，，，则不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】令，
当时，，
在上单调递增．
因为是偶函数，
所以是奇函数．
因为，
所以．
；
不等式等价于，所以或，
解得或．
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知展开式的二项式系数和为64，且．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求的值．
解：（1）∵的展开式的所有项的二项式系数和为，
∴，
故展开式中第三项为：，
所以；
（2）∵，
∴第四项的二项式系数最大，
所以展开式中二项式系数最大的项；
（3）因为，
∴，
令，可得.
18. 已知等差数列的首项为1，且，___．在①；②成等比数列；③，其中是数列}的前n项和．在这三个条件中选择一个，补充在横线中，并进行解答．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列{}的前n项和．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分，
解：（1）若选择①：设的公差为d，
因为，，
所以，
所以，
所以；
若选择②：因为成等比数列，
所以，
又，
所以，
又，设的公差为，
所以，
解得，
所以；
若选择③：设的公差为d，
因为，
所以，
又，
即，
解得，
所以；
（2）由题知．
所以，
所以，
所以，
所以.
19. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大．
解：（1）∵蓄水池的侧面积的建造成本为元，底面积成本为元
∴蓄水池的总建造成本为元
所以即
∴
∴
又由可得
故函数的定义域为
（2）由（1）中，
可得（）
令，则
∴当时，，函数为增函数
当，函数为减函数
所以当时该蓄水池的体积最大
考点：1.函数的应用问题；2.函数的单调性与导数；2.函数的最值与导数.
20. 设函数，已知是函数极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
解：（1）由，，
又是函数的极值点，所以，
解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（1）知，，
其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．
令，因为，
所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，
由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，
即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，
即．
21. 已知数列的前项和为满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足.
①求数列的前项和；
②若对于一切正整数恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，；
当时，，，，
即；
又，，
数列自第二项起为等比数列，公比为，此时；
经检验：不满足，.
（2）①由（1）得：，则；
当时，，，
，
；
经检验：满足，；
②当时，，
当时，，，则当时，，
又，，即；
，即，解得：或，
即实数的取值范围为.
22. 已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，．
解：（1）因为，定义域为，所以，
当时，由于，则，
故恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令，解得，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）方法一：
由（1）得，，
要证，即证，即证恒成立，
令，则，令，则；令，则；所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，
所以当时，恒成立，证毕.
方法二：
令，则，
由于在上单调递增，所以在上单调递增，
又，所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增，
故，则，当且仅当时，等号成立，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以要证，即证，即证，
令，则，
令，则；令，则；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则恒成立，所以当时，恒成立，证毕.