[数学][期中]浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份[数学][期中]浙江省金兰教育合作组织2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共4页。试卷主要包含了填写答题卡的内容用2B铅笔填写，提前 xx 分钟收取答题卡等内容，欢迎下载使用。

考试时间：分钟 满分：分
姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________
*注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 xx 分钟收取答题卡
第Ⅰ卷 客观题
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题；共40分)
1. 已知向量 ， ， 若 ， 则（ ）
A . 2 B . C . 3 D .
2. 下列四个命题中正确的是（ ）
A . 每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B . 所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C . 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D . 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
3. 已知复数 ， 其中是虚数单位，则的虚部是（ ）
A . B . C . -1 D . 1
4. 已知 ， 为非零向量，且满足 ， 则在上的投影向量为（ ）
A . B . C . D .
5. 已知的三条边长分别为a，b，c，且 ， 则此三角形的最大角与最小角之和为（ ）
A . B . C . D .
6. 已知平面直角坐标系下，的三个顶点坐标为： ， ， ， 若斜二侧画法下的直观图是 ， 则的面积为（ ）
A . B . C . D .
7. 如图所示，在中，点E为线段上的中点，点F为线段上靠近点C的三等分点， ， 分别与交于R，T两点.则（ ）
A . B . C . D .
8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是 ， ， ， 则下列结论中错误的是（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）(共3题；共18分)
9. 已知复数 ， 均不为0，复数的共轭复数为 ， 则（ ）
A . B . C . D .
10. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A . 若 ， 则是直角三角形 B . 若 ， 则是锐角三角形 C . 若 ， 则是等腰三角形 D . 若 ， 则是等边三角形
11. 已知 ， 为非零向量，且满足 ， ， 则（ ）
A . ， 夹角的取位范围是 B . 的取值范围是 C . 的取值范围是 D . 的取值范围是
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）(共3题；共15分)
12. 已知（是虚数单位），则____________________
13. 已知球O的体积为 ， 则球O的表面积为____________________，球O的内接正四面体的体积为____________________.
14. 勒洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛.如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为勒洛三角形.已知正三角形边长为2，点P为圆弧上的一点，且满足： ， 则的值为____________________.
第Ⅱ卷 主观题
第Ⅱ卷的注释
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）(共5题；共77分)
15. 已知复数
（1） 若复数是方程的一个复数根，求实数a，b的值；
（2） 若复数满足 ， 求.
16. 如图所示，已知三棱柱的所有棱长都为1， ， 点P为线段上的动点.
（1） 若点恰为线段上靠近点的三等分点，求三棱锥和三棱柱的体积之比；
（2） 求的最小值及此时的值.
17. 设向量 ， 满足 ， ， .
（1） 求的值；
（2） 已知与的夹角的余弦值为 ， 求的值.
18. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足 ， .
（1） 求B；
（2） 若D，E为线段上的两个动点，且满足 ， ， 求的取值范围.
19. 对于平面向量 ， 定义“变换”： ，
（1） 若向量 ， ， 求；
（2） 已知 ， ， 且与不平行， ， ， 证明：；
（3） 若向量 ， 求. 题号
一
二
三
四
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