山西省运城市2023-2024学年高一下学期7月期末调研测试数学试题

这是一份山西省运城市2023-2024学年高一下学期7月期末调研测试数学试题，共12页。
本试题满分150分，考试时间120分钟．答案一律写在答题卡上．
注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上．
2．答题时使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．
4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．4C．5D．
2．已知平面向量，的夹角为，满足，，则（ ）
A．B．1C．D．
3．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积是（ ）
A．2B．4C．D．3
4．抛掷一枚质地均匀的骰子2次，事件甲为“第一次骰子正面向上的数字是1”，事件乙为“两次骰子正面向上的数字之和是4”，事件丙为“两次骰子正面向上的数字之和是8”，则（ ）
A．甲乙互斥B．乙丙互为对立C．甲乙相互独立D．甲丙互斥
5．已知平面，直线，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．中，内角，，的对边分别为，，，若且，则的形状是（ ）
A．有一个角是的等腰三角形B．等边三角形
C．三边均不相等的直角三角形D．等腰直角三角形
7．某次趣味运动会，设置了投篮比赛．已知参与射门比赛的学生有60名，进球数的平均值和方差分别是3和13，且其中男生进球数的平均值和方差分别是4和8，女生进球数的平均值为2，则女生进球数的方差为（ ）
A．15B．16C．17D．18
8．在梯形中，，，，，，点为边上一动点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，复数，对应的向量为，，其中是原点，则下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为B．复数对应的点在第一象限
C．当时，复数为纯虚数D．向量对应的复数为
10．正六边形瓷砖是一种常见的装饰材料，被广泛应用于室内和室外的墙壁、地面和装饰品的制作．正六边形瓷砖的设计能够形成美观的六边形花纹，增加空间的层次感和艺术感．如图是一块正六边形瓷砖，它的边长为1，点是内部（包括边界）的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若为的中点，在上的投影向量为
D．的最大值为
11．正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，点为线段上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与所成角的余弦值为
B．三棱锥的体积为定值
C．平面截正方体所得的截面周长为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知数据，，，，的方差为16，则数据，，，，的方差为______．
13．已知相互独立事件，满足，，则______．
14．已知正三棱台上，下底面边长分别为和，侧面与下底面所成的二面角为60°，则该正三棱台外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）北京大兴半程马拉松暨第八届“花绘北京悦跑大兴”于2024年4月27日在大兴区举办魏善庄镇鸣枪开跑，参赛规模为6000人并设有两个项目．为让更多的人了解马拉松运动项目，某区举办了马拉松知识竞赛，并从中随机抽取了名参赛者的成绩，得到的数据如下表所示：
（1）分别求，，的值，并在图中画出频率分布直方图；
（2）若参赛者得分分数不低于70的人数至少要占80%以上，并且参赛者得分分数的平均数超过80分，则该区可以评为“一马当先区”，估计该区能否评为“一马当先区”，并说明理由．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
16．（15分）如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面，点为线段的中点．
（1）证明：平面上平面；
（2）设，，求点到平面的距离．
17．（15分）如图，四边形中，，，，且为锐角．
（1）求；
（2）求的面积．
18．（17分）2024年4月25日20时59分，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射成功，实现了两个飞行乘组太空“会师”．下表记录了我国已发射成功的所有神舟飞船的发射时间和飞行时长．
为帮助同学们了解我国神舟飞船的发展情况，某学校“航天社团”准备通过绘画·海报·数据统计图表等形式宣传“神舟系列飞船之旅”．
（1）绘画组成员从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘进行绘画，求选中的神舟飞船的发射时间恰好是在10月份的概率；
（2）海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘制作海报；海报组组成员从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘制作海报，两组选择互不影响，求两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份的概率．
19．（17分）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线，，构成的三面角，，，，二面角的大小为，则．
（1）已知为射线上一点，交于点，交于点，当，时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体中，平面平面，，，
①求的余弦值；
②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由．
高一数学答案
一、单项选择题
1．C 2．B 3．C 4．D 5．D 6．B 7．B 8．C
二、多项选择题
9．BC 10．ACD 11．ABC
三、填空题
12．36 13．0.72 14．
四、解答题
15．解：（1）由，解得，
，，
而每组的频率/组距分别为0.005，0.010，0.020，0.030，0.035，
所以频率分布直方图如下所示：
（2）该区可以评为“一马当先区”，理由如下：
因为参赛者得分分数不低于70的频率为，
所以满足参赛者得分分
数不低于70的人数至少要占80%以上
又参赛者得分分数的平均数为
，
所以该区可以评为“一马当先区”
16．解：（1）因是的直径，则，
因垂直于所在的平面，平面，则，
因，，平面，则平面，
，所以平面，
又平面，则平面平面；
（2）解1．如图，过作垂线，垂足为．
因平面平面，平面平面，平面，
则平面，
即为点到平面的距离．
又，，垂直于所在的平面
则．
．
则在中，．
即点到平面的距离为．
因点为线段的中点，点到平面的距离为点到平面的距离的一半，
即点到平面的距离为．
解2．如图，过作垂线，垂足为．
由（1）知平面，平面，
所以平面平面，平面平面，平面，则平面，
即为点到平面的距离．
又，，垂直于所在的平面
则
．
则在中，．
因为为的中位线，所以
即点到平面的距离为
解3：等体积法
设底面圆半径为，
，，．
的面积．
又由（1）知，面，面
，，与为直角三角形．
，，
，．
设到平面的距离为
由
得
，
到平面的距离为．
17．【解析】
（1）解1：由已知，
．
是锐角，．
由余弦定理可得，则．
，是四边形外接圆的直径，
是外接圆的直径，利用正弦定理知．
解2：由已知，
．
是锐角，．
设，，则．
在中，
在中，．
，，
，
，．
解3：由已知，
．
是锐角，
在中由余弦定理可得，
则．
设，由，，，
所以，．
四边形中，，则，
在中，．
整理得：（）
解得：或（舍）．
．
（2）由，，，，
则，，
又，则，
因此，
故的面积为．
18．说明：不写出样本点集合只有个数也给分
解：（1）记名称为神舟第号飞船为，则“从表中所有的神舟飞船中随机选取1艘”的样本空间为，共18个样本点．
设“神舟飞船的发射时间恰好是在10月份”为事件，则，共5个样本点，
所以．
（2）“组从飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，，共15个样本点．
“组从飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘”的样本空间为，共6个样本点．
设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）大于4个月的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点，
所以．
设“组选中的神舟飞船的飞行时长（包括预计飞行时长）小于5天的神舟飞船中随机选取2艘恰好在10月或11月份”为事件，则，共3个样本点，
所以．．．．14分
设“两组选中的两艘神舟飞船的发射时间恰好都在10月或11月份”为事件，
两组选择互不影响，所以事件的概率为．
19．解：（1）证明：如图，依题意，交于点，交于点，
则是二面角的平面角．
在中和中分别用余弦定理，得
，
，
两式相减得，
，
两边同除以，得．
（2）①由平面平面，知，
由（1）得，
，，
．
②在直线上存在点，使平面．
连结，延长至，使，连结，
在棱柱中，，，
，四边形为平行四边形，
．
在四边形中，，四边形为平行四边形，
，，
又平面，平面，
平面．
当点在的延长线上，且使时，平面．
分数
频数
5
10
20
30
频率
0.10
0.20
0.30
0.35
名称
发射时间
飞行时长
神舟一号
1999年11月20日
21小时11分
神舟二号
2001年1月10日
6天18小时22分
神舟三号
2002年3月25日
6天18小时39分
神舟四号
2002年12月30日
6天18小时36分
神舟五号
2003年10月15日
21小时28分
神舟六号
2005年10月12日
4天19小时32分
神舟七号
2008年9月25日
2天20小时30分
神舟八号
2011年11月1日
16天
神舟九号
2012年6月16日
13天
神舟十号
2013年6月11日
15天
神舟十一号
2016年10月17日
32天
神舟十二号
2021年6月17日
3个月
神舟十三号
2021年10月16日
6个月
神舟十四号
2022年6月5日
6个月
神舟十五号
2022年11月29日
6个月
神舟十六号
2023年5月30日
5个月
神舟十七号
2023年10月26日
6个月
神舟十八号
2024年4月25日
预计6个月