专题07 解析几何（七大题型，16区二模新题速递）（学生卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题07 解析几何（七大题型，16区二模新题速递）（学生卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用），共11页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四，题型五，题型六，题型七等内容，欢迎下载使用。

选 题 列 表
2024·上海杨浦·二模 2024·上海奉贤·二模
2024·上海浦东·二模 2024·上海青浦·二模
2024·上海黄浦·二模 2024·上海闵行·二模
2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模
2024·上海徐汇·二模 2024·上海静安·二模
2024·上海松江·二模 2024·上海长宁·二模
2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模
2024·上海虹口·二模 2024·上海宝山·二模
汇 编 目 录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc10231" 题型一：直线与方程 PAGEREF _Tc10231 \h 2
\l "_Tc16671" 题型二：圆与方程 PAGEREF _Tc16671 \h 2
\l "_Tc17133" 题型三：曲线与方程 PAGEREF _Tc17133 \h 3
\l "_Tc13992" 题型四：椭圆 PAGEREF _Tc13992 \h 4
\l "_Tc3381" 题型五：双曲线 PAGEREF _Tc3381 \h 5
\l "_Tc23743" 题型六：抛物线 PAGEREF _Tc23743 \h 6
\l "_Tc31548" 题型七：圆锥曲线的综合问题 PAGEREF _Tc31548 \h 6
一、题型一：直线与方程
1．（2024·上海杨浦·二模）平面上的向量、满足：，，.定义该平面上的向量集合.给出如下两个结论：
①对任意，存在该平面的向量，满足
②对任意，存在该平面向量，满足
则下面判断正确的为（ ）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①正确，②正确D．①错误，②错误
2．（23-24高三下·上海浦东新·二模）“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
3．（2024·上海奉贤·二模）函数的图像记为曲线F，如图所示.A，B，C 是曲线与坐标轴相交的三个点，直线BC与曲线的图像交于点，若直线的斜率为，直线的斜率为，，则直线的斜率为 .(用，表示)
4．（2024·上海青浦·二模）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则的斜率为 ．
5．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为 ．
二、题型二：圆与方程
6．（2024·上海普陀·二模）直线经过定点，且与轴正半轴、轴正半轴分别相交于，两点，为坐标原点，动圆在的外部，且与直线及两坐标轴的正半轴均相切，则周长的最小值是（ ）
A．3B．5C．10D．12
7．（23-24高三下·上海·七宝模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．

8．（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知圆，圆，若两圆相交，则实数的取值范围为 .
9．（2024·上海静安·二模）江南某公园内正在建造一座跨水拱桥．如平面图所示，现已经在地平面以上造好了一个外沿直径为20米的半圆形拱桥洞，地平面与拱桥洞外沿交于点与点． 现在准备以地平面上的点与点为起点建造上、下桥坡道，要求：①；②在拱桥洞左侧建造平面图为直线的坡道，坡度为 （坡度为坡面的垂直高度和水平方向的距离的比）；③在拱桥洞右侧建造平面图为圆弧的坡道；④在过桥的路面上骑车不颠簸．
(1)请你设计一条过桥道路，画出大致的平面图，并用数学符号语言刻画与表达出来；
(2)并按你的方案计算过桥道路的总长度；（精确到0.1米）
(3)若整个过桥坡道的路面宽为10米，且铺设坡道全部使用混凝土．请设计出所铺设路面的相关几何体，提出一个实际问题，写出解决该问题的方案，并说明理由 （如果需要，可通过假设的运算结果列式说明，不必计算）．
三、题型三：曲线与方程
10．（2024·上海徐汇·二模）三棱锥各顶点均在半径为的球的表面上，，二面角的大小为，则对以下两个命题，判断正确的是（ ）
①三棱锥的体积为；②点形成的轨迹长度为.
A．①②都是真命题
B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题
D．①②都是假命题
11．（2024·上海奉贤·二模）点是棱长为1的正方体棱上一点，则满足的点的个数为 ．
12．（2024·上海虹口·二模）已知平面向量满足，若平面向量满足，则的最大值为 .
13．（2024·上海静安·二模）我们称如图的曲线为“爱心线”，其上的任意一点都满足方程，现将一边在x轴上，另外两个顶点在爱心线上的矩形称为心吧．若已知点“爱心线”上任意一点的最小距离为，则用表示心吧面积的最大值为 ．
四、题型四：椭圆
14．（2024·上海交大附中·模拟）椭圆具有如下的声学性质：从一个焦点出发的声波经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．有一个具有椭圆形光滑墙壁的建筑，某人站在一个焦点处大喊一声，声音向各个方向传播后经墙壁反射（不考虑能量损失），该人先后三次听到了回音，其中第一、二次的回音较弱，第三次的回音较强；记第一、二次听到回音的时间间隔为，第二、三次听到回音的时间间隔为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
15．（2024·上海金山·二模）若抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，则的值为（ ）．
A．2B．3C．4D．8
16．（23-24高三下·上海·七宝模拟）若椭圆的离心率为，则 ．
17．（2024·上海青浦·二模）椭圆的离心率为，则 ．
18．（2024·上海浦东新·二模）已知椭圆的左、右焦点分别是，其离心率，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为，若，证明：为定值，并求出这个定值；
(3)点是椭圆上除长轴端点外的任一点，设的角平分线交椭圆的长轴于点，求的取值范围．
19．（2024·上海普陀·二模）设椭圆，的离心率是短轴长的倍，直线交于、两点，是上异于、的一点，是坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线过的右焦点，且，，求的值；
(3)设直线的方程为，且，求的取值范围.
五、题型五：双曲线
20．（2024·上海嘉定·二模）双曲线和双曲线具有相同的（ ）
A．焦点B．顶点C．渐近线D．离心率
21．（2024·上海·二模）双曲线的左右焦点分别为，过坐标原点的直线与相交于两点，若，则 .
22．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ．
23．（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知双曲线的焦点分别为、，为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为 .
24．（2024·上海闵行·二模）我们把形如和的两个双曲线叫做共轭双曲线.设共轭双曲线，的离心率分别为，，则的最大值是 .
25．（2024·上海普陀·二模）已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点，过点的直线的法向量，与轴以及的左支分别相交，两点，若，则双曲线的实轴长为 .
六、题型六：抛物线
26．（23-24高三下·上海·七宝模拟）设为坐标原点，为抛物线的焦点，是抛物线上一点，若，则点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
27．（2024·上海长宁·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，，则点的横坐标为 ．
28．（23-24高三下·上海·七宝模拟）已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 ．
29．（2024·上海交大附中·模拟）已知是抛物线上的两个不同的点，且，若点为线段的中点，则到轴的距离的最小值为 ．
30．（2024·上海奉贤·二模）抛物线上一点到点的距离最小值为 ．
七、题型七：圆锥曲线的综合问题
31．（2024·上海虹口·二模）过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为 .
32．（2024·上海松江·二模）如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上.
(1)求线段的长；
(2)若线段的中点在轴上，求的面积；
(3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由.
33．（2024·上海徐汇·二模）已知椭圆，分别为椭圆的左、右顶点，分别为左、右焦点，直线交椭圆于两点（不过点）.
(1)若为椭圆上（除外）任意一点，求直线和的斜率之积；
(2)若，求直线的方程；
(3)若直线与直线的斜率分别是，且，求证：直线过定点.
34．（2024·上海杨浦·二模）已知椭圆：的上顶点为，离心率，过点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别与轴交于点、.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知命题“对任意直线，线段的中点为定点”为真命题，求的重心坐标；
(3)是否存在直线，使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.（其中、分别表示、的面积）
35．（2024·上海奉贤·二模）已知曲线 ，是坐标原点， 过点的直线与曲线交于，两点.
(1)当与轴垂直时，求的面积；
(2)过圆上任意一点作直线，，分别与曲线切于，两 点，求证：；

(3)过点的直线与双曲线交于，两点（，不与轴重合）.记直线的斜率为，直线斜率为， 当时，求证：与都是定值.

36．（2024·上海金山·二模）已知椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于不同的两点、．
(1)证明：点到右焦点的距离为；
(2)设点，当直线的斜率为，且与平行时，求直线的方程；
(3)当直线与轴不垂直，且△的周长为时，试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
37．（2024·上海·二模）如图，已知椭圆和抛物线，的焦点是的上顶点，过的直线交于、两点，连接、并延长之，分别交于、两点，连接，设、的面积分别为、．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的取值范围.
38．（2024·上海黄浦·二模）如图，已知是中心在坐标原点、焦点在轴上的椭圆，是以的焦点为顶点的等轴双曲线，点是与的一个交点，动点在的右支上且异于顶点.
(1)求与的方程；
(2)若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求点的坐标；
(3)设直线的斜率分别为，直线与相交于点，直线与相交于点，，，求证：且存在常数使得.
39．（2024·上海崇明·二模）已知椭圆，为的上顶点，是上不同于点的两点．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若是椭圆的右焦点，是椭圆下顶点，是直线上一点.若有一个内角为，求点的坐标；
(3)作，垂足为．若直线与直线的斜率之和为，是否存在轴上的点，使得为定值？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
40．（2024·上海虹口·二模）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上，动直线与椭圆相交于不同的两点，且直线的斜率之积为1.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线为的法向量为，求直线的方程；
(3)是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
41．（2024·上海嘉定·二模）如图：已知三点、、都在椭圆上．
(1)若点、、都是椭圆的顶点，求的面积；
(2)若直线的斜率为1，求弦中点的轨迹方程；
(3)若直线的斜率为2，设直线的斜率为，直线的斜率为，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出所有满足条件的点，若不存在，说明理由．
42．（2024·上海青浦·二模）已知双曲线，，分别为其左、右焦点．
(1)求，的坐标和双曲线的渐近线方程；
(2)如图，是双曲线右支在第一象限内一点，圆是△的内切圆，设圆与，，分别切于点，，，当圆的面积为时，求直线的斜率；
(3)是否存在过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，且使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
43．（2024·上海长宁·二模）已知椭圆为坐标原点；
(1)求的离心率；
(2)设点，点在上，求的最大值和最小值；
(3)点，点在直线上，过点且与平行的直线与交于两点；试探究：是否存在常数，使得恒成立；若存在，求出该常数的值；若不存在，说明理由；
44．（2024·上海·二模）在中，已知，，设分别是的重心、垂心、外心，且存在使.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)求的外心的纵坐标的取值范围；
(3)设直线与的另一个交点为，记与的面积分别为，是否存在实数使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
45．（23-24高三下·上海浦东新·二模）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若椭圆上点满足，求的值；
(2)点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；
(3)已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值.