专题09 排列组合与二项式定理（四大题型，16区二模新题速递）（解析卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用）

这是一份专题09 排列组合与二项式定理（四大题型，16区二模新题速递）（解析卷）-2024年高考数学二模试题分类汇编（上海专用），共9页。试卷主要包含了题型一，题型二，题型三，题型四等内容，欢迎下载使用。

选 题 列 表
2024·上海杨浦·二模 2024·上海奉贤·二模
2024·上海浦东·二模 2024·上海青浦·二模
2024·上海黄浦·二模 2024·上海闵行·二模
2024·上海普陀·二模 2024·上海金山·二模
2024·上海徐汇·二模 2024·上海静安·二模
2024·上海松江·二模 2024·上海长宁·二模
2024·上海嘉定·二模 2024·上海崇明·二模
2024·上海虹口·二模 2024·上海宝山·二模
汇 编 目 录
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc29248" 题型一：乘法原理 PAGEREF _Tc29248 \h 2
\l "_Tc2069" 题型二：排列 PAGEREF _Tc2069 \h 2
\l "_Tc14169" 题型三：组合 PAGEREF _Tc14169 \h 4
\l "_Tc19759" 题型四：二项式定理 PAGEREF _Tc19759 \h 6
一、题型一：乘法原理
1．（2024·上海黄浦·二模）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用分层抽样的方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取40名学生，已知该校初中部和高中部分别有500和300名学生，则不同的抽样结果的种数为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由分层抽样先求出初中部和高中部应抽取的学生，再由组合数公式和分步计数原理即可得出答案.
【详解】该校初中部和高中部分别有500和300名学生，
所以初中部应抽取名学生，
高中部应抽取名学生，
所以不同的抽样结果的种数为.
故选：B.
2．（2024·上海杨浦·二模）有5名志愿者报名参加周六、周日的公益活动，若每天从这5人中安排2人参加，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有 种.
【答案】60
【分析】从5人中选1人两天都参加，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，并列式计算即得.
【详解】从5人中选1人两天都参加，有种方法，再从余下4人中选2人分派到周六、周日参加，有种方法，
所以不同安排方式共有（种）.
故答案为：60
二、题型二：排列
3．（2024·上海虹口·二模）3个男孩和3个女孩站成一排做游戏，3个女孩不相邻的站法种数为 .
【答案】144
【分析】利用插空法求解即可.
【详解】先将3个男孩站成一排，有种方法，
将3个女孩插入3个男孩形成的4个空位中，有种方法，
故一共有：种.
故答案为：144
4．（2024·上海黄浦·二模）某校高三年级举行演讲比赛，共有5名选手参加.若这5名选手甲、乙、丙、丁、戊通过抽签来决定上场顺序，则甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率为 .
【答案】/0.6
【分析】求出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的场数和抽签总共的可能场数，即可得出甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率.
【详解】由题意，
若甲第一个上场，乙则可以第3,4,5个上场，有种，
若甲第二个上场，乙则可以第4,5个上场，有种，
若甲第三个上场，乙则可以第1,5个上场，有种，
若甲第四个上场，乙则可以第1,2个上场，有种，
若甲第五个上场，乙则可以第1,2,3个上场，有种，
共有种，
而所有的上场顺序有种，
∴甲、乙两位选手上场顺序不相邻的概率：,
故答案为：.
5．（2024·上海崇明·二模）某学习小组共有10名学生，其中至少有2名学生在同一月份的出生的概率是 ．（默认每月天数相同，结果精确到0.001）
【答案】0.996
【分析】利用对立事件的概率关系可得答案.
【详解】设事件“至少有2名学生在同一月份的出生的”，
，
故答案为：0.996
三、题型三：组合
6．（2024·上海松江·二模）某校高一数学兴趣小组一共有30名学生，学号分别为，，，…，，老师要随机挑选三名学生参加某项活动，要求任意两人的学号之差绝对值大于等于5，则有 种不同的选择方法.
【答案】
【分析】根据题意，设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，结合题意转化为，进而转化为四个正整数的和为，结合隔板法，即可求解.
【详解】设挑选出的三名学生的学号分别为，，，不妨设，
则有恒等式，
其中，，，，
即，，，，
故式为，
上式四个正整数的和为，相当于个分成四组，运用隔板法，在个空中放块板，故有种方法．
故答案为：．
7．（23-24高三下·上海浦东新·阶段练习）若，则正整数的值为 ．
【答案】5或7
【分析】由组合数的性质得到，列出方程，求出答案.
【详解】由组合数性质：，可得，则，
所以或，解得或.
故答案为：5或7
8．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）已知甲同学从学校的2个科技类社团、4个艺术类社团、3个体育类社团中选择报名参加，若甲报名了两个社团，则在有一个是艺术类社团的条件下，另一个是体育类社团的概率为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合组合的知识分别求得事件与事件的概率，从而利用条件概率公式即可得解.
【详解】依题意，设事件为“所报的两个社团中有一个是艺术类”，
事件为“所报的两个社团中有一个是体育类”，
则，
所以.
故答案为：.
9．（2024·上海浦东新·模拟预测）如图为正六棱柱，若从该正六棱柱的个侧面的条面对角线中，随机选取两条，则它们共面的概率是 ．

【答案】
【分析】
根据题意，相交时分为：在侧面内相交，两个相邻面相交于一个点，相隔一个面中相交于对角线延长线上，分别分析几种情况下对角线共面的个数，再利用古典概型的概率计算公式，计算结果即可．
【详解】
由题意知，若两个对角线在同一个侧面，因为有个侧面，所以共有组，
若相交且交点在正六棱柱的顶点上，因为有个顶点，所以共有组，
若相交且交点在对角线延长线上时，如图所示，连接，，，，，

先考虑下底面，根据正六边形性质可知，所以，
且，故共面，且共面，
故，相交，且，相交，故共面有组，
则正六边形对角线所对应的有组共面的面对角线，
同理可知正六边形对角线，所对的分别有两组，共组，
故对于上底面对角线，，同样各对两组，共组，
若对面平行，一组对面中有组对角线平行，三组对面共有组，
所以共面的概率是．
故答案为：．
四、题型四：二项式定理
10．（2024·上海普陀·二模）设，若，且，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由二项式系数的性质可得，然后分别令，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，
且，，所以是二项式系数最大的项，则，
令，则，
令，则，
则.
故答案为：
11．（2024·上海徐汇·二模）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为 .
【答案】
【分析】依题意，可求得，再利用的二项展开式的通项公式可求得答案．
【详解】的二项展开式中各项系数和为1024，
即，
故．
设的二项展开式的通项为，则，
令，得，
故展开式中常数项的值为．
故答案为：210．
12．（2024·上海杨浦·二模）已知二项式，其展开式中含项的系数为 .
【答案】45
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，令即可求解.
【详解】由题意知，展开式的通项公式为，
令，得，
即含的项的系数为45.
故答案为：45
13．（2024·上海奉贤·二模）已知多项式对一切实数恒成立，则
【答案】
【分析】赋值可得，再用通项求出，相加即可.
【详解】令可得，
又展开式的通项为，
令可得；令，可得，
所以，
所以，
故答案为：1.
14．（2024·上海闵行·二模）在的二项展开式中，项的系数为 .
【答案】
【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为3求得值，则答案可求．
【详解】的二项展开式的通项为:
．
由，得．
的二项展开式中，项的系数是．
故答案为：．
15．（2024·上海黄浦·二模）若的展开式中的系数是，则实数 .
【答案】
【分析】根据通项公式得到，求出，从而得到方程，求出.
【详解】通项公式为，
令，解得，
故，解得.
故答案为：
16．（2024·上海崇明·二模）若的二项式展开式中的系数为10，则 ．
【答案】1
【分析】由多项式的二项展开式的通项公式列出方程，求解即得.
【详解】由的通项公式可知二项式展开式中的系数为，则得，解得.
故答案为：1.
17．（2024·上海金山·二模）在的展开式中，记项的系数为，则 ．
【答案】
【分析】根据二项式展开式的通项公式可得，即可求解.
【详解】展开式的通项公式为，
所以，
则.
故答案为：40
18．（2024·上海青浦·二模）的二项展开式中的常数项为 .
【答案】
【分析】由二项式定理得展开式的通项公式，代入可求出结果.
【详解】因为的展开式通项为，
展开式中常数项，必有，即，
所以展开式中常数项为.
故答案为：
19．（2024·上海长宁·二模）在的展开式中的系数为 ．
【答案】
【分析】利用二项式定理的通项公式即可求解.
【详解】由二项式定理可知，的展开式的通项为，
令，解得，
所以，
所以二项式的展开式中含项的系数为.
故答案为：.
20．（23-24高三下·上海浦东新·期中）的二项展开式中项的系数为 .（用数值回答）
【答案】270
【分析】由二项式展开式的通项求特定项系数.
【详解】的展开式的通项是，
由题意得，,
因此，的系数是.
故答案为：.
21．（2024·上海·二模）在的二项展开式中，的系数为 .
【答案】2000
【分析】写出二项展开式的通项公式，令求出答案.
【详解】的二项展开式通项公式，
令得，
所以的系数为2000
故答案为：2000