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数学北师大版第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件课后练习题
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这是一份数学北师大版第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件课后练习题，共32页。试卷主要包含了帖(线），靠(尺）a，画(线）等内容，欢迎下载使用。
考点一：平行线的定义和表示
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。
任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。
考点二：平行线的画法：
P
已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
●
一、帖(线）
二、靠(尺）a
三、移(点)
四、画(线）
考点三：平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥ca
b
平行线具有传递性。c
1
2
a
b
c
考点四、平行线的判定
判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等, 两直线平行
3
2
a
b
c
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
3
4
a
b
c
判定3：两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
题型一：平行线的理解
1．（2023春·江苏·七年级）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线一定平行
C．有且只有一条直线垂直已知直线
D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短
2．（2022春·辽宁沈阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．平面内，不相交的两条直线必平行；
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
D．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
3．（2023春·全国·七年级专题）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行
（4）在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行
A．个B．个C．个D．个
题型二：平行公理问题
4．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．，则
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若，则
B．a、b、c是直线，若，则
C．a、b、c是直线，若，则
D．a、b、c是直线，若，则
6．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
题型三：平行线判定方法（同位角）
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与交于点O，下列条件中①；②；③；④，能判断的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型四：平行线判定方法（内错角）
10．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，下列能判定的条件有（ ）
① ② ③ ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五：平行线判定方法（同旁内角）
13．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，以下四个条件：①； ②；③；④平分∠且，其中能判断直线的有（ ）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
14．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A．B．
C．D．，
题型六：平行线判定方法（垂直于同一直线）
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，则，，则
17．（2022春·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·安徽芜湖·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．，，是同一平面内直线，且a// b，//，则//
B．，，是同一平面内直线，且，，则
C．，，是同一平面内直线，且//，，则//
D．，，是同一平面内直线，且，//，则//
题型四：平行线判定综合性问题
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图：
(1)画射线；
(2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C；
(3)过点Q画直线平行于射线．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）补全下列推理过程：已知：如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠BCD（______）
∴∠1＝_____（_______）
∵∠1＝∠2＝70°（已知）
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（________）
∴AD∥BC（________）
∴∠D＝180°－_______＝180°－∠1－∠4＝40°
∵∠3＝40°（已知）
∴______＝∠3
∴AB∥CD（_______）
21．（2023春·七年级课时练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
一、单选题
22．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）直线、、中，，，则直线与直线的关系是（ ）．
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定
23．（2023春·七年级课时练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次右拐
24．（2023春·七年级课时练习）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
25．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的有( )
若， ，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．3个B．2个C．1个D．0个
26．（2023春·全国·七年级专题练习）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（ ）
A．若a⊥b，b//c，则a⊥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a//b，b⊥c，则a⊥cD．若a//b，b//c，则a//c
27．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．4
29．（2023春·七年级课时练习）下列图形中，由∠1＝∠2能得到ABCD的图形有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
30．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，射线平分，且．求证：．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
一、单选题
32．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等
34．（2022春·广东深圳·七年级校联考期末）如图，不能说明AB//CD的有（ ）
①∠DAC=∠BCA；②∠BAD=∠CDE；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCB
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2023春·七年级课时练习）下列说法中不正确的个数为（ ）．
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
36．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
37．（2021春·广东湛江·七年级统考期末）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．
38．（2023春·七年级单元测试）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有_____________（填写所有正确的序号）．
39．（2023春·七年级课时练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
40．（2023春·七年级课时练习）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别放在直线，上，对于给出的四个条件，①，；②；③，④；⑤．能判断直线的有________（填序号）．
41．（2023春·七年级课时练习）现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
三、解答题
42．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，、分别在、上，，与互余，．求证：．
43．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，于，于，
（1）求证：；
（2）若，平分，求证：平分．
44．（2018春·福建福州·七年级校考阶段练习）填空并完成推理过程.
如图，E点为DF上的点,B点为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D,试说明:AC∥DF.
证明:∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠2=∠3( ）
∴____∥______（ ）
∴∠C=∠ABD( ）
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠ABD(等量代换)
∴AC∥DF( ）
45．（2019春·北京石景山·七年级统考期末）如图，平分，.
（1）求证：//；
（2）若，，求的度数（用含的代数式表示）.
1．D
【分析】根据平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故本选项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直已知直线，故本选项错误，不符合题意；
D、连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．B
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线进行判断即可．
【详解】A.平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
B.平面内，不相交的两条直线必平行，原说法正确，符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；；
D.直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线的定义、平行公理及推论求解判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故(1)错误，不符合题意；
若a//b，a//c，那么b//c，故(2)说法正确，符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(3)说法错误，不符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(4)说法正确，符合题意；
综上，(2)、(4)说法正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义和公理是解题的关键．
4．C
【分析】根据平行公理及推论、平行线的判定与性质解答即可得解．
【详解】解：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故A说法正确，不符合题意；
根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故B说法正确，不符合题意；
根据平行公理知，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C说法错误，符合题意；
在同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟记平行公理及推论、平行线的判定与性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；
C．当时，，故本选项错误，不符合题意；
D．当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．
6．B
【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】解：A、∵，∴，故选项A不能判定，符合题意；
B、∵，∴，故选项B能判定，不符合题意；
C、∵，∴，故选项C能判定，不符合题意；
D、∵，即，
∴，故选项D能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
8．C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．若，则（同旁内角互补，两直线平行）；
B．若，则（内错角相等，两直线平行）；
C．若，则（同位角相等，两直线平行）；
D．，则（同位角相等，两直线平行）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．
9．C
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【详解】∵，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
故②不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴，
故④符合题意；
综上：可以判断的有①③④；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行线的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，无法判定直线，不符合题意；
B、，无法判定直线，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴；符合题意；
D、，无法判定直线，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
11．D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由可根据内错角相等，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
B、由可根据同旁内角互补，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
C、由可根据内错角相等，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
D、由可根据内错角相等，两直线平行判断，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
12．C
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故①正确；
∵，∴，故②错误；
∵，∴，故③正确；
∵，∴，故④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
13．B
【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵
∴
故①正确；
∵
∴
故②不正确；
∵
∴
故③正确；
∵平分∠
∴，
又∵
∴
∴
∴
故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
14．B
【分析】直接利用平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，分别分析得出答案．
【详解】解：A、（内错角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
B、不属于同位角、内错角或同旁内角，不能判断，符合题意；
C、（同位角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
D、（同旁内角互补，两直线平行），可以判断，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．
15．C
【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出，变形后即可得到正确的选项．
【详解】解：当，即时，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
16．A
【分析】根据题意对各选项逐一画出图形，从而进行判断即可．
【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平行线与垂直的性质，根据题意画出符合题意的图形即可解决问题．
17．A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解：若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若与相交，与相交，则与相交也可能是平行，故说法错误，
正确的有，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
18．A
【分析】根据平行线的推论依次判断即可．
【详解】解：A、a// b，b//c，则a//c，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，选项正确，符合题意；
B、a⊥b，b⊥c，则a//c，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，选项错误，不符合题意；
C、a//b，b⊥c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
D、a⊥b，b//c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查平行线的相关推论，理解平行线的相关推论是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】根据题意过用直尺作图，分别P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；过点Q画直线平行于射线．
【详解】（1）如图，射线PQ为所求；
（2）如图，线段PC为所求；
（3）如图，直线QM为所求
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握相关定义是解题关键．
20．见解析
【分析】由已知CE平分∠BCD可得∠1＝ ∠4，利用等式的性质得出∠1＝∠2＝∠4＝70°，根据直线判定定理得出AD∥BC，利用平角定义求出∠D＝180°－∠BCD即可．
【详解】证明：∵CE平分∠BCD（ 已知 ），
∴∠1＝ ∠4 （ 角平分线定义 ），
∵∠1＝∠2＝70°已知，
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－∠1－∠4＝40°，
∵∠3＝40°已知，
∴ ∠D ＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；∠4 ，角平分线定义 ；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠BCD；∠D；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线判定，角平分线定义，平角，掌握平行线判定方法，角平分线定义，平角是解题关键．
21．(1)30°
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析
(3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见解析
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．
【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
∵∠BCD=150°，
∴∠ACE=180°-150°=30°．
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
（3）当∠BCD＝120°或60°时，．
如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B＋∠BCD＝180°时，，
∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；
如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，
当∠BCD＝∠B＝60°时，．
综上所述，∠BCD=60°或120°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．
22．C
【分析】作出草图，根据垂直的定义得到是直角，根据两直线平行同位角相等，求出，然后判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，是基础题，比较简单．
23．B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，可以得到．
因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故只有B选项符合，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
24．B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由，不能判定，
故①不符合题意；
，，
，
，
故②符合题意；
由，，不能判定，
故③不符合题意；
，，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
25．C
【分析】根据平行公理的推论可判断①；根据直线的位置关系可判断②；根据对顶角的定义可判断③；根据平行公理可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故正确的有1个，
故选：C．
【点睛】本题考查平行公理及其推论、两直线的位置关系质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．
26．B
【分析】根据平行线的判定及性质及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【详解】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项错误，符合题意，
C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项正确，不合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的判定定理与性质定理及垂直的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
27．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
28．C
【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，ABCD，符合题意；
当∠1=∠2时，ADBC，不符合题意；
当∠3=∠4时，ABCD，符合题意；
当∠B=∠5时，ABCD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
29．C
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2，
∴AC∥BD；故不符合题意；
第二个图形，∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故符合题意；
第三个图形，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD；
第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD，
故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．
30．见解析
【分析】首先根据角平分线的定义，再由和对顶角相等即可得出，从而得到答案．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（对顶角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为同旁内角互补，两直线平行．
31．CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【详解】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【点睛】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
32．D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
33．A
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
34．C
【分析】选项①∠DAC和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD和∠CDE属于同位角，选项③∠DAB和∠ABC属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
选项②∵∠BAD=∠CDE∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
故选C．
【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．
35．C
【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；
∴不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．
36．①②③⑤
【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；
在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；
过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解．
37．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
38．①③④
【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．
【详解】① ∵，
∴∥（同旁内角互补，两直线平行），正确；
② ∵，
∴∥，错误；
③ ∵，
∴∥（内错角相等，两直线平行），正确；
④ ∵，
∴∥（同位角相等，两直线平行），正确；
⑤ 不能证明∥，错误，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
39．2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，
解得：t=2；
当时，，
解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
40．①⑤
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【详解】解：①∵25.5°+∠ABC=55.5°=∠2=55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2=2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2=90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB=∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC=∠2-∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
41．③④
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
42．证明见详解.
【分析】由可得,而与互余，所以，所以
，而，所以，所以根据内错角相等两直线平行即可求解；
【详解】
与互余
【点睛】本题主要考查垂直的定义，余角以及平行线的判定，熟练掌握相关定义并准确的进行逻辑推理是求解本题的关键.
43．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）依据CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，进而得到EF∥CD；
（2）依据EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
（2）证明：∵平分
∴
∵（由（1）可知）
∴，
∵
∴
则
∴平分
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是运用等量代换进行推导．
44．等量代换，DB，EC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
【分析】先证明BD∥CE，然后根据平行线的性质，以及已知条件证明∠D=∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得．
【详解】∵∠1=∠2，（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3，（等量代换）
∴DB∥EC，（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD，（ 两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D，（已知）
∴∠D=∠ABD，（ 等量代换）
∴AC∥DF．（ 内错角相等，两直线平行）
【点睛】解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
45．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质得到∠3的度数，再由平行线的性质可求出结果.
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴∥．
（2） ∵∥且，
∴．
∴．
同理可证：．
∵，
∴．
∴
=
=．
考点一：平行线的定义和表示
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。
任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。
考点二：平行线的画法：
P
已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
●
一、帖(线）
二、靠(尺）a
三、移(点)
四、画(线）
考点三：平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥ca
b
平行线具有传递性。c
1
2
a
b
c
考点四、平行线的判定
判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等, 两直线平行
3
2
a
b
c
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果
内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
3
4
a
b
c
判定3：两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行
一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
题型一：平行线的理解
1．（2023春·江苏·七年级）下列说法中，正确的是（ ）
A．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线平行
B．不相交的两条直线一定平行
C．有且只有一条直线垂直已知直线
D．连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短
2．（2022春·辽宁沈阳·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
B．平面内，不相交的两条直线必平行；
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
D．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离．
3．（2023春·全国·七年级专题）下列说法中，正确的个数有（ ）
（1）过一点有无数条直线与已知直线平行
（2）如果a∥b，a∥c，那么b∥c
（3）在同一平面内，两条不重合的线段，如果它们不相交，那么就平行
（4）在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行
A．个B．个C．个D．个
题型二：平行公理问题
4．（2023秋·广东河源·七年级校考期末）下列说法错误的是（ ）
A．，则
B．平行于同一条直线的两条直线互相平行
C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交
5．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c是直线，若，则
B．a、b、c是直线，若，则
C．a、b、c是直线，若，则
D．a、b、c是直线，若，则
6．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的个数是（ ）．
（1）两条直线不相交就平行；
（2）在同一平面内，两条平行的直线有且只有一个交点；
（3）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（4）平行于同一直线的两条直线互相平行；
（5）两直线的位置关系只有相交、平行与垂直．
A．0B．1C．2D．4
题型三：平行线判定方法（同位角）
7．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，点，，分别在的边，，上，连接，，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
9．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，与交于点O，下列条件中①；②；③；④，能判断的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型四：平行线判定方法（内错角）
10．（2023秋·河南南阳·七年级统考期末）如图，直线，且直线a，b被直线c，d所截，则下列条件可以判定直线的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）如图，下列能判定的条件有（ ）
① ② ③ ④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型五：平行线判定方法（同旁内角）
13．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，以下四个条件：①； ②；③；④平分∠且，其中能判断直线的有（ ）
A．4个B．3个
C．2个D．1个
14．（2023秋·山西长治·七年级统考期末）如图，下列条件中，不能判断直线的是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，直线，被所截得的同旁内角为，，要使，只要使（ ）
A．B．
C．D．，
题型六：平行线判定方法（垂直于同一直线）
16．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．在同一平面内，，，是直线，且，，则
B．在同一平面内，，，是直线，且，，则
C．在同一平面内，，，是直线，且，，则
D．在同一平面内，，，是直线，则，，则
17．（2022春·七年级校联考阶段练习）直线、、在同一平面内，下面的四个结论：
如果ab，ac，那么bc；
如果，，那么ac；
如果ab，，那么；
如果与相交，与相交，那么与相交．
正确的结论为（ ）
A．B．C．D．
18．（2022春·安徽芜湖·七年级校联考期末）下列说法正确的是（ ）
A．，，是同一平面内直线，且a// b，//，则//
B．，，是同一平面内直线，且，，则
C．，，是同一平面内直线，且//，，则//
D．，，是同一平面内直线，且，//，则//
题型四：平行线判定综合性问题
19．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，已知点P、Q分别在的边上，按下列要求画图：
(1)画射线；
(2)过点P画垂直于射线的线段，垂足为点C；
(3)过点Q画直线平行于射线．
20．（2023春·全国·七年级专题练习）补全下列推理过程：已知：如图，CE平分∠BCD，∠1＝∠2＝70°，∠3＝40°，求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠BCD（______）
∴∠1＝_____（_______）
∵∠1＝∠2＝70°（已知）
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（________）
∴AD∥BC（________）
∴∠D＝180°－_______＝180°－∠1－∠4＝40°
∵∠3＝40°（已知）
∴______＝∠3
∴AB∥CD（_______）
21．（2023春·七年级课时练习）动手操作：如图①：将一副三角板中的两个直角顶点叠放在一起，其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．
(1)若∠BCD＝150°，求∠ACE的度数；
(2)试猜想∠BCD与∠ACE的数量关系，请说明理由；
(3)若按住三角板ABC不动，绕顶点C转动三角板DCE，试探究当时，∠BCD等于多少度，并简要说明理由．
一、单选题
22．（2023秋·甘肃天水·七年级校考期末）直线、、中，，，则直线与直线的关系是（ ）．
A．相交B．平行C．垂直D．不能确定
23．（2023春·七年级课时练习）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的度数是（ ）
A．第一次右拐，第二次左拐B．第一次左拐，第二次右拐
C．第一次左拐，第二次左拐D．第一次右拐，第二次右拐
24．（2023春·七年级课时练习）如图，，下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若，则．
A．①②B．②④C．②③④D．②
25．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法中，正确的有( )
若， ，则；
②若与相交，与相交，则与相交；
③相等的角是对顶角；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．
A．3个B．2个C．1个D．0个
26．（2023春·全国·七年级专题练习）a、b、c是同一平面内的三条直线，下列说法不正确的是（ ）
A．若a⊥b，b//c，则a⊥cB．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
C．若a//b，b⊥c，则a⊥cD．若a//b，b//c，则a//c
27．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的，第二次拐的，第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（ ）
A．B．C．D．
28．（2022秋·黑龙江绥化·七年级校考期末）如图，下列能判定ABCD的条件有（）个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．4
29．（2023春·七年级课时练习）下列图形中，由∠1＝∠2能得到ABCD的图形有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
30．（2022春·江苏连云港·七年级校考期中）如图，射线平分，且．求证：．
31．（2023春·全国·七年级专题练习）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
一、单选题
32．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（ ）
A．B．C．D．
33．（2023春·广东河源·七年级校考阶段练习）如图，是我们学过的用直尺和三角尺画平行线的方法示意图，画图的原理是（ ）
A．同位角相等，两直线平行B．内错角相等，两直线平行
C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等
34．（2022春·广东深圳·七年级校联考期末）如图，不能说明AB//CD的有（ ）
①∠DAC=∠BCA；②∠BAD=∠CDE；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCB
A．1个B．2个C．3个D．4个
35．（2023春·七年级课时练习）下列说法中不正确的个数为（ ）．
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题
36．（2023春·浙江·七年级专题练习）下列说法中错误的是___________（填序号）
①过一点有且只有一条直线与已知直线平行
②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段
③两条直线没有交点，则这两条直线平行
④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交
⑤过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB是点A到直线l的距离
37．（2021春·广东湛江·七年级统考期末）结合下图，用符号语言表达定理“同旁内角互补，两直线平行”的推理形式：∵____________，∴a∥b．
38．（2023春·七年级单元测试）如图，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．其中，一定能判定∥的条件有_____________（填写所有正确的序号）．
39．（2023春·七年级课时练习）如图，a、b、c三根木棒钉在一起，，现将木棒a、b同时顺时针旋转一周，速度分别为18度/秒和3度/秒，两根木棒都停止时运动结束，则___________秒后木棒a，b平行．
40．（2023春·七年级课时练习）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别放在直线，上，对于给出的四个条件，①，；②；③，④；⑤．能判断直线的有________（填序号）．
41．（2023春·七年级课时练习）现有下列说法：
①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③若，，则；
④若，的两边与的两边分别平行，则或；
⑤若，，则．
其中正确的是_______（填写序号）．
三、解答题
42．（2021春·新疆乌鲁木齐·七年级新疆农业大学附属中学校考期中）如图，、分别在、上，，与互余，．求证：．
43．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，于，于，
（1）求证：；
（2）若，平分，求证：平分．
44．（2018春·福建福州·七年级校考阶段练习）填空并完成推理过程.
如图，E点为DF上的点,B点为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D,试说明:AC∥DF.
证明:∵∠1=∠2(已知)
∠1=∠3(对顶角相等)
∴∠2=∠3( ）
∴____∥______（ ）
∴∠C=∠ABD( ）
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠D=∠ABD(等量代换)
∴AC∥DF( ）
45．（2019春·北京石景山·七年级统考期末）如图，平分，.
（1）求证：//；
（2）若，，求的度数（用含的代数式表示）.
1．D
【分析】根据平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、在同一平面内，过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；
B、在同一平面内，不相交的两条直线一定平行，故本选项错误，不符合题意；
C、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直已知直线，故本选项错误，不符合题意；
D、连接直线外一点与直线各点的线段中，垂线段最短，故本选项正确，符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线的公理，垂线的性质，垂线段最短，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
2．B
【分析】根据点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线进行判断即可．
【详解】A.平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直，原说法错误，不符合题意；
B.平面内，不相交的两条直线必平行，原说法正确，符合题意；
C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误，不符合题意；；
D.直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，原说法错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了点到直线的距离的定义、平行公理、平行线定义及垂线，熟练掌握知识点是解题的关键．
3．B
【分析】根据平行线的定义、平行公理及推论求解判断即可．
【详解】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故(1)错误，不符合题意；
若a//b，a//c，那么b//c，故(2)说法正确，符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(3)说法错误，不符合题意；
在同一平面内，两条不重合的直线，如果它们不相交，那么就平行，
故(4)说法正确，符合题意；
综上，(2)、(4)说法正确，
故选：B．
【点睛】此题考查了平行线的定义，熟记平行线的定义和公理是解题的关键．
4．C
【分析】根据平行公理及推论、平行线的判定与性质解答即可得解．
【详解】解：根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故A说法正确，不符合题意；
根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行，故B说法正确，不符合题意；
根据平行公理知，经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C说法错误，符合题意；
在同一平面内，若一条直线与两平行线中的一条相交，那么它也和另一条相交，故D说法正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行公理及推论、平行线的判定与性质，熟记平行公理及推论、平行线的判定与性质是解题的关键．
5．D
【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
【详解】解：A．当时，，故本选项错误，不符合题意；
B．在同一平面内，当时，，故本选项错误，不符合题意；
C．当时，，故本选项错误，不符合题意；
D．当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行公理和推论，平行线的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行判断是解此题的关键，此题比较好，但是比较容易出错．
6．B
【分析】（1）（5），根据同一平面内，两直线的位置关系只有相交和平行进行判断即可；
（2），根据平行线的定义进行判断即可；
（3）（4），根据平行线的公理以及公理的推论进行判断即可．
【详解】(1)应该是在同一平面内，两直线不相交就平行，故错误；
(2)在同一平面内，两条平行的直线没有交点，故错误；
(3)应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误；
(4)平行于同一直线的两条直线互相平行，是平行公理的推论，故正确；
(5)应为在同一平面内，两直线的位置关系只有相交与平行，故错误，
所以只有（4）一项正确，
故选：B．
【点睛】本题是一道有关两直线位置关系的题目，涉及同一平面内两直线的位置关系以及平行线的知识，掌握这些概念和定理是解题的关键．
7．A
【分析】根据平行线的判定定理同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析．
【详解】解：A、∵，∴，故选项A不能判定，符合题意；
B、∵，∴，故选项B能判定，不符合题意；
C、∵，∴，故选项C能判定，不符合题意；
D、∵，即，
∴，故选项D能判定，不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．
8．C
【分析】根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．依据平行线的判定方法进行判断即可．
【详解】解：A．若，则（同旁内角互补，两直线平行）；
B．若，则（内错角相等，两直线平行）；
C．若，则（同位角相等，两直线平行）；
D．，则（同位角相等，两直线平行）；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解决问题的关键．
9．C
【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行进行分析即可．
【详解】∵，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
故②不符合题意；
∵，，
∴，
∴，
故③符合题意；
∵，
∴，
∴，
故④符合题意；
综上：可以判断的有①③④；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行线的判定，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，无法判定直线，不符合题意；
B、，无法判定直线，不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴；符合题意；
D、，无法判定直线，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质．熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键．
11．D
【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．
【详解】解：A、由可根据内错角相等，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
B、由可根据同旁内角互补，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
C、由可根据内错角相等，两直线平行判断 ，不能判断，故此选项不符合题意；
D、由可根据内错角相等，两直线平行判断，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．
12．C
【分析】根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．
【详解】∵，∴，故①正确；
∵，∴，故②错误；
∵，∴，故③正确；
∵，∴，故④正确；
故选：C
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键．
13．B
【分析】利用平行线的判定方法逐一判断即可．
【详解】解：∵
∴
故①正确；
∵
∴
故②不正确；
∵
∴
故③正确；
∵平分∠
∴，
又∵
∴
∴
∴
故④正确；
故选B．
【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
14．B
【分析】直接利用平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行、内错角相等，两直线平行、同旁内角互补，两直线平行，分别分析得出答案．
【详解】解：A、（内错角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
B、不属于同位角、内错角或同旁内角，不能判断，符合题意；
C、（同位角相等，两直线平行），可以判断，不符合题意；
D、（同旁内角互补，两直线平行），可以判断，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题关键．
15．C
【分析】由同旁内角互补两直线平行即可判定出，变形后即可得到正确的选项．
【详解】解：当，即时，，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．
16．A
【分析】根据题意对各选项逐一画出图形，从而进行判断即可．
【详解】解：先根据要求画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知：A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是平行线与垂直的性质，根据题意画出符合题意的图形即可解决问题．
17．A
【分析】根据平行线的判定与性质定理一一判断即可．
【详解】解：若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若，，则，说法正确，
若与相交，与相交，则与相交也可能是平行，故说法错误，
正确的有，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．
18．A
【分析】根据平行线的推论依次判断即可．
【详解】解：A、a// b，b//c，则a//c，根据平行于同一直线的两条直线互相平行，选项正确，符合题意；
B、a⊥b，b⊥c，则a//c，根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，选项错误，不符合题意；
C、a//b，b⊥c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
D、a⊥b，b//c，则a⊥c，选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点睛】题目主要考查平行线的相关推论，理解平行线的相关推论是解题关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】根据题意过用直尺作图，分别P画垂直于射线OB的射线PC，垂足为点C；过点Q画直线平行于射线．
【详解】（1）如图，射线PQ为所求；
（2）如图，线段PC为所求；
（3）如图，直线QM为所求
【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握相关定义是解题关键．
20．见解析
【分析】由已知CE平分∠BCD可得∠1＝ ∠4，利用等式的性质得出∠1＝∠2＝∠4＝70°，根据直线判定定理得出AD∥BC，利用平角定义求出∠D＝180°－∠BCD即可．
【详解】证明：∵CE平分∠BCD（ 已知 ），
∴∠1＝ ∠4 （ 角平分线定义 ），
∵∠1＝∠2＝70°已知，
∴∠1＝∠2＝∠4＝70°（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D＝180°－∠BCD＝180°－∠1－∠4＝40°，
∵∠3＝40°已知，
∴ ∠D ＝∠3，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；∠4 ，角平分线定义 ；等量代换；内错角相等，两直线平行；∠BCD；∠D；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题考查平行线判定，角平分线定义，平角，掌握平行线判定方法，角平分线定义，平角是解题关键．
21．(1)30°
(2)∠BCD＋∠ACE＝180°；理由见解析
(3)当∠BCD＝120°或60°时，；理由见解析
【分析】（1）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（2）依据∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，即可得到∠BCD+∠ACE的度数；
（3）分两种情况讨论，依据平行线的判定，即可得到当∠BCD等于120°或60°时，．
【详解】（1）解：∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
∵∠BCD=150°，
∴∠ACE=180°-150°=30°．
（2）∠BCD+∠ACE=180°，理由如下：
∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+∠ACD，
∴∠BCD+∠ACE
=90°+∠ACD+∠ACE
=90°+90°
=180°
（3）当∠BCD＝120°或60°时，．
如图1所示，根据同旁内角互补，两直线平行，
当∠B＋∠BCD＝180°时，，
∴此时∠BCD＝180°－∠B＝180°－60°＝120°；
如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，
当∠BCD＝∠B＝60°时，．
综上所述，∠BCD=60°或120°.
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，并且能够准确识图，是解题的关键．
22．C
【分析】作出草图，根据垂直的定义得到是直角，根据两直线平行同位角相等，求出，然后判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行公理及推论，是基础题，比较简单．
23．B
【分析】根据两条直线平行的性质：两条直线平行，同位角相等．再根据题意得：两次拐的方向不相同，但角度相等．
【详解】解：如图，第一次拐的角是，第二次拐的角是，由于平行前进，可以得到．
因此，第一次与第二次拐的方向不相同，角度要相同，
故只有B选项符合，
故选B．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，注意要想两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则拐的方向应相反，角度应相等．
24．B
【分析】根据平行线的判定定理，即可一一判定．
【详解】解：由，不能判定，
故①不符合题意；
，，
，
，
故②符合题意；
由，，不能判定，
故③不符合题意；
，，
，
，
故④符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握和运用平行线的判定定理是解决本题的关键．
25．C
【分析】根据平行公理的推论可判断①；根据直线的位置关系可判断②；根据对顶角的定义可判断③；根据平行公理可判断④．
【详解】解：根据平行线公理及推论可知，①正确；
若a与c相交，b与c相交，则a与b可能相交或平行，②错误；
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，③错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误．
故正确的有1个，
故选：C．
【点睛】本题考查平行公理及其推论、两直线的位置关系质，对顶角的性质，熟练掌握图形的性质是解答本题的关键．
26．B
【分析】根据平行线的判定及性质及垂直的性质逐项进行分析即可解答．
【详解】解：A．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
B．根据垂直于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项错误，符合题意，
C．根据平行线的性质定理，即可推出a⊥c，本选项正确，不合题意．
D．根据平行于同一直线的两直线平行，即可推出a//c，本选项正确，不合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查平行公理的推论、平行线的判定定理与性质定理及垂直的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
27．D
【分析】过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，由题意可得，进而可得，然后问题可求解．
【详解】解：过点B作直线BD与第一次拐弯的道路平行，如图所示：
∵第三次拐的，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，
∴直线BD与第三次拐弯的道路也平行，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
28．C
【分析】根据平行线的判定定理分别进行判断即可．
【详解】解：当∠B+∠BCD=180°，ABCD，符合题意；
当∠1=∠2时，ADBC，不符合题意；
当∠3=∠4时，ABCD，符合题意；
当∠B=∠5时，ABCD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
29．C
【分析】在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此判断即可．
【详解】解：第一个图形，∵∠1=∠2，
∴AC∥BD；故不符合题意；
第二个图形，∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，故符合题意；
第三个图形，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AB∥CD；
第四个图形，∵∠1=∠2不能得到AB∥CD，
故不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行线判定的前提条件必须是三线八角．
30．见解析
【分析】首先根据角平分线的定义，再由和对顶角相等即可得出，从而得到答案．
【详解】证明：∵平分（已知）
∴（角平分线的定义）
∵（对顶角相等）
又∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为同旁内角互补，两直线平行．
31．CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【分析】先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【详解】证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行．
【点睛】本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
32．D
【分析】利用平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；逐项判断即可．
【详解】解：A、因为，所以（同位角相等，两直线平行），故A选项不符合题意．
B、因为，所以（同旁内角互补，两直线平行），故B选项不符合题意．
C、因为，所以（内错角相等，两直线平行），故C选项不符合题意．
D、因为，所以（同位角相等，两直线平行），不能得出，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
33．A
【分析】由已知可知∠DPF=∠BAF，从而得出同位角相等，两直线平行．
【详解】∵∠DPF=∠BAF，
∴AB∥PD（同位角相等，两直线平行）．
故选A．
【点睛】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键．
34．C
【分析】选项①∠DAC和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD和∠CDE属于同位角，选项③∠DAB和∠ABC属于同旁内角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
【详解】选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
选项②∵∠BAD=∠CDE∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
故选C．
【点睛】本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．
35．C
【分析】根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【详解】∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；
∴不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
【点睛】本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．
36．①②③⑤
【分析】根据平行线、线段、垂线的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【详解】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故①错误；
在同一平面内，两条不相交的线段可能是平行线段，也可能不是平行线段，故②错误；
在同一平面内，两条直线没有交点，则这两条直线平行，故③错误；
在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，故④正确；
过点A作直线l的垂线，垂足为B，则线段AB的长是点A到直线l的距离，故⑤错误；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查了平行线、直线、线段、垂线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、直线、线段的性质，从而完成求解．
37．
【分析】两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
【详解】解：∵∠1＋∠3＝180°，
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平）．
故答案为∠1＋∠3＝180°．
【点睛】本题主要考查了平行的判定，两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
38．①③④
【分析】根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．
【详解】① ∵，
∴∥（同旁内角互补，两直线平行），正确；
② ∵，
∴∥，错误；
③ ∵，
∴∥（内错角相等，两直线平行），正确；
④ ∵，
∴∥（同位角相等，两直线平行），正确；
⑤ 不能证明∥，错误，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
39．2或14或50或110
【分析】设t秒后木棒a，b平行，分四种情况讨论：当秒时，当时，当时，当时，即可求解．
【详解】解：设t秒后木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，
解得：t=2；
当时，，
解得：t=14；
当时，木棒a停止运动，
当时，，
解得：t=-10；（不合题意，舍去）
当时，或，
解得：t=50或t=110；
综上所述，2或14或50或110秒后木棒a，b平行．
故答案为：2或14或50或110
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，明确题意，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
40．①⑤
【分析】根据平行线的判定解答即可．
【详解】解：①∵25.5°+∠ABC=55.5°=∠2=55°30'，所以，m∥n；
②没有指明∠1的度数，当∠1≠30°，∠2≠∠1+30°，不能判断直线m∥n，故∠2=2∠1，不能判断直线m∥n；
③∠1+∠2=90°，不能判断直线m∥n；
④∠ACB=∠1+∠2，不能判断直线m∥n；
⑤∠ABC=∠2-∠1，判断直线m∥n；
故答案为：①⑤．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
41．③④
【分析】根据平行线的判定与性质，平行公理及推论进行逐一判断即可．
【详解】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故①错误；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误；
若b∥c，a∥c，则b∥a，故③正确；
若∠1=40°，∠2的两边与∠1的两边分别平行，则∠2=40°或140°，故④正确；
若在同一平面内，b⊥c，a⊥c，则b∥a，故⑤错误．
所以其中正确的是③④．
故答案为：③④．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
42．证明见详解.
【分析】由可得,而与互余，所以，所以
，而，所以，所以根据内错角相等两直线平行即可求解；
【详解】
与互余
【点睛】本题主要考查垂直的定义，余角以及平行线的判定，熟练掌握相关定义并准确的进行逻辑推理是求解本题的关键.
43．（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）依据CD⊥AB于D，EF⊥AB于F，可得∠BDC=∠EFB=90°，进而得到EF∥CD；
（2）依据EF平分∠AED，可得∠AEF=∠DEF，再根据平行线的性质，即可得到∠AEF=∠ACD，∠DEF=∠CDE=∠BCD，即可得出∠ACD=∠BCD，可得CD平分∠ACB．
【详解】解：（1）证明：∵
∴
∵
∴
∵
∴
（2）证明：∵平分
∴
∵（由（1）可知）
∴，
∵
∴
则
∴平分
【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是运用等量代换进行推导．
44．等量代换，DB，EC，同位角相等，两直线平行，两直线平行，同位角相等，内错角相等，两直线平行．
【分析】先证明BD∥CE，然后根据平行线的性质，以及已知条件证明∠D=∠ABD，根据同位角相等，两直线平行即可证得．
【详解】∵∠1=∠2，（已知）
∠1=∠3（对顶角相等）
∴∠2=∠3，（等量代换）
∴DB∥EC，（ 同位角相等，两直线平行）
∴∠C=∠ABD，（ 两直线平行，同位角相等）
又∵∠C=∠D，（已知）
∴∠D=∠ABD，（ 等量代换）
∴AC∥DF．（ 内错角相等，两直线平行）
【点睛】解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．
45．（1）见解析；（2）
【分析】（1）利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）根据平行线的性质求出∠ABC的度数，再根据角平分线的性质得到∠3的度数，再由平行线的性质可求出结果.
【详解】（1）证明：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∴∥．
（2） ∵∥且，
∴．
∴．
同理可证：．
∵，
∴．
∴
=
=．
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