还剩38页未读，
继续阅读
北师大版七年级下册3 平行线的性质当堂检测题
展开
这是一份北师大版七年级下册3 平行线的性质当堂检测题，共41页。
考点一：平行线的性质
1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.
2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.
3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
题型一：平行线的性质
1．（2023春·湖南株洲·七年级统考）如图，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·七年级）如图，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：根据平行线性质探究角的关系
4．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，．是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
题型三：根据平行线性质求角的大小
7．（2023春·江苏·七年级）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
8．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，．平分，交于点，交于点，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
题型四：平行线性质在生活应用问题
10．（2023春·浙江·七年级专题）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
11．（2021春·山东临沂·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在原来的反方向上平行行驶，那么汽车两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐60°，第二次左拐120°B．第一次左拐70°，第二次右拐70°
C．第一次左拐65°，第二次左拐115°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
12．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A．B．C．D．
题型五：平行线的判定和性质的综合问题
13．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
14．（2023春·七年级）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
15．（2022春·重庆江津·七年级校联考期中）已知：如图1，直线AB//CD，分别交，于，两点，，的平分线相交于点．
(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请直接写出的度数．
一、单选题
16．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5
17．（2022春·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
18．（2022春·山东临沂·七年级统考期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
19．（2023春·七年级课时练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°B．15°C．18°D．30°
20．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
21．（2022春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132°B．134°C．136°D．138°
22．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
23．（2021春·河南安阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线a，b被c，d所截，且，则下列结论中正确的是( )
A．B．C．D．
24．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A．B．C．D．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
26．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3，
(1)证明；AB∥CD
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
一、单选题
27．（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1
29．（2022春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
30．（2021春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°
31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
32．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26ºB．32ºC．36ºD．42º
33．（2022春·江西九江·七年级统考期中）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）°
A．B．C．D．
二、填空题
34．（2021春·北京·七年级期中）如图，已知ABCD，，，则____．
35．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
36．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
37．（2023·全国·七年级专题练习）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
38．（2022春·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线交于点，则_____．
39．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，若，则____________．
40．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．
三、解答题
41．（2023春·七年级课时练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
42．（2023春·全国·七年级专题练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系．
43．（2022秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
44．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
1．B
【分析】先根据对顶角的性质求出的度数，再由平行线的定义即可得出结论，
【详解】解：∵与是对顶角，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角和平行线的性质：两直线平行，同位角相等．灵活运用平行线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】如图，过点作直线，根据平行线的性质得到．
【详解】解：如图，过点作直线，则．
又，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质．关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点．
3．D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
4．D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过作，则由ABCD，可得
∴，，
∴．
如图2，同理可得．故①有可能，
如图3，同理可得．故②有可能，
其中：当时，，故③有可能，
如图4，同理可得．故④有可能，
如图5，同理可得．
如图6，同理可得．
综上所述，①②③④均有可能．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
5．A
【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，，
①，，
，
平分，
，
代入①得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．C
【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EFAB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
7．C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作，则，
∴ ，
，
同理可得：，
，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】如图所示，过点F作，则，根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义得到，求出，则由平行线的性质得到．
【详解】解：如图所示，过点F作，则，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平分，内错角相等是解题的关键．
9．D
【分析】由，根据据两直线平行，内错角相等，可求出的度数，从而由可求得出的度数，再由，根据两直线平行，同旁内角互补，求得的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11．C
【分析】根据两直线平行，同位角相等对各选项进行判断．
【详解】解：A、第一次右拐60°，第二次右拐120°，所以A选项不符合；
B、第一次左拐70°，第二次左拐110°，所以B选项不符合；
C、第一次左拐65°，第二次左拐115°，所以C选项符合；
D、第一次右拐50°，第二次右拐130°，所以D选项不符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．B
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东方向到李村
∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
13．（1）见解析（2）35°
【分析】（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定.
14．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
15．(1)90°
(2)∠M1=∠M．证明见解析
(3)（）2021×90°
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
（2）结论：∠M1=∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
(1)
解：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°，
∴∠M=180°-90°=90°；
(2)
结论：∠M1=∠M．
理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．
∵AB∥CD，M1J∥AB，
∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°；
所以∠EM1F=∠M．
(3)
由（2）可知，∠M1=×90°，
同法可知，∠M2=∠M1=∠M，
•••，
∠Mn=（）n×90°，
当n=2021时，∠M2021=（）2021×90°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．A
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．
【详解】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B、∵AD与AB不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C、∵AD与CB不一定平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D、∵CD与CB不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．
17．C
【分析】由BE⊥AC可得出∠CBE与∠C互余；由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBE，进而可得出∠DBE与∠C互余；由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DEB＝∠CBE，结合∠CBE与∠C互余可得出∠DEB与∠C互余．此题得解．
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°
∴∠CBE+∠C＝90°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DBE+C＝90°；
∵，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DEB+∠C＝90°．
综上：与∠C互余的角有∠CBE，∠DBE，∠DEB．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角、角平分线的定义以及垂线，利用角平分线的定义及平行线的性质，找出与∠CBE相等的角是解题的关键．
18．C
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
19．B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
20．C
【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．
【详解】如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
21．B
【分析】过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
22．C
【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
23．B
【分析】根据平行线的性质进行判断即可得．
【详解】如图，∵a//b，
∴∠1=∠5，∠3=∠4，
∵∠2+∠5=180°，
∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，
由已知得不到，，
所以正确的只有B选项，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24．A
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：，
．
，
．
故选．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.
25．20°
【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【详解】∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB＋∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
26．(1)见解析
(2)∠3的度数为28°．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．
∴∠3=∠1=∠2=∠ABD=28°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
27．C
【分析】过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
28．D
【分析】先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
29．D
【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【详解】因为，所以∠2=∠1+30°，
所以∠2=30°+20°=50°，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
30．D
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】∵EFCD，
∴∠3=∠COE，
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE，
∵ABEF，
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
31．D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
32．A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
【详解】解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
33．C
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据即可求解
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
34．95°
【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
35．40°
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
36．∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
37．##85度
【分析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
38．90°
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
39．72°##72度
【分析】利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠EFG+∠EFC=180°，∠EFG=54°，
∴∠EFC=126°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴DE∥CF．
∴∠EFC+∠FED=180°．
∴∠FED=54°.
∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，
∴∠DEF=∠MEF=54°．
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，弄清线段的和差关系、掌握平角的定义及“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
40．∠2＋∠4＝∠1＋∠3
【分析】分别过点P1、P2作，，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相等，即可得到最后答案．
【详解】解：分别过点P1、P2作，，
∵，
∴，
∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，
即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的关系．
41．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE
∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=∠AED
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
42．（1）平行，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）结合题意，根据补角的性质，推导得，根据同位角相等两直线平行的性质分析，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质，得，根据角平分线的性质，推导得；根据平行线的性质，推导得，即可得到答案；
（3）过点作，根据平行线的性质，得，，；设，，根据角平分线的性质，得，，从而推导得，即可得到答案．
【详解】（1），
（2）
，平分，
，
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）过点作
，，
设，
，分别平分，
，
∵
∴
∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
43．(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，
∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；
(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，
∵∠1+∠2=325°，
∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
44．（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－∠EPF
【分析】（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD
∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC
又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB∥QP∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°
（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF中，∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150°
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=∠QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ==180°－
∴在四边形PEQF中：
∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－－(180°－)=180°－
考点一：平行线的性质
1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单地说:两直线平行，同位角相等.
2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简单地说:两直线平行，内错角相等.
3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简单地说:两直线平行，同旁内角互补.
注意：是先有两直线平行，才有以上的性质，前提是“线平行”。
一个结论：平行线间的距离处处相等。
题型一：平行线的性质
1．（2023春·湖南株洲·七年级统考）如图，已知，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·七年级）如图，已知，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，，则下列各式中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：根据平行线性质探究角的关系
4．（2022春·福建龙岩·七年级校考阶段练习）如图，已知直线，被直线所截，．是平面内任意一点（点不在直线，，上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
5．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，平面内直线，点，，分别在直线，，上，平分，并且满足，则，，关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，若AB∥CD，则α、β、γ之间的关系为（ ）
A．α+β+γ=360°B．α﹣β+γ=180°C．α+β﹣γ=180°D．α+β+γ=180°
题型三：根据平行线性质求角的大小
7．（2023春·江苏·七年级）已知， ， ，若，则为（ ）
A．23°B．33°C．44°D．46°
8．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，．平分，交于点，交于点，且，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．（2022春·四川巴中·七年级统考期中）如图，已知，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
题型四：平行线性质在生活应用问题
10．（2023春·浙江·七年级专题）如图，木条a、b、c通过B、E两处螺丝固定在一起，且，，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述正确的是（ ）
A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转
11．（2021春·山东临沂·七年级统考期中）一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，在原来的反方向上平行行驶，那么汽车两次拐弯的角度是（ ）
A．第一次右拐60°，第二次左拐120°B．第一次左拐70°，第二次右拐70°
C．第一次左拐65°，第二次左拐115°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°
12．（2022春·江苏连云港·七年级校考阶段练习）如图，修建一条公路，从王村沿北偏东方向到李村，从李村沿北偏西方向到张村，从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，则张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为（ ）．
A．B．C．D．
题型五：平行线的判定和性质的综合问题
13．（2022春·广东深圳·七年级校考期中）如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．
（1）求证：DC∥EF；
（2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数．
14．（2023春·七年级）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，则∠F＝ ；
(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；
(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．
15．（2022春·重庆江津·七年级校联考期中）已知：如图1，直线AB//CD，分别交，于，两点，，的平分线相交于点．
(1)求的度数；
(2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由；
(3)在图2中作，的平分线相交于点，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，请直接写出的度数．
一、单选题
16．（2022春·广西钦州·七年级统考期末）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（ ）
A．∠1＝∠2B．∠2＝∠3C．∠3＝∠4D．∠1＝∠5
17．（2022春·云南曲靖·七年级校考期末）如图，平分，BE⊥AC，，图中与∠C互余的角有（ ）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
18．（2022春·山东临沂·七年级统考期中）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）
A．95°B．100°C．105°D．110°
19．（2023春·七年级课时练习）一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB//CF，∠F=∠ACB=90°，则∠DBC的度数为( )
A．10°B．15°C．18°D．30°
20．（2022春·江西赣州·七年级校考期中）如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A．14°B．15°C．16°D．17°
21．（2022春·四川凉山·七年级统考期末）如图，直线AB∥CD，∠C＝44°，∠E为直角，则∠1等于（ ）
A．132°B．134°C．136°D．138°
22．（2023春·七年级单元测试）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）
A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠E
C．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°
23．（2021春·河南安阳·七年级校联考阶段练习）如图，直线a，b被c，d所截，且，则下列结论中正确的是( )
A．B．C．D．
24．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）将一副三角板（）按如图所示方式摆放，使得，则等于（ ）
A．B．C．D．
25．（2023春·七年级单元测试）如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
26．（2022春·广西南宁·七年级南宁三中校考期中）如图，已知BC平分∠ABD交AD于点E，∠1=∠3，
(1)证明；AB∥CD
(2)若AD⊥BD于点D，∠CDA=34°，求∠3的度数．
一、单选题
27．（2022春·福建三明·七年级统考期中）如图，a//b，∠1＝80°，∠2＝155°，则∠3的度数是（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
28．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，若AB∥CD，CD∥EF，那么∠BCE＝( )
A．∠1＋∠2B．∠2－∠1
C．180°－∠1＋∠2D．180°－∠2＋∠1
29．（2022春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（ ）
A．20°B．30°C．45°D．50°
30．（2021春·浙江台州·七年级临海市学海中学校考期中）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，下列各式正确的是（ ）
A．∠1+∠2−∠3=90°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=90°D．∠2+∠3−∠1=180°
31．（2023春·七年级课时练习）如图，已知直线、被直线所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线、、上），设，．下列各式：①，②，③，④，的度数可能是（ ）
A．②③B．①④C．①③④D．①②③④
32．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，直线，点在上，点、点在上，的角平分线交于点，过点作于点，已知，则的度数为（ ）
A．26ºB．32ºC．36ºD．42º
33．（2022春·江西九江·七年级统考期中）生活中常见的探照灯、汽车大灯等灯具都与抛物线有关．如图，从光源P点照射到抛物线上的光线等反射以后沿着与直线平行的方向射出，若，，则的度数为（ ）°
A．B．C．D．
二、填空题
34．（2021春·北京·七年级期中）如图，已知ABCD，，，则____．
35．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1＝50°，则∠2的度数是_____．
36．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，如果AB∥EF，EF∥CD，则∠1，∠2，∠3的关系式__________．
37．（2023·全国·七年级专题练习）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是_____．
38．（2022春·河北秦皇岛·七年级统考期末）如图，，的平分线与的平分线交于点，则_____．
39．（2023春·浙江·七年级专题练习）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，点D，C分别折叠到点M，N的位置上，若，则____________．
40．（2022春·上海·七年级期中）如图，已知m∥n，若过点P1，P2作直线m的平行线，则∠1、∠2、∠3、∠4间的数量关系是_____．
三、解答题
41．（2023春·七年级课时练习）如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．
(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；
(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．
42．（2023春·全国·七年级专题练习）如图（1），直线与直线，分别交于点，，与互补．
（1）试判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
（2）如图（2），与的角平分线交于点，延长线与交于点，点是上一点，且，试判断直线与的位置关系，并说明理由；
（3）如图（3），点为，之间一点，，分别平分和，求与之间的数量关系．
43．（2022秋·福建泉州·七年级晋江市季延中学校考期末）如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．
(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．
(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．
44．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，AB∥CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，平行线AB，CD之间有一动点P．
（1）如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ，如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为 ．
（2）如图3，当∠EPF＝90°，FP平分∠EFC时，求证：EP平分∠AEF；
（3）如图4，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．
①若∠EPF＝60°，则∠EQF＝ ．
②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；
1．B
【分析】先根据对顶角的性质求出的度数，再由平行线的定义即可得出结论，
【详解】解：∵与是对顶角，，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查对顶角和平行线的性质：两直线平行，同位角相等．灵活运用平行线的性质是解题的关键．
2．C
【分析】如图，过点作直线，根据平行线的性质得到．
【详解】解：如图，过点作直线，则．
又，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质．关键是熟悉两直线平行，内错角相等的知识点．
3．D
【分析】根据平行线的性质（两直线平行，内错角相等、两直线平行，同旁内角互补）即可得到结论．
【详解】∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟记性质是解题关键．
4．D
【分析】根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质进行计算求解即可．
【详解】解：如图1，过作，则由ABCD，可得
∴，，
∴．
如图2，同理可得．故①有可能，
如图3，同理可得．故②有可能，
其中：当时，，故③有可能，
如图4，同理可得．故④有可能，
如图5，同理可得．
如图6，同理可得．
综上所述，①②③④均有可能．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．
5．A
【分析】先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的定义可得，代入即可得出答案．
【详解】解：如图，，
①，，
，
平分，
，
代入①得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
6．C
【分析】过E作EFABCD，由平行线的质可得∠α+∠AEF=180°，∠ECD=∠γ，由∠β=∠AEF+∠FED即可得∠α、∠β、∠γ之间的关系．
【详解】解：过点E作EFAB，
∴∠α+∠AEF=180°，
∵ABCD，
∴EFCD，
∴∠FEC=∠ECD，
∵∠β=∠AEF+∠FED，又∠γ=∠ECD，
∴∠α+∠β-∠γ=180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题意正确作出辅助线是解题的关键．
7．C
【分析】如图（见解析），先根据平行线的性质、角的和差可得 ，同样的方法可得，再根据角的倍分可得 ，由此即可得出答案．
【详解】如图，过点E作，则，
∴ ，
，
同理可得：，
，
∴，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
8．B
【分析】如图所示，过点F作，则，根据平行线的性质得到，进而根据角平分线的定义得到，求出，则由平行线的性质得到．
【详解】解：如图所示，过点F作，则，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟知两直线平分，内错角相等是解题的关键．
9．D
【分析】由，根据据两直线平行，内错角相等，可求出的度数，从而由可求得出的度数，再由，根据两直线平行，同旁内角互补，求得的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
10．C
【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．
【详解】解：A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转23°，
∴∠ABE=40°+23°=63°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故A不符合题意；
B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转103°，
∴∠CBE=180°-（103°-40°）=117°≠∠DEM，
∴AC与DF不平行，
故B不符合题意；
C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转37°，
∴∠DEM=77°-37°=40°=∠ABE，
∴AC//DF，
故C符合题意；
D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转158°，
∴∠DEM=360°-77°-158°=125°≠∠CBE，
∴AC与DF不平行，
故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
11．C
【分析】根据两直线平行，同位角相等对各选项进行判断．
【详解】解：A、第一次右拐60°，第二次右拐120°，所以A选项不符合；
B、第一次左拐70°，第二次左拐110°，所以B选项不符合；
C、第一次左拐65°，第二次左拐115°，所以C选项符合；
D、第一次右拐50°，第二次右拐130°，所以D选项不符合．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
12．B
【分析】根据平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，即可完成求解．
【详解】
∵王村沿北偏东方向到李村
∴
∵从张村到杜村的公路平行从王村到李村的公路，且从李村沿北偏西方向到张村
∴
∴张杜两村公路与李张两村公路方向夹角的度数为
故选：B．
【点睛】本题考查了方位角、平行线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线同位角相等和同旁内角互补的性质，从而完成求解．
13．（1）见解析（2）35°
【分析】（1）由知∠1=∠DCF，则∠2=∠DCF，即可证明；
（2）由得∠B=90°-∠2=35°，再根据（1）可知的度数.
【详解】∵
∴∠1=∠DCF，
∵
∴∠2=∠DCF，
∴；
（2）∵，∴∠BEF=90°，
∴∠B=90°-∠2=35°，
又∵
∴=∠B=35°.
【点睛】此题主要考查平行线的性质与判定.
14．(1)
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）如图1，分别过点，作，，根据平行线的性质得到，，，代入数据即可得到结论；
（2）如图1，根据平行线的性质得到，，由，，得到，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（3）如图2，过点作，设，则，根据角平分线的定义得到，，根据平行线的性质得到，，于是得到结论．
【详解】（1）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
；
故答案为：；
（2）解：如图1，分别过点，作，，
，
，，
又，，
，
，
又，
，
，，
，
；
（3）解：如图2，过点作，
由（2）知，，
设，则，
平分，平分，
，，
，
，，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
15．(1)90°
(2)∠M1=∠M．证明见解析
(3)（）2021×90°
【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可；
（2）结论：∠M1=∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题；
（3）探究规律，利用规律解决问题即可．
(1)
解：如图1中，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M，
∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE，
∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°，
∴∠M=180°-90°=90°；
(2)
结论：∠M1=∠M．
理由：如图2中，过点M1作M1J∥AB．
∵AB∥CD，M1J∥AB，
∴M1J∥CD，
∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1，
∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM，
∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1
∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°；
所以∠EM1F=∠M．
(3)
由（2）可知，∠M1=×90°，
同法可知，∠M2=∠M1=∠M，
•••，
∠Mn=（）n×90°，
当n=2021时，∠M2021=（）2021×90°．
【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
16．A
【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断．
【详解】解：A、∵∠1与∠2是对顶角，
∴∠1＝∠2，本选项说法正确；
B、∵AD与AB不平行，
∴∠2≠∠3，本选项说法错误；
C、∵AD与CB不一定平行，
∴∠3≠∠4，本选项说法错误；
D、∵CD与CB不平行，
∴∠1≠∠5，本选项说法错误；
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键．
17．C
【分析】由BE⊥AC可得出∠CBE与∠C互余；由角平分线的定义可得出∠DBE＝∠CBE，进而可得出∠DBE与∠C互余；由，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠DEB＝∠CBE，结合∠CBE与∠C互余可得出∠DEB与∠C互余．此题得解．
【详解】解：∵BE⊥AC，
∴∠BEC＝90°
∴∠CBE+∠C＝90°；
∵BE平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠CBE，
∴∠DBE+C＝90°；
∵，
∴∠DEB＝∠CBE，
∴∠DEB+∠C＝90°．
综上：与∠C互余的角有∠CBE，∠DBE，∠DEB．
故答案选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质、余角和补角、角平分线的定义以及垂线，利用角平分线的定义及平行线的性质，找出与∠CBE相等的角是解题的关键．
18．C
【分析】根据平角的定义和平行线的性质即可得到答案．
【详解】如图：
∵∠2＝180°﹣30°﹣45°＝105°，
∵AB∥CD，
∴∠1＝∠2＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
19．B
【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，
∵AB∥CF，
∴∠ABD=∠EDF=45°，
∴∠DBC=45°﹣30°=15°．
故选：B．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
20．C
【分析】依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=16°．
【详解】如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
【点睛】考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
21．B
【分析】过E作EF∥AB，得出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可得出答案．
【详解】解：过E作EF∥AB，如下图：
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°﹣44°=46°，
∴∠1=180°﹣∠BAE=180°﹣46°=134°，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．
22．C
【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，根据AB∥EF可得CG∥DH，根据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而根据角的和差关系即可得答案．
【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，
∵AB∥EF，
∴CG∥DH，
∴∠CDH＝∠DCG，
∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），
∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；熟练掌握平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
23．B
【分析】根据平行线的性质进行判断即可得．
【详解】如图，∵a//b，
∴∠1=∠5，∠3=∠4，
∵∠2+∠5=180°，
∴无法得到∠2=∠5，即得不到∠1=∠2，
由已知得不到，，
所以正确的只有B选项，
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
24．A
【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：，
．
，
．
故选．
【点睛】本题考查平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质和三角形外角的性质.
25．20°
【分析】推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．
【详解】∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB＋∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB−∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，平行公理及推论，注意：平行线的性质有①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．
26．(1)见解析
(2)∠3的度数为28°．
【分析】（1）由角平分线的定义得到∠1=∠2，即得∠2=∠3，即可判定AB∥CD；
（2）由垂直的定义得出∠ADB=90°，可得∠CDB=∠CDA+∠ADB=124°，由平行线的性质得出∠ABD=56°，根据角平分线的定义即可得解．
【详解】（1）证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AD⊥BD，
∴∠ADB=90°，
∵∠CDA=34°，
∴∠CDB=∠CDA+∠ADB=34°+90°=124°，
∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠CDB=180°，
∴∠ABD=180°-124°=56°，
∵BC平分∠ABD，∠1=∠3．
∴∠3=∠1=∠2=∠ABD=28°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟记“内错角相等，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．
27．C
【分析】过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：过作，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
28．D
【分析】先根据AB∥CD得出∠BCD=∠1，再由CD∥EF得出∠DCE=180°-∠2，再把两式相加即可得出结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠1，
∵CD∥EF，
∴∠DCE=180°-∠2，
∴∠BCE=∠BCD+∠DCE=180°-∠2+∠1．
故选D．
【点睛】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等，同旁内角互补．
29．D
【分析】根据两直线平行，内错角相等计算即可．
【详解】因为，所以∠2=∠1+30°，
所以∠2=30°+20°=50°，
故选D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
30．D
【分析】根据平行线的性质，即可得到∠3=∠COE，∠2+∠BOE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】∵EFCD，
∴∠3=∠COE，
∴∠3−∠1=∠COE−∠1=∠BOE，
∵ABEF，
∴∠2+∠BOE=180°，即∠2+∠3−∠1=180°．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
31．D
【分析】由题意根据点E有6种可能位置，分情况进行讨论，依据平行线的性质以及三角形外角性质进行计算求解即可．
【详解】解：（1）如图1，由AB∥CD，可得∠AOC=∠DCE1=β，
∵∠AOC=∠BAE1+∠AE1C，
∴∠AE1C=β-α．
（2）如图2，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1=∠BAE2=α，∠2=∠DCE2=β，
∴∠AE2C=α+β．
（3）如图3，由AB∥CD，可得∠BOE3=∠DCE3=β，
∵∠BAE3=∠BOE3+∠AE3C，
∴∠AE3C=α-β．
（4）如图4，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4=360°，
∴∠AE4C=360°-α-β．
（5）（6）当点E在CD的下方时，同理可得∠AEC=α-β或β-α．
综上所述，∠AEC的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．
故选：D．
【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．
32．A
【分析】依据∠OGD=148°，可得∠EGO=32°，根据AB∥CD，可得∠EGO =∠GOF，根据GO平分∠EOF，可得∠GOE =∠GOF，等量代换可得：∠EGO=∠GOE=∠GOF=32°，根据，可得：=90°-32°-32°=26°
【详解】解：∵ ∠OGD=148°,
∴∠EGO=32°
∵AB∥CD，
∴∠EGO =∠GOF,
∵的角平分线交于点,
∴∠GOE =∠GOF,
∵∠EGO=32°
∠EGO =∠GOF
∠GOE =∠GOF,
∴∠GOE=∠GOF=32°,
∵,
∴=90°-32°-32°=26°
故选A.
【点睛】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义的综合运用，易构造等腰三角形，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
33．C
【分析】根据平行线的性质可得，进而根据即可求解
【详解】解：
故选C
【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
34．95°
【分析】过点E作EF∥AB，可得∠BEF+∠ABE=180°，从而得到∠BEF=60°，再由AB//CD，可得∠FEC=∠DCE，从而得到∠FEC=35°，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，
∵EF//AB，
∴∠BEF+∠ABE=180°，
∵∠ABE=120°，
∴∠BEF=180°-∠ABE=180°-120°=60°，
∵EF//AB，AB//CD，
∴EF//CD，
∴∠FEC=∠DCE，
∵∠DCE=35°，
∴∠FEC=35°，
∴∠BEC=∠BEF+∠FEC=60°+35°=95°．
故答案为：95°
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键．
35．40°
【分析】由EF⊥BD，∠1=50°，结合三角形内角和为180°，即可求出∠D的度数，再由“两直线平行，同位角相等”即可得出结论．
【详解】解：在△DEF中，∠1=50°，∠DEF=90°，
∴∠D=180°-∠DEF-∠1=40°．
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40°．
故答案为40°．
【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形内角和为180°，解题关键是求出∠D=40°．解决该题型题目时，根据平行线的性质，找出相等或互补的角是解题技巧．
36．∠2+∠3﹣∠1=180°
【分析】根据平行线的性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵AB∥EF，EF∥CD，
∴∠2+∠BOE=180°，∠3+∠COF=180°，
∴∠2+∠3+∠BOE+∠COF=360°，
∵∠BOE+∠COF+∠1=180°，
∴∠BOE+∠COF=180°﹣∠1，
∴∠2+∠3+（180°﹣∠1）=360°，
即∠2+∠3﹣∠1=180°．
故答案为：∠2+∠3﹣∠1=180°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平角定义，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．
37．##85度
【分析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：岛在A岛的北偏东方向，
，
岛在岛的北偏西方向，
，
过作交于，如图所示：
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
38．90°
【分析】根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，同旁内角互补．
39．72°##72度
【分析】利用平角的定义先求出∠EFC，再利用平行线的性质求出∠FED，最后利用折叠的性质和平角的定义求出∠1的度数．
【详解】解：∵∠EFG+∠EFC=180°，∠EFG=54°，
∴∠EFC=126°．
∵四边形ABCD是长方形，
∴DE∥CF．
∴∠EFC+∠FED=180°．
∴∠FED=54°.
∵四边形EFNM是由四边形EFCD折叠而成，
∴∠DEF=∠MEF=54°．
∵∠1+∠DEF+∠MEF=180°，
∴∠1=72°．
故答案为：72°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，弄清线段的和差关系、掌握平角的定义及“两直线平行，同旁内角互补”是解决本题的关键．
40．∠2＋∠4＝∠1＋∠3
【分析】分别过点P1、P2作，，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到相应的角相等，即可得到最后答案．
【详解】解：分别过点P1、P2作，，
∵，
∴，
∴∠1＝∠AP1C，CP1P2＝∠P1P2D，∠DP2B＝∠4，
∴∠1＋∠P1P2D＋∠DP2B＝∠AP1C＋∠CP1P2＋∠4，
即∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
故答案为：∠2＋∠4＝∠1＋∠3．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，即两直线平行，内错角相等，解决本题的关键是通过平行，找到相应的角的关系．
41．(1)；
(2)；
(3)
【分析】（1）作EF∥AB，如图1，则EF∥CD，利用平行线的性质得∠1=∠EAE，∠2=∠CDE，从而得到∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD=∠BAE，∠CDF=∠CDE，则∠AFD=（∠BAE+∠CDE），加上（1）的结论得到∠AFD=∠AED；
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG，利用折叠性质得∠CDG=4∠CDF，再利用等量代换得到∠AGD=2∠AED-∠BAE，加上90°-∠AGD=180°-2∠AED，从而计算出∠BAE的度数．
【详解】（1）∠BAE+∠CDE=∠AED
理由如下：
作EF∥AB，如图1
∵AB∥CD
∴EF∥CD
∴∠1=∠BAE，∠2=∠CDE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED
（2）如图2，由（1）的结论得
∠AFD=∠BAF+∠CDF
∵∠BAE、∠CDE的两条平分线交于点F
∴∠BAF=∠BAE，∠CDF=∠CDE
∴∠AFE=（∠BAE+∠CDE）
∵∠BAE+∠CDE=∠AED
∴∠AFD=∠AED
（3）由（1）的结论得∠AGD=∠BAF+∠CDG
而射线DC沿DE翻折交AF于点G
∴∠CDG=4∠CDF
∴∠AGD=∠BAF+4∠CDF=∠BAE+2∠CDE=∠BAE+2（∠AED-∠BAE）=2∠AED-∠BAE
∵90°-∠AGD=180°-2∠AED
∴90°-2∠AED+∠BAE=180°-2∠AED
∴∠BAE=60°
【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
42．（1）平行，理由见解析；（2），理由见解析；（3）
【分析】（1）结合题意，根据补角的性质，推导得，根据同位角相等两直线平行的性质分析，即可得到答案；
（2）根据平行线的性质，得，根据角平分线的性质，推导得；根据平行线的性质，推导得，即可得到答案；
（3）过点作，根据平行线的性质，得，，；设，，根据角平分线的性质，得，，从而推导得，即可得到答案．
【详解】（1），
（2）
，平分，
，
∴
∴
∵
∴
∴；
（3）过点作
，，
设，
，分别平分，
，
∵
∴
∵
∴
∴
．
【点睛】本题考查了平行线、角平分线的知识；解题的关键是熟练掌握平行线、角平分线的性质，从而完成求解．
43．(1)70°；
(2)∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由见解析；
(3)∠PGF的度数为140°．
【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；
（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．
(1)
解：过点P作PQ∥AB，
∴∠1+∠EPQ=180°，
∵∠1=135°，
∴∠EPQ=180°-∠1=45°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠2+∠FPQ=180°，
∵∠2=155°，
∴∠FPQ=180°-∠2=25°，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；
故答案为：70°；
(2)
解：∠EPF+(∠1+∠2) =360°，理由如下：
过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，
即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；
即∠EPF+(∠1+∠2) =360°；
(3)
解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥GH∥CD，
∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，
∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，
∵∠EPG=75°，
∴∠3+∠4=75°，
∵∠1+∠2=325°，
∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)= 540°-325°-75°=140°．
∴∠PGF的度数为140°．
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
44．（1）∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）见解析；（3）①150°，∠EQF=180°－∠EPF
【分析】（1）如下图，过点P作AB的平行线，根据平行线的性质可推导出角度关系；
（2）如下图，根据（1）的结论，可得∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°，利用△EPF内角和为180°可推导得出∠PEF+∠PFE=90°，从而得出∠PEF=∠AEP；
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=150°，最后在四边形EPFQ中得出结论；
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF°，再利用角平分线的性质得出∠PEQ+∠PFQ=180°－，最后在四边形EPFQ中得出结论．
【详解】（1）如下图，过点P作PQ∥AB
∵PQ∥AB，AB∥CD，∴PQ∥CD
∴∠AEP=∠EPQ，∠QPF=∠PFC
又∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF
∴∠EPF=∠AEP+∠PFC
如下图，过点P作PQ∥AB
同理，AB∥QP∥CD
∴∠AEP+∠QPE=180°，∠QPF+∠PFC=180°
∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=∠AEP+∠EPQ+∠QPF+∠PFC=360°
（2）根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=90°
∵PF是∠CFE的角平分线，∴∠PFC=∠PFE
在△PEF中，∵∠EPF=90°，∴∠PEF+∠PFE=90°
∴∠PEF+∠PFE=∠AEP+∠PFC
∴∠PEF=∠AEP，∴PE是∠AEF的角平分线
（3）①根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF=60°
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=300°
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ=150°
在四边形PEQF中，∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－60°－150°=150°
②根据（1）的结论知：∠AEP+∠PFC=∠EPF
∴∠BEP+∠PFD=180°－∠AEP+180°－∠PFC=360°－∠EPF
∵EQ、QF分别是∠PEB和∠PFD的角平分线
∴∠PEQ=∠QEB，∠PFQ=∠QFD
∴∠PEQ+∠PFQ==180°－
∴在四边形PEQF中：
∠EQF=360°－∠EPF－(∠PEQ+∠PFQ)=360°－－(180°－)=180°－
相关试卷
数学北师大版第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件课后练习题： 这是一份数学北师大版<a href="/sx/tb_c9974_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 相交线与平行线2 探索直线平行的条件课后练习题</a>，共32页。试卷主要包含了帖(线），靠(尺）a，画(线）等内容，欢迎下载使用。
初中数学北师大版七年级下册1 两条直线的位置关系精练： 这是一份初中数学北师大版七年级下册<a href="/sx/tb_c77849_t7/?tag_id=28" target="_blank">1 两条直线的位置关系精练</a>，共32页。试卷主要包含了相交线，垂线，同位角等内容，欢迎下载使用。
初中数学人教版七年级上册4.3.1 角同步训练题： 这是一份初中数学人教版七年级上册<a href="/sx/tb_c88483_t7/?tag_id=28" target="_blank">4.3.1 角同步训练题</a>，共40页。
