初中数学北师大版七年级下册4 用尺规作角同步练习题

这是一份初中数学北师大版七年级下册4 用尺规作角同步练习题，共26页。试卷主要包含了作一条线段等于已知线段等内容，欢迎下载使用。
尺规作图：在几里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。
尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。
即：1、作一条线段等于已知线段。2、作一个角等于已知角
如上如图所示，求作一个角等于已知角∠AOB．作法：
（1）作射线O’A’；
（2）以O为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以O’为圆心，以OC为半径作弧，交O′B′于点D′；
（4）以点D′为圆心，以CD为半径作弧，交前面的弧于点C′；
（5）过C′作射线O′A′．∠A′O′B′就是所求作的角．
题型一：用尺规作平行线
1．（2022春·陕西西安·七年级西安市曲江第一中学校考期中）作图
如图，已知及边上一点，在图中求作，使得与是内错角，且（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
2．（2023春·全国·七年级专题）（1）如图，利用尺规作图：过点B作BM∥AD．（要求：不写作法保留作图痕迹）
（2）若∠ADE＝130°，且∠ADE的两边与∠ABM的两边分别平行，则∠ABM＝ ．
3．（2015春·辽宁锦州·七年级统考期中）作图题.
如图，已知∠DAF，点B、C分别在AF、AD上根据要求，用尺规作图（保留作图痕迹，不写作法与证明）：
（1）在AD的右侧作∠DCP=∠DAF；
（2）在射线CP上取一点E，使CE=AB，连接BE．
（3）以点A、B、E、C为顶点的四边形的形状为 .
题型二：用尺规作角的和、差
4．（2020春·陕西宝鸡·七年级统考期中）如图，已知，．
求作：，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

5．（2022春·江西吉安·七年级统考期中）已知和，作一个角等于．（保留作图痕迹，不必写作法）
6．（2019春·山西晋中·七年级统考期中）如图，已知点M在射线ON上，∠α，∠β．从A、B两题中任选一题完成尺规作图：
A．求作∠POM，使得∠POM＝∠α+∠β
B．求作点P，使得∠POM＝∠α，∠PMO＝∠β
要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母．
题型三：用尺规作一个角等于已知角
7．（2022春·重庆·七年级重庆一中校考期中）作图题：按要求用尺规作图（不写作法，但要保留作图痕迹，并写出结论）
已知：，；
求作：，使．
8．（2023春·七年级）如图，已知和，请结合图中标注的角，利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹）
(1)在图①中作，使得；
(2)在图②中作，使得．
9．（2023春·七年级课时练习）作图题
已知：及．
(1)用三角板作图，过点作，垂足为点，此时线段________的长为点到线段
的距离．
(2)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）
在射线上，以点为顶点，线段为一边，在外作一个角，使它等于，则是的________，若，则________．
单选题
10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知∠AOB，用尺规作∠FCE，使∠FCE＝∠AOB，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点E为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，OD为半径的弧
C．以点E为圆心，DM为半径的弧
D．以点C为圆心，DM为半径的弧
11．（2023春·七年级课时练习）如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，作图痕迹是（ ）．
A．以点B为圆心，OD为半径的圆B．以点B为圆心，DC为半径的圆
C．以点E为圆心，OD为半径的圆D．以点E为圆心，DC为半径的圆
12．（2023春·全国·七年级专题练习）要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．然后( )
A．以点O′为圆心，任意长为半径画弧B．以点O′为圆心，OB长为半径画弧
C．以点O′为圆心，CD长为半径画弧D．以点O′为圆心，OD长为半径画弧
13．（2023春·七年级）如图，在中，，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，，的面积为24，则的长为___________．
14．（2023春·七年级课时练习）下列语句是有关几何作图的叙述．
①以O为圆心作弧；②延长射线AB到点C；③作∠AOB，使∠AOB=∠1；④作直线AB，使AB=a；⑤过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线．其中正确的有________
15．（2022秋·安徽合肥·七年级合肥寿春中学校考期末）已知∠1与线段a．用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹、不写作法）．
①作∠A=∠1； ②在∠A的两边分别作AN=a、AM=2a；③连接MN
16．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）已知：，∠AOB（如图）．
(1)求作：以OB为一边，作∠BOC=．（要求：仅用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，，则∠AOC的度数为 ．
17．（2022秋·河北石家庄·七年级石家庄外国语学校期末）（1）如图，已知∠AOB，用尺规在射线OB下边作出了∠BOC＝∠AOB，作图痕迹中，弧PQ是以点 为圆心，以线段DE的长为半径的弧；
（2）如图，在同一平面内有四个点A，B，C，D．按要求画图．
（Ⅰ）画射线AB，画直线AC；
（Ⅱ）画线段BD交直线AC于点M．
18．（2022春·江西抚州·七年级校联考期中）如图：点C是∠AOB的边OB上的一点，按下列要求画图并回答问题．
（1）过C点画OB的垂线，交OA于点D；
（2）过C点画OA的垂线，垂足为E；
（3）比较线段CE，OD，CD的大小（请直接写出结论）；
（4）请写出第（3）小题图中与∠AOB互余的角（不增添其它字母）．
一、单选题
19．（2023春·七年级课时练习）嘉淇在用直尺和圆规作一个角等于已知角的步骤如下：
已知：∠AOB
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
作法：（1）如图，以点O为圆心，m为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，n为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，p为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
下列说法正确的是（ ）
A．m＝p＞0B．n＝p＞0C．p＝n＞0D．m＝n＞0
20．（2022秋·河北邯郸·七年级统考期中）墨墨想在纸上作等于已知的，步骤有：①画射线；②以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；③以点为圆心，以CD为半径画弧，与已画的弧交于点，作射线；④以点为圆心，以OC为半径画弧，交于点．在上述的步骤中，作的正确顺序应为（ ）
A．①④②③B．②③④①C．①②④③D．①③④②
二、填空题
21．（2023春·七年级课时练习）已知，∠AOB ． 求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ． 作法：
①以________为圆心，________为半径画弧．分别交OA ， OB于点C ， D ．
②画一条射线O′A′，以________为圆心，________长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点________为圆心________长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点________画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB ．
22．（2023春·七年级课时练习）已知∠α和线段m，n，求作△ABC，使BC＝m，AB＝n，∠ABC＝∠α，作法的合理顺序为________．(填序号即可)
①在射线BD上截取线段BA＝n；②作一条线段BC＝m；③以B为顶点，以BC为一边，作∠DBC＝∠α；④连接AC，△ABC就是所求作的三角形．
23．（2023春·七年级课时练习）如图，在△ABC，∠C=90°，∠ABC=40°，按以下步骤作图：
①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧，分别交AB、AC于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧相交于点G；
③作射线AG，交BC边于点D，则∠ADC的度数为_____．
三、解答题
24．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，已知三角形和射线，用直尺和圆规按下列步骤作图（保留作图痕迹，不写作法）：
（1）在射线的上方，作；
（2）在射线上作线段，在射线上作线段，使得，；
（3）连接，观察并猜想：与的数量关系是______，填（“＞”、“＜”或“＝”）
25．（2022秋·安徽合肥·七年级统考期末）如图：
(1)已知∠α，∠AOB，在图2中，求作：以OB为边，在∠AOB内部作∠BOC＝∠α（要求：用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）．
(2)若∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，OD平分∠AOC．求∠BOD的度数．
26．（2022春·山西·七年级山西实验中学校考期中）如图，OD平分∠AOB，点P为OA上一点．
(1)尺规作图：以P为顶点，作∠APQ=∠AOB，交OD于点Q（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠AOB=60°，求∠DQP的度数．
27．（2022春·河南信阳·七年级统考期中）作图并回答问题：已知，如图，点P在∠AOB的边OA上．
(1)过点P作OA边的垂线l；
(2)过点P作OB边的垂线段PD；
(3)过点O作PD的平行线交l于点E，比较OP，PD，OE三条线段的大小，并用“＞”连接得 ，得此结论的依据是 ．
28．（2021春·山东青岛·七年级校考期中）尺规作图：已知，，求一个角∠AOB，使∠AOB=+．（保留作图痕迹）
29．（2022春·福建三明·七年级统考期末）如图，△ABC中，点D在BC边上．
(1)在AC边上求作点E，使得∠CDE＝∠ABC； （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若∠A＝65°，求∠AED的度数．
30．（2021秋·全国·七年级专题练习）（2019·山东青岛市·七年级期中）作图题：已知：∠α、∠β、 求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β
31．（2023春·全国·七年级专题练习）已知∠BAC，点D是AC边上一点，按要求画图，只保留作图痕迹，不写作图过程．
（1）用尺规作图在AC的右侧以点D为顶点作∠CDP=∠CAB；
（2）射线DP与AB的位置关系为 ，理由是 ；
（3）画出表示点D到AB 的距离的线段和表示点B到AC的距离的线段．
1．见解析
【分析】过点在直线的上方作即可．
【详解】解：如图所示，即为所求．
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，平行线的性质与判定，熟练掌握用尺规作相等的角的步骤是解题的关键．
2．（1）见解析；（2）50°或130°
【分析】（1）根据平行线的作图方法进行作图即可；
（2）分当BM与AD在AB的同侧和当BM与AD在AB的异侧，两种情况讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图，BM为所作；
以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别为AD，AB交点M，N，再以B为圆心，以AN的长为半径画弧交AB延长线于H，以H为圆心，以MN的长为半径画弧与以B为圆心，AN为半径的圆交于G，作射线BG，即为射线BM；
（2）直线BM交DE于C，
当BM与AD在AB的同侧，如图1，
∵AD∥BM，DC∥AB，
∴∠ABC+∠DCB＝180°，∠ADE+∠DCB=180°
∴∠ABC＝∠ADE＝130°，
即∠ABM＝130°；
当BM与AD在AB的异侧，如图2，
同理可得∠ABC＝∠ADE＝130°，
∴∠ABM＝180°﹣130°＝50°，
综上所述，∠ABM的度数为50°或130°．
故答案为：50°或130°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，尺规作图—作平行线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3．（1）见解析；（2）见解析；（3）一个平行四边形.
【详解】试题分析：（1）根据作一个角等于已知角的方法作∠DCP=∠DAF；
（2）利用圆规截取CE=AB，连接BE即可；
（3）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定即可.
试题解析：（1）如图；（2）如图；
（3）以点A、B、E、C为顶点的四边形的形状为平行四边形.
因为∠DCP=∠DAF，所以CP∥AB，又CE=AB，所以四边形ABEC是平行四边形.
考点：复杂作图；平行四边形的判定.
4．图见解析
【分析】作∠AOC=，然后在∠AOC内部作∠BOC=，即可得到．
【详解】解：作∠AOC=，然后在∠AOC内部作∠BOC=，即可得到，如下图所示，∠AOB即为所求．
【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键．
5．见解析
【分析】先作，再作，则即为所求．
【详解】如图所示，，，则即为所求．
作法：①作射线，
②以任意长度为半径，的顶点为圆心作弧，的定点为圆心作弧，以同样长度为半径，以为圆心，作弧，交射线于点，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，过点，作射线，则，
③以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
④以的长为半径，为圆心，作弧交弧于点，
⑤过点作射线，则
【点睛】本题考查了作一个角等于已知角，角度的计算，掌握基本作图是解题的关键．
6．A：见解析；B：见解析.
【分析】A：如图作∠NOQ=α，∠QOP=β即可；
B：如图在直线OM上方，作∠POM=∠α，∠PMO=∠β即可．
【详解】A．∠POM如图所示：
B．点P如图所示：
【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
7．答案见详解
【分析】先作∠BOC＝∠α，再以OC为一边，在∠BOC的内部作∠COA＝∠β，则∠AOB即为所求．
【详解】如下图所示：则∠AOB＝∠α﹣∠β．
【点睛】本题主要考查了基本作图，作图的关键是理解作一个角等于已知角的作法．
8．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作∠ACM=∠ABC，则∠BCM即为所求；
（2）作∠DEN=∠F=30°，EN交DF于点N，∠FEN即为所求．
【详解】（1）如图，∠BCM即为所求．
（2）如图，∠FEN即为所求．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图．
9．(1)作图见解析，AE
(2)见解析，平分线，60°
【分析】（1）用三角板画图即可，由点到直线的距离的定义即可确定线段AE的长是点A到OB的距离；
（2）根据作一个角等于已知角的作法完成即可，根据平行线的性质及角平分线的定义即可得到结论．
【详解】（1）所作的垂线段如下图所示
线段AE的长是点A到OB的距离
故答案为：AE；
（2）所作∠AOD如图所示
∵∠AOD=∠AOB
∴OA是∠DOB的角平分线
∵AC∥OB
∴∠AOB=∠CAO=30°
∴∠AOD=30゜
∴∠DOB=2∠AOB=60°
故答案为：角平分线，60°
【点睛】本题是作图题，考查了作点到直线的垂线段，作一个角等于已知角，也考查了角平分线的定义、平行线的性质、点到直线的距离等知识，掌握这些知识是解题的关键．
10．C
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法判断即可．
【详解】解：由作图可知，弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：C．
【点睛】本题考查尺规作图，熟知作一个角等于已知角的基本作图步骤是解答本题的关键．
11．D
【分析】根据用尺规作一个角等于已知角的性质分析，即可得到答案．
【详解】作∠OBF=∠AOB的作法，由图可知，
①以点O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交射线OA、OB分别为点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画圆，分别交射线BO、MB分别为点E，F；
③以点E为圆心，以DC为半径画圆，交于点N，连接BN即可得出∠OBF，则∠OBF=∠AOB．
故选：D．
【点睛】本题考查了尺规作图的知识；解题的关键是熟练掌握用尺规作一个角等于已知角的性质，从而完成求解．
12．D
【分析】根据作一个角等于已知角的方法判断.
【详解】要作∠A′O′B′等于已知角∠AOB，
应先作一条射线O′B′，再以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．
然后以点O′为圆心，OD长为半径画弧，再进行画图，
故选D.
【点睛】理解作一个角等于已知角的方法步骤是关键.
13．3
【分析】首先过点作的垂线交于点，根据角平分线的尺规作图方法可知：平方，，再根据角平分线的性质，可得，然后设，再根据，即可得出方程，解出即可得出的长．
【详解】解：如图，过点作的垂线交于点，
由题意可知：平分，
∵，
∴，
设，
∵，
又∵，
，
又∵，
∴，
解得：，
即．
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，解本题的关键在根据题意得出平方．
14．③⑤
【分析】①根据确定圆的两个条件：圆心和半径判断即可；
②根据射线的性质判断即可；
③根据基本作图：作一个角等于已知角判断即可；
④根据直线的性质判断即可；
⑤根据平行公理判断即可．
【详解】解：①以O为圆心作弧，可以画出无数条弧，因为半径不固定，所以叙述错误；
②射线AB是由A向B向无限延伸，所以叙述错误；
③根据作一个角等于已知角的作法，可以作一个角∠AOB，使∠AOB等于已知∠1，所以叙述正确；
④直线可以向两方无限延伸，所以叙述错误；
⑤根据平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可以过三角形ABC的顶点C作它的对边AB的平行线，所以叙述正确．
所以正确的有③⑤．
故答案为∶③⑤．
【点睛】考查尺规作图，涉及直线，射线以及圆，角，平行线的知识，属于基础题，解题的关键是掌握它们的性质．
15．见解析
【分析】根据尺规作一个角等于已知角和作线段的画法步骤画出相应的图形即可．
【详解】解：如图所示：
【点睛】本题考查尺规作图-作角、尺规作图-作线段，熟练掌握基本尺规作图的步骤是解答的关键．
16．(1)见解析；
(2)或
【分析】（1）利尺规根据要求作出图形即可；
（2）分两种情形求解可得结论．
（1）
解：如图，∠BOC，∠BOC′即为所求；
（2）
解：∵∠AOB=60，∠BOC=∠BOC′=20，
∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=40或∠AOC′=∠AOB+∠BOC′=80．
故答案为：40°或80°．
【点睛】本题考查作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
17．（1）E；（2）（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【分析】（1）根据作图过程即可解答；
（2）（Ⅰ）根据射线和直线定义即可画射线AB，画直线AC；
（Ⅱ）根据线段定义即可画线段BD交直线AC于点M．
【详解】解：（1）弧PQ是以点E为圆心，以线段DE的长为半径的弧；
故答案为：E；
（2）如图，（Ⅰ）射线AB，直线AC即为所求；
（Ⅱ）线段BD，点M即为所求．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
18．(1)画图见解析；（2）画图见解析；（3）CE＜CD＜OD；（4）与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
【分析】(1)作DC⊥OB即可；
(2)作CE⊥OA即可；
(3)根据垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边即可得出结论；
(4)根据两角互余的定义即可得出结论．
【详解】解：(1)、(2)如图所示；
(3)∵垂线段最短及直角三角形的斜边大于任一直角边，
∴CE＜CD＜OD，
(4)∵CE⊥OA，
∵CD⊥OB，
∴∠AOB+∠ODC=90°，
∴与∠AOB互余的角是∠OCE与∠ODC．
【点睛】本题考查的是作图—基本作图，熟知垂线的作法是解答此题的关键．
19．D
【分析】利用作法根据圆的半径相等可得出m=n>0，两个三角形的边长相同，即可得到结论．
【详解】解：由作图得OD=OC=OD′=OC′=m=n，CD=C′D′=p，
∵m为半径=OC，p为半径=C′D′，m≠P，故选项A不正确；
∵n为半径=OC′，p为半径= C′D′，n≠p，故选项B不正确；
p为半径确定角的张口大小，与n的大小没直接关系，,故选项C不正确；
∵m与n均为半径确定夹角的两边要相同m=n>0．故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．
20．C
【分析】根据作一个角等于已知角的方法，选择合适的顺序即可．
【详解】解：根据作一个角等于已知角的步骤可知，
正确的顺序是①②④③
故选C．
【点睛】此题考查了尺规作图－作一个角等于已知角，熟练掌握其作法步骤过程是解题的关键．
21． O 任意长 O′ OC C CD D′
【分析】根据作一个角等于已知角的作图方法解答即可．
【详解】①以O为圆心，任意长为半径画弧．分别交OA ， OB于点C、D ．
②画一条射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′，
③以点C为圆心CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′．
④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB.
故答案为：(1). O； (2). 任意长；(3). O′； (4). OC； （5）. C ； (6). CD ；(7). D′
【点睛】本题主要考查了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握．
22．②③①④
【分析】根据尺规作图作一个角等于已知角的方法即可解题.
【详解】解：根据尺规作图方法可知,作∠ABC＝∠α的顺序是②③①④.
【点睛】本题考查了尺规作图的步骤,属于简单题,熟悉尺规作图的步骤是解题关键.
23．65°
【详解】由题意可知，所作的射线AG是∠BAC的角平分线.
∵在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=40°，
∴∠BAC=180°-90°-40°=50°，
∴∠CAD=∠BAC=25°，
∴∠ADC=180°-90°-25°=65°.
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）＝
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图即可解答
（2）根据作一条线段等于已知线段的尺规作图即可解答
（3）结合图形易证，即可得到答案
【详解】（1）如图所示：
作法：
①以点B为圆心任意长为半径画圆弧，交AB，BC于点G，H
②再以点E为圆心以①中的半径画圆弧，交EM于点P
③再以点P为圆心GH长为半径画圆弧，与②所画的圆弧交于点N，连接EN即可
（2）如图所示：
作法：
①用圆规取BC的长度，以点E为圆心BC长为半径画弧，交EM于点F，则EF=BC
②用圆规取AB的长度，以点E为圆心AB长为半径画弧，交EN的延长线于点D，则DE=AB
（3）根据EF=BC，DE=AB，可证，则DF=AC
【点睛】本题考查了尺规作图，解题关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，以及作一条线段等于已知线段的尺规作图方法．
25．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）根据画一个角等于已知角的方法即可在∠AOB内部作∠BOC＝∠α；
（2）结合（1）根据角平分线定义即可解决问题．
(1)
解：如图，∠BOC即为所求；
(2)
解：∵∠AOB＝50°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝20°，
∵OD平分∠AOC．
∴∠COD＝＝10°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°．
【点睛】本题考查尺规作图和角的度数计算．根据图形得到角之间的和差倍分关系是解题的关键．
26．(1)见解析
(2)∠DQP=150°．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的作法作图即可；
（2）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DQP的度数．
（1）
解：如图即为所求；
；
（2）
解：由（1）知PQ∥OB，
∴∠PQO=∠DOB，
∵OD为∠AOB的角平分线，且∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOD=30°，
∴∠PQO=∠DOB=30°，
∴∠DQP=180°-30°=150°．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质．
27．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)画图见解析，OE>OP> PD．
【分析】（1）过点P作OA的垂线l；
（2）过点P作OB边的垂线，连接点P与垂足D就是垂线段PD；
（3）过点O作一个角等于∠ODP，得到PD的平行线交l于点E，再根据垂线段最短原理解题．
(1)
解：如图，直线l就是所求作的垂线l；
(2)
如图，线段PD就是所求作的垂线段PD；
(3)
如图，点E就是所求作的点，根据垂线段最短原理得到OE>OP> PD；
故答案为：OE>OP> PD；垂线段最短．
【点睛】本题考查尺规作图—作垂线，垂线段最短等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
28．作图见解析．
【分析】先作，再以O为顶点，OC为一条边，在的外部作，即可得到．
【详解】如图，即为所作．
【点睛】本题考查尺规作图-复杂作图，掌握作一个角等于已知角是解答本题的关键．
29．(1)见解析
(2)
【分析】（1）如图，在CD的上方作∠EDC＝∠ABC，DE交AC于点E．
（2）利用平行线的性质求解即可．
（1）
如图，点E即为所求．
（2）
∠A＝65°，由作图可知，DE//AB，
【点睛】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质，熟练掌握两同位角相等，两直线平行、两直线平行，同位角相等是解答本题的关键．
30．作图见解析
【分析】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即为所求作的角．
【详解】如图所示：（1）作∠AOC=∠α，
（2）在∠AOC外以OC为边作∠COB=∠β，
则∠AOB即为所求作的角．
【点睛】本题主要考查了用量角器作角，准确分析作图是解题的关键．
31．（1）见解析；（2）平行；同位角相等，两直线平行；（3）见解析
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图即可；
（2）根据同位角相等，两直线平行解答即可；
（3）利用三角板的两条直角边分别作点D到AB 的垂线段和点B到AC的垂线段即可．
【详解】解：（1）如图所示；
（2）∵∠CDP=∠CAB，
∴DP//AB（同位角相等，两直线平行），
故答案为：平行；同位角相等，两直线平行；
（3）如图所示，DF是表示点D到AB 的距离的线段，BE是表示点B到AC的距离的线段．