七年级数学下册高分突破专题07实数相关运算(3大类型)(原卷版+解析)

这是一份七年级数学下册高分突破专题07实数相关运算(3大类型)(原卷版+解析)，共19页。


考点1 平方根、算术平方有关运算
考点2 实数的化简求值
考点3 实数应用
典例分析
【考点1 平方根、算术平方有关运算】
【典例1】（2022春•东莞市校级期中）若一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求这个正数x．
【变式1-1】（2022春•赣州期末）已知一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，求x和a的值．
【变式1-2】（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【典例2】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．
【变式2-1】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【变式2-2】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【变式2-3】（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【典例3】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【变式3-1】（2022春•惠东县校级月考）已知．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
【变式3-2】（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【考点2 实数的化简求值】
【典例4】（2022•仙居县校级开学）计算：．
【变式4-1】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣+（﹣1）+2．
【变式4-2】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+﹣+|﹣2|．
【变式4-3】（2022春•江津区校级期中）计算：
（1）（﹣1）2017﹣﹣||；
（2）．
【变式4-4】（2022春•沙依巴克区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【考点3 实数应用】
【典例5】（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【变式5-1】（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
【变式5-2】（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
真题再现
1．（2022春•陇县期中）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求x和a的值．
2．（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
3．（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
4．（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
5．（2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
6．（2022春•重庆期中）计算：
（1）；
（2）．
7．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）计算：；
（2）计算：．
8．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．
9．（2022•杭州模拟）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．
10．（2019春•遵义期中）解方程：
（x﹣3）2+1＝26；
11.（2022秋•沈北新区期中）求下列各式中x的值：
﹣8（x﹣3）3＝27．
12.（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
专题07 实数相关运算（3大类型）
解题思路
考点1 平方根、算术平方有关运算
考点2 实数的化简求值
考点3 实数应用
典例分析
【考点1 平方根、算术平方有关运算】
【典例1】（2022春•东莞市校级期中）若一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，求这个正数x．
【解答】解：∵一个正数x的平方根分别是2a﹣3和a﹣9，
∴2a﹣3+a﹣9＝0，
解得：a＝4，
2a﹣3＝2×4﹣3＝8﹣3＝5，
所以这个正数x＝52＝25
【变式1-1】（2022春•赣州期末）已知一个正数a的两个平方根分别是x+3和2x﹣15，求x和a的值．
【解答】解：由题意得，x+3＝﹣（2x﹣15），
解得x＝4，
a＝（4+3）2＝49，
∴x的值为4，a的值为49．
【变式1-2】（2022春•雨花区期末）已知一个正数m的两个不相等的平方根是a+6与2a﹣9．
（1）求a和m的值；
（2）求关于x的方程ax2﹣16＝0的解．
【解答】解：（1）由题意得：a+6+2a﹣9＝0，
解得：a＝1，
∴m＝（a+6）2＝49．
（2）原方程为：x2﹣16＝0，
∴x2＝16，
解得：x＝±4．
【典例2】（2022春•芜湖期末）已知a+b﹣2的平方根是，3a+b﹣1的算术平方根是6，求a+4b的平方根．
【解答】解：根据题意，得a+b﹣2＝17，3a+b﹣1＝36，
解得a＝9，b＝10，
∴a+4b＝9+4×10＝9+40＝49，
∴a+4b的平方根是±7．
【变式2-1】（2022春•横县期中）已知3b+3的平方根为±3，3a+b的算术平方根为5．
（1）求a，b的值；
（2）求4a﹣6b的平方根．
【解答】解：（1）∵3b+3的平方根为±3，
∴3b+3＝9，
解得b＝2，
∵3a+b的算术平方根为5，
∴3a+b＝25，
∵b＝2，
∴a＝，
（2）∵a＝，b＝2，
∴4a﹣6b＝，
∴4a﹣6b的平方根为．
【变式2-2】（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为±＝±5，
即ab+5的平方根是±5．
【变式2-3】（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．
∴a＝12，b＝﹣3．
（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．
∴a+b＝12﹣3＝9．
∴a+b的平方根为＝±3．
【典例3】（2022春•涧西区期中）已知实数a，b，c满足（a﹣2）2+|2b+6|+＝0．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|2b+6|+＝0，
∴a﹣2＝0，2b+6＝0，5﹣c＝0，
解得：a＝2，b＝﹣3，c＝5；
（2）由（1）知a＝2，b＝﹣3，c＝5，
则＝
＝4，
故的平方根为：±2．
【变式3-1】（2022春•惠东县校级月考）已知．
（1）求x与y的值；
（2）求3x+2y的平方根．
【解答】解：（1）∵，
∴2y﹣8＝0，x﹣2＝0，
解得：x＝2，y＝4；
（2）3x+2y＝3×2+2×4＝14．
∵14的平方根为±，
∴3x+2y的平方根为．
【变式3-2】（2022春•枞阳县校级月考）若m，n满足等式（m﹣2）2+＝0．
（1）求m，n的值；
（2）求4m﹣3n的平方根．
【解答】解：（1）由题意得，m﹣2＝0，2n+6＝0，
解得：m＝4，n＝﹣3；
（2）4m﹣3n＝4×4﹣3×（﹣3）＝25．
∵25的平方根为±5，
∴4m﹣3n的平方根为±5．
【考点2 实数的化简求值】
【典例4】（2022•仙居县校级开学）计算：．
【解答】解：原式＝﹣+1+﹣4
＝﹣+﹣4+1
＝﹣3．
【变式4-1】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣+（﹣1）+2．
【解答】解：原式＝5﹣2+3﹣+2
＝6+．
【变式4-2】（2022春•东莞市校级期中）计算：﹣12020+﹣+|﹣2|．
【解答】解：原式＝﹣1+2﹣4+2﹣
＝﹣1﹣．
【变式4-3】（2022春•江津区校级期中）计算：
（1）（﹣1）2017﹣﹣||；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣2+2+2﹣
＝1﹣；
（2）原式＝2+0+2
＝4．
【变式4-4】（2022春•沙依巴克区校级期中）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝﹣1﹣3﹣2×3
＝﹣1﹣3﹣6
＝﹣10；
（2）原式＝2﹣2﹣（2﹣）+4
＝2﹣2﹣2++4
＝．
【考点3 实数应用】
【典例5】（2019春•温岭市期末）如图，用两个边长为cm的小正方形剪拼成一个大的正方形，
（1）则大正方形的边长是 cm；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2且面积为12cm2，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
【解答】解：（1）大正方形的边长是＝4（cm）；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm，
则2x•3x＝12，
解得：x＝，
3x＝3＞4，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为3：2，且面积为12cm2．
【变式5-1】（2022春•平潭县校级期末）如图，用两个边长为cm的小正方形纸片拼成一个大的正方形纸片，沿着大正方形纸片的边的方向截出一个长方形纸片，能否使截得的长方形纸片长宽之比为3：2，且面积为30cm2？请说明理由．
【解答】解：不能，
因为大正方形纸片的面积为（）2+（）2＝36cm2，
所以大正方形的边长为6cm，
设截出的长方形的长为3bcm，宽为2bcm，
则6b2＝30，
所以b＝（取正值），
所以3b＝3＝＞，
所以不能截得长宽之比为3：2，且面积为30cm2的长方形纸片．
【变式5-2】（2022春•丹凤县期末）小丽想用一块面积为36cm2的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为20cm2的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？为什么？
【解答】解：不同意，因为正方形的面积为36cm2，故边长为6cm，
设长方形的宽为xcm，则长为2xcm，
长方形面积＝x⋅2x＝2x2＝20，解得x＝，
长为，
即长方形的长大于正方形的边长，所以不能裁出符合要求的长方形纸片．
真题再现
1．（2022春•陇县期中）如果一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，求x和a的值．
【解答】解：∵一个正数a的两个平方根是2x﹣2和6﹣3x，
∴2x﹣2+6﹣3x＝0，
∴x＝4，
∴2x﹣2＝2×4﹣2＝6，
又∵62＝36，
∴a＝36．
2．（2021秋•莱芜区期末）已知一个数m的两个不相等的平方根分别为a+2和3a﹣6．
（1）求a的值；
（2）求这个数m．
【解答】解：（1）∵数m的两个不相等的平方根为a+2和3a﹣6，
∴（a+2）+（3a﹣6）＝0，
∴4a＝4，
解得a＝1；
（2）∴a+2＝1+2＝3，3a﹣6＝3﹣6＝﹣3，
∴m＝（±3）2＝9，
∴m的值是9．
3．（2022春•滑县月考）已知2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
（1）求a、b的值；
（2）求ab+5的平方根．
【解答】解：（1）∵2a﹣1的平方根是±3，a+3b﹣1的算术平方根是4．
∴2a﹣1＝9，a+3b﹣1＝16，
解得a＝5，b＝4；
（2）当a＝5，b＝4时，ab+5＝25，
而25的平方根为±＝±5，
即ab+5的平方根是±5．
4．（2022春•芜湖期中）已知2a+1的平方根为±5，a+b+7的算术平方根为4．
（1）求a，b的值；
（2）求a+b的平方根．
【解答】解：（1）由题意得：2a+1＝25，a+b+7＝16．
∴a＝12，b＝﹣3．
（2）由（1）得：a＝12，b＝﹣3．
∴a+b＝12﹣3＝9．
∴a+b的平方根为＝±3．
5．（2021秋•永定区期末）已知|x﹣1|+＝0．
（1）求x与y的值；
（2）求x+y的算术平方根．
【解答】解：（1）∵|x﹣1|+＝0，而|x﹣1|≥0，≥0，
∴，
解得：；
（2）x+y＝1+3＝4．
∵4的平方根为±2，
∴x+y的算术平方根为2．
6．（2022春•重庆期中）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝3﹣3+6
＝6；
（2）原式＝﹣1+10+2×0.5+﹣1
＝﹣1+10+1+﹣1
＝9+．
7．（2022春•鼓楼区校级期中）（1）计算：；
（2）计算：．
【解答】解：（1）原式＝1+4﹣3
＝2；
（2）原式＝2﹣﹣+﹣1
＝1﹣．
8．（2022春•龙马潭区月考）已知（x﹣1）2＝16，求x的值．
【解答】解：（x﹣1）2＝16，
由平方根的定义可得，x﹣1＝4或x﹣1＝﹣4，
解得x＝5或x＝﹣3，
答：x＝5或x＝﹣3．
9．（2022•杭州模拟）求x的值：25（x+2）2﹣36＝0．
【解答】解：移项得，25（x+2）2＝36，
∴（x+2）2＝，
∴x+2＝±，
∴x＝﹣2±，
∴x＝﹣或x＝﹣．
10．（2019春•遵义期中）解方程：
（x﹣3）2+1＝26；
【解答】解：（x﹣3）2+1＝26，
（x﹣3）2＝25，
x﹣3＝±5
∴x＝8或x＝﹣2
11.（2022秋•沈北新区期中）求下列各式中x的值：
﹣8（x﹣3）3＝27．
【解答】解：∵﹣8（x﹣3）3＝27，
∴．
∴x﹣3＝﹣．
∴x＝．
12.（2022秋•市北区期中）某新建学校计划在一块面积为256m2的正方形空地上建一个面积为150m2的长方形花园（长方形花园的边与正方形空地的边平行），要求长方形花园的长是宽的2倍．请你通过计算说明该学校能否实现这个计划．
【解答】解：长方形花坛的宽为xm，长为2xm．
∵建一个面积为150m2的长方形花园，
∴2x•x＝150，
∴x2＝75，
∵x＞0，
∴x＝5，2x＝10，
∵正方形的面积为256m2，
∴正方形的边长为16m，
∵10＞16，
∴当长方形的边与正方形的边平行时，学校不能实现这个愿望．