新高考高中数学 题型全归纳 上册

这是一份新高考高中数学 题型全归纳 上册，共365页。试卷主要包含了高二，部分,，次项系数)，相等.，边形等内容，欢迎下载使用。
高一 高二 高三
知识梳理 例题解析
强化练习 参考答案
一题型全归纳-
差 正 振 奶 吸 明 心 主 编配视频讲解
新高考・高中数学 题型全归纳
420个题型
上册丨
姜正霖 郭晓明 主编
高一 高二 高三 知识梳理 例题解析 强化练习 参考答案
沈阳出版发行集团
•沈阳出版社
图书在版编目 (CIP) 数据
新高考高中数学题型全归纳 / 姜正霖, 郭晓明主编 . 一沈阳: 沈阳出版社, 2024. 4
ISBN 978-7-5716-3907-5
I. (1)新… II. (1)姜… (2)郭… III. (1)中学数学课一 高中一升学参考资料 IV. (1)G634.603
中国国家版本馆 CIP 数据核字 (2024) 第 070891 号 出版发行：沈阳出版发行集团 | 沈阳出版社
(地址：沈阳市沈河区南翰林路 10 号 邮编:110011)
网 址:
幅面尺寸: 210 mm×285 mm
印 张: 66.5
字 数: 1037 千字
出版时间: 2024 年 4 月第 1 版
印刷时间：2024 年 4 月第 1 次印刷
责任编辑: 李 巍 王冬梅
封面设计: 润泽文化
责任校对：郑 丽
责任监印：杨 旭
书 号: ISBN 978-7-5716-3907-5
定 价: 298.00 元(全 4 册)
联系电话：024-24112447 024-62564920
E- mail: sy24112447@163.cm
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立志越雄关, 少年乘风徙南海, 凝神刷金卷, 六月落笔展雄风。
数学举足轻重, 它推动着科学技术的进步, 影响着人类文明的发展。 高中数学在高考 中的地位更是消然不动。 高效解题是高中数学学习的重要任务，是提高高考数学成绩的 关键。
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适合人群:高一、二、三学生以及教师。
本书配有同步课程, 配合课程使用效果更好。
目录 CONTENT
上 册
第一节 集 合 1
题型 1 集合及其表示方法 1
题型 2 集合的关系 2
题型 3 集合的运算 3
题型 4 维恩图的应用 5
第二节 常用逻辑用语 6
题型 5 充分条件必要条件的判断 6
5.1 充分条件必要条件的判断(一)
6
5.2 充分条件必要条件的判断(二)
7
题型 6 由充分条件必要条件求参数问题
8
题型 7 全称量词命题和存在性量词命题的
否定 9
题型 8 根据命题真假求参数问题 10 第三章 不等式
第一节 不等式的性质 11
题型 1 比较代数式大小 11
第一章 集合逻辑
题型 2 不等式的性质 12
题型 3 求代数式的取值范围 13
第二节 不等式解法(一):三个“二次”问题
14
题型 4 二次不等式 15
4.1 解不含参的二次不等式 15
4.2 解含参的二次不等式 15
4.3 已知二次不等式解集求参数问题
18
题型 5 二次函数值域最值问题 18
题型 6 二次恒成立与存在性问题 20
题型 7 二次方程根的分布问题 21
7.1 根与 0 的关系 21
7.2 根与区间 [m,n] 的关系 22
第三节 不等式解法(二):其他函数不等式
23
题型 8 分式不等式 23
题型 9 高次不等式 24
题型 10 无理不等式 24
题型 11 绝对值不等式 25
题型 12 指对幂不等式 26
第四节 基本不等式 27
题型 13 基本不等式使用条件 27
题型 14 利用基本不等式比较大小 28
题型 15 基本不等式的简单应用 28
题型 16 分式函数最值问题 30
题型 17∘1'' 的妙用 31
题型 18 配凑法 32
题型 19 和积转化法 32
题型 20 多次基本不等式问题 33
题型 21 齐次化 34
题型 22 换元法 34
题型 23 消元法 35
题型 24 判别式法 35
题型 25 柯西不等式 36
题型 26 权方和不等式 37 第三章 函 数
第一节 函数概念及其表示 38
题型 1 函数定义 38
题型 2 同一函数判定 38
题型 3 分段函数求值及解不等式 39
3.1 分段函数求值 39
3.2 分段函数解不等式 40
题型 4 函数解析式求法及应用 41
4.1 直接法 41
4.2 换元法/配凑法 42
4.3 待定系数法 42
4.4 方程组法 42
4.5 解析式的应用 43
题型 5 函数定义域求法 43
5.1 具体函数定义域 43
5.2 抽象函数定义域 44
题型 6 已知定义域求参数 44
题型 7 函数值域 (最值) 求法 45
7.1 直接法/观察法 45
7.2 对称轴法/配方法 46
7.3 分离常数法 46
7.4 换元法 47
7.5 单调性法 47
7.6 数形结合法 47
题型 8 已知值域 (最值) 求参数 47
第二节 函数基本性质 49
题型 9 函数单调性求法 49
9.1 具体函数单调性求法 49
9.2 抽象函数单调性求法 50
题型 10 已知单调性求参数 51
题型 11 单调性应用 52
11.1 利用单调性求值域/最值 52
11.2 利用单调性解不等式 52
11.3 利用单调性比较大小 53
题型 12 函数奇偶性求法 53
12.1 具体函数奇偶性判定 54
12.2 抽象函数奇偶性判定 55
题型 13 已知奇偶性求参数 56
题型 14 奇偶性应用 57
14.1 由奇偶性求解析式 57
14.2 由奇偶性求函数值 57
14.3 中值模型 58
14. 4fx= 奇函数 ± 偶函数 59
14.5 由单调性奇偶性解不等式 59
题型 15 函数对称性 60
15.1 函数对称性 (轴对称) 61
15.2 函数对称性 (中心对称) 62
题型 16 函数周期性 63
16.1 求函数周期及利用周期求函数值
63
16.2 周期的综合应用 64
题型 17 抽象函数性质综合 66
第三节 指对幂函数 68
题型 18 指对数计算 68
题型 19 指对函数图象及性质 70
19.1 指对函数图象 70
19.2 指对函数定点问题 71
题型 20 反函数 72
20.1 求反函数 72
20.2 反函数应用 72
题型 21 幂函数 73
21.1 幂函数图象及性质 73
21.2 幂函数性质应用 75
题型 22 比较大小 75
22.1 中间值法 75
22.2 单调性法 76
22.3 构造函数法 77
22.4 图象法 78
第四节 函数的图象及应用 79
题型 23 函数图象变换 79
23.1 作图 79
23.2 识图 82
23.3 图象变换 83
题型 24 复杂函数图象识别 84
题型 25 函数图象的应用 86
25.1 通过图象求函数值域最值 86
25.2 通过图象解不等式 86
25.3 通过图象解恒成立与存在性问题
87
题型 26 图象在实际问题中的应用 88
第五节 函数与方程 90
题型 27 零点所在区间判定 90
题型 28 零点个数判定 91
题型 29 已知零点求参数问题 91
29.1 已知零点求参数问题 92
29.2 对称问题 93
题型 30 零点的整体性质 94
题型 31 复合函数零点问题 95
第六节 函数的综合应用 97
题型 32 取整函数 97
题型 33 函数凹凸性 98
题型 34 双变量最值问题 99
题型 35 函数不动点和稳定点 100
题型 36 函数在实际问题中的应用 100 第四章三角函数
第一节 任意角的三角函数 103
题型 1 角的推广与弧度制 103
题型 2 三角函数定义 104
2.1 三角函数定义 104
2.2 各象限内三角函数的符号 105
题型 3 单位圆与三角函数线 105
题型 4 同角公式 106
4. 1sinx,csx,tanx 转换 106
4.2 齐次化切 107
4. 3sinx+csx,sinx-csx,sinx⋅csx 转
换 107
题型 5 诱导公式 107
题型 6 已知三角函数值求角 109
第二节 三角恒等变换 110
题型 7 和角差角公式 110
题型 8 辅助角公式 111
题型 9 倍角半角公式 112
题型 10 三角公式综合 114
第三节 三角函数图象与性质 115
题型 11 值域最值 116
11.1 正弦型函数类型 116
11.2 二次函数型 116
11.3 已知最值求参数问题 117
题型 12 单调性 118
12.1 求单调性问题 118
12.2 已知单调性求参数问题 119
题型 13 奇偶性 120
题型 14 周期性 121
14.1 求周期 121
14.2 周期性的应用 122
题型 15 对称性 122
题型 16 零点 123
题型 17 图象变换 124
题型 18 由图象求解析式 127
题型 19 三角函数图象性质综合 128
19.1 不含参数的图象性质综合 129
19.2 由图象性质求参数值 130
19.3 由图象性质求参数范围 132
第五章 解三角形
题型 1 正弦定理基础 135
1.1 利用正弦定理解三角形 135
1.2 利用正弦定理边角互化 136
题型 2 余弦定理基础 137
2.1 利用余弦定理解三角形 137
2.2 利用余弦定理边角互化 137
题型 3 正、余弦定理混合运用 138
题型 4 三角形个数判定 141
题型 5 三角形形状判定 142
题型 6 射影定理 143
题型 7 三角形面积问题 143
题型 8 范围最值问题 145
题型 9 解三角形在组合图形中的应用
148
题型 10 解三角形在实际问题中的应用
151
第六章 平面向量
第一节 平面向量概念及线性运算 152
题型 1 平面向量概念 152
题型 2 向量的线性运算 153
题型 3 共线向量基本定理 154
题型 4 平面向量基本定理 155
4.1 三点共线模型 155
4.2 等和线 156
题型 5 线性坐标运算 157
5.1 直接坐标运算 158
5.2 建系坐标运算 159
第二节 平面向量数量积及向量综合 160
题型 6 投影向量 161
题型 7 向量数量积解法 161
7.1 数量积解法一一公式法 161
7.2 数量积解法一一坐标法 162
7.3 数量积解法一一基底法 164
7.4 数量积解法一一投影法 165
7.5 数量积解法一一极化恒等式 166
题型 8 平面向量的夹角 167
题型 9 平面向量的垂直 168
题型 10 平面向量的模 169
10.1 向量的模一一平方法 169
10.2 向量的模一一坐标法 170
10.3 向量的模一一不等式法 170
10.4 向量的模一一几何法 171
题型 11 奔驰定理 172
题型 12 三角形四心问题 173
第七章 夏 数
题型 1 复数的实部与虚部 176
题型 2 复数的分类 176
题型 3 复数相等 177
题型 4 复数的四则运算 177
题型 5 复数的周期性及高次运算 178
题型 6 复数的几何意义 179
题型 7 复数的模 180
题型 8 共轭复数 181
题型 9 方程的根 182 第入章 立体几何与空间向量
第一节 空间几何体 184
题型 1 几何体的表面积与体积 (除球)
184
1.1 直接法求表面积与体积 184
1.2 特殊法求体积 186
题型 2 球的截面 187
题型 3 球面距离 188
题型 4 外接球模型 189
4.1 长方体模型 189
4.2 墙角模型 189
4.3 鳖糯模型 190
4.4 对棱相等模型 191
4.5 正四面体模型 192
4. 6 正棱雉 (圆雉) 模型 193
4.7 线面垂直模型 193
4.8 面面垂直模型 194
4.9 二面角模型 195
4. 10 直径模型 196
题型 5 内切球 197
5.1 等体积法求内切球半径 197
5.2 截面法求内切球半径 198
题型 6 球的最值问题 199
第二节 点线面位置关系 201
题型 7 点、线、面位置关系 203
题型 8 平行、垂直 (小题) 205
题型 9 平行 (大题) 206
9.1 线面平行 (大题) 207
9.2 面面平行 (大题) 210
9.3 线线平行 (大题) 210
题型 10 垂直 (大题) 211
10.1 线面垂直 (大题) 211
10.2 面面垂直 (大题) 214
10.3 线线垂直(大题) 216
第三节 空间向量与立体几何 220
题型 11 向量法证明平行、垂直 220
题型 12 线线角 222
12.1 几何法 223
12.2 坐标法 223
题型 13 线面角 225
13.1 几何法 226
13.2 坐标法 227
题型 14 二面角 231
14.1 几何法 231
14.2 坐标法 232
题型 15 坐标法求角 (知角求参问题)
236
题型 16 坐标法求角 (范围最值问题)
240
题型 17 坐标法求角 (不易建系问题)
242
题型 18 距离问题 246
18.1 几何法 247
18.2 坐标法 249
第四节 立体几何综合问题 251
题型 19 存在性探究问题 251
19.1 几何法 251
19.2 坐标法 254
题型 20 范围最值问题 255
20.1 几何法 255
20.2 目标函数法 256
题型 21 翻折问题 256
题型 22 截面问题 259
题型 23 动点轨迹问题 261
题型 24 立体几何实际应用 262
第九章 直线与圆
第一节 直线方程 265
题型 1 直线的倾斜角与斜率 265
题型 2 直线方程 266
题型 3 两条直线位置关系 267
题型 4 直线系方程 268
题型 5 距离问题 268
题型 6 对称问题 269
题型 7 定点问题 272
第二节 圆的方程 273
题型 8 圆的方程 273
题型 9 圆系方程 274
题型 10 圆中的对称 275
题型 11 点与圆的位置关系 276
题型 12 直线与圆的位置关系 276
12.1 位置关系判定 276
12.2 弦长问题 277
12.3 切线问题 279
12.4 交点问题 281
12.5 距离问题 281
题型 13 圆与圆的位置关系 282
下 册
题型 14 圆的最值问题 283
题型 15 轨迹问题 285
15.1 轨迹求法 285
15.2 轨迹应用 287
题型 16 韦达定理法 287
第十章 圆锥曲线
第一节 椭圆及其性质 290
题型 1 椭圆定义 291
题型 2 椭圆标准方程 293
题型 3 椭圆离心率 294
3.1 椭圆离心率求值 294
3.2 椭圆离心率取值范围 296
题型 4 椭圆焦点三角形 297
4.1 椭圆焦点三角形周长 297
4.2 椭圆焦点三角形中的角 298
4.3 椭圆焦点三角形面积及其应用
298
4.4 椭圆焦半径 299
第二节 双曲线及其性质 300
题型 5 双曲线定义 302
题型 6 双曲线标准方程 303
题型 7 双曲线离心率 305
7.1 双曲线离心率求值 305
7.2 双曲线离心率取值范围 306
题型 8 双曲线渐近线 307
题型 9 双曲线焦点三角形 309
9.1 双曲线焦点三角形周长 309
9.2 双曲线焦点三角形中的角 309
9.3 双曲线焦点三角形面积及其应用
310
9.4 双曲线焦半径 311
9.5 双曲线焦点三角形内切圆 311
题型 10 椭圆与双曲线共焦点问题 312
第三节 抛物线及其性质 314
题型 11 抛物线定义 315
题型 12 抛物线标准方程 317
题型 13 抛物线焦点相关问题 318
13.1 抛物线焦半径 319
13.2 抛物线焦点弦 319
13.3 与焦点相关的面积问题 320
13.4 抛物线中的 5 相切 3 垂直问题
321
题型 14 抛物线中的特殊点 p,0,2p,0
322
14.1 特殊点 p,0 323
14.2 特殊点 2p,0 323
第四节 曲线与方程 324
题型 15 轨迹方程 324
15.1 直译法 324
15.2 定义法 325
15.3 相关点法 325
15.4 参数法 326
15.5 点差法 327
第五节 直线与圆锥曲线(一) 328
题型 16 位置关系 328
题型 17 曲线上的点到点或直线的距离问题
330
题型 18 中点弦公式及其推广 331
18.1 中点弦公式 332
18.2 圆锥曲线第三定义 332
题型 19 坐标代入法解定比分点问题
333
题型 20 焦点弦比例公式 334
第六节 直线与圆锥曲线(二) 336
题型 21 韦达定理法 336
题型 22 点差法 338
题型 23 联立硬解法 340
题型 24 坐标代入法 343
题型 25 弦长问题 346
题型 26 面积问题 349
题型 27 对称问题 352
题型 28 向量斜率问题 354
28.1 用向量或斜率解决垂直问题
354
28.2 用向量或斜率解决角的问题
356
28.3 用向量或斜率解决三点共线问题
358
题型 29 范围最值问题 359
题型 30 定值问题 364
题型 31 定点问题 368
题型 32 非对称韦达定理 373 第十一章 数列
第一节 等差数列 377
题型 1 等差数列基本运算 378
题型 2 等差数列性质应用 379
2.1 等差中项性质 379
2.2 等差数列和比与项比问题 380
2.3 等差数列片段和问题 381
2.4 数列 Snn 问题 381
2.5 等差数列函数性质 382
第二节 等比数列 384
题型 3 等比数列基本运算 385
题型 4 等比数列性质应用 387
4.1 等比中项性质 387
4.2 等比数列片段和问题 388
4.3 等比数列函数性质 388
题型 5 差比混合问题 389
第三节 数列证明 391
题型 6 数列证明 391
6.1 数列证明一一中项法 391
6.2 数列证明一一定义法 392
第四节 数列求通项 394
题型 7 由 Sn 求通项 394
题型 8 叠加与叠乘法求通项 396
8.1 叠加法求通项 396
8.2 叠乘法求通项 397
题型 9 构造法求通项 398
第五节 数列求和 404
题型 10 错位相减求和 404
题型 11 裂项相消求和 406
题型 12 分组求和 410
题型 13 倒序相加求和 412
题型 14 绝对值求和 412
题型 15 奇偶求和 413
15.1 邻项求和 413
15.2 奇偶项求和 416
题型 16 放缩求和 418
第六节 数列综合 421
题型 17 数列函数性质 421
17.1 数列最值问题 421
17.2 数列单调性问题 421
17.3 数列周期性问题 422
题型 18 数列公共项问题 423
题型 19 数列的实际应用 423
第十二章 导 数
第一节 导数运算及几何意义 426
题型 1 导数定义 426
题型 2 导数运算 426
题型 3 导数的几何意义与切线方程 428
3.1 切线倾斜角 428
3.2 切线方程求法 429
3.3 已知切线或斜率求参数问题 429
题型 4 公切线问题 431
4.1 切点相同的公切线问题 431
4.2 切点不同的公切线问题 431
题型 5 通过切线求最值问题 432
第二节 单调性问题 433
题型 6 函数单调性求法 433
6.1 简单函数单调性问题 433
6.2 导数为含参一次或类一次型 . 434
6.3 导数为含参二次或类二次型(不能
分解因式) 435
6.4 导数为含参二次或类二次型(能分
解因式) 436
6.5 导数为含参二次或类二次型(缺少
一次项) 437
6.6 二次求导型 438
题型 7 已知单调性求参数 440
7.1 函数在某区间单调求参数 440
7.2 函数存在单调区间求参数 441
7.3 函数在某区间不单调求参数 441
题型 8 构造函数解不等式问题 442
8.1 构造函数解不等式问题(加减类)
443
8.2 构造函数解不等式问题(乘除类)
443
第三节 极值、最值问题 446
题型 9 求函数极值 (点) 问题 446
9.1 求函数极值(点)问题 446
9.2 证明极值存在问题 447
题型 10 已知函数极值 (点) 求参数问题
448
10.1 已知极值点求参数值 448
10.2 已知极值点求参数范围 449
10.3 已知极值个数求参数范围 450
题型 11 求函数最值问题 451
题型 12 已知最值求参数问题 453
题型 13 函数图象问题 454
第四节 恒成立存在性问题 456
题型 14 参变分离法 456
题型 15 分类讨论法 457
题型 16 图象法 459
题型 17 端点取等型 (端点效应) 460
题型 18 特殊点取等型 (极点效应) 462
题型 19 双变量型 463
第五节 零点问题 465
题型 20 零点问题一 图象法 465
题型 21 零点问题一常数赋值 466
题型 22 零点问题- 参数赋值 468
22.1 猜数赋值 469
22.2 经典不等式放缩 469
22.3 消项放缩 471
22.4 限定范围放缩 472
第六节 不等式证明及导数综合 474
题型 23 构造新函数 474
23.1 简单变型构造新函数 474
23.2 指数找基友, 对数单身狗 475
题型 24 隐零点问题 476
题型 25 放缩问题 478
25.1 参数放缩 479
25.2 经典不等式放缩/前问结论放缩
480
25.3 切线放缩 481
题型 26 指对同构 483
题型 27 凹凸反转 (异构) 485
题型 28 双变量问题 486
28.1 极值点偏移 486
28.2 切线夹 489
28.3 同构转化 490
28.4 双极值点问题 491
题型 29 数列不等式 492
题型 30 三角函数与导数 495 第十三章 计数原理
第一节 排列组合 498
题型 1 排列组合的定义及公式 499
题型 2 分类与分步 499
题型 3 可重复问题 501
题型 4 特元特位问题 (特殊优先法)
501
题型 5 相邻问题 (捆绑法) 503
题型 6 不相邻问题 (插空法) 504
题型 7 相同与定序问题 (除序法) 505
题型 8 差异分组分配问题 506
题型 9 无差异分组分配问题 (挡板法)
507
题型 10 正面求解复杂问题 (排除法)
508
题型 11 情况少且规律不强问题 (列举法)
509
题型 12 涂色问题 509
题型 13 数字问题 510
题型 14 站排问题 511
第二节 二项式定理 513
题型 15 二项展开式的特定项与特定项系数
513
题型 16 二项式定理的逆用 515
题型 17 二项式乘积问题 515
题型 18 三项式问题 516
题型 19 二项式系数最值问题 517
题型 20 系数最值问题 517
题型 21 二项式系数和问题 518
题型 22 系数和及其变型问题 (赋值法)
518
题型 23 整除及余数问题 520 第十四章 统计概率
第一节 统 计 521
题型 1 随机抽样 521
题型 2 数据的数字特征 522
题型 3 统计图表 526
题型 4 样本估计总体 529
题型 5 相关性检验 536
题型 6 线性回归方程 539
题型 7 非线性回归方程 542
题型 8 独立性检验 544
第二节 概 率 548
题型 9 随机事件的概率 548
题型 10 古典概型 549
题型 11 独立性 550
题型 12 条件概率 554
题型 13 乘法公式与全概率公式 556
题型 14 离散型随机变量的分布列 557
题型 15 离散型随机变量的期望与方差
558
题型 16 两点分布与二项分布 562
题型 17 超几何分布 565
题型 18 正态分布 568
题型 19 决策型问题 571
题型 20 递推型问题 575
第一章 集合逻辑
第一节 集 合
题型 1: 集合及其表示方法
知识梳理
1. 集合定义:一般地,我们把研究对 象统称为元素,把一些元素组成的总体叫 作集合(简称集),通常用大写英文字母 A , B,C⋯ 表示集合,用小写英文字母 a,b,c⋯ 表示元素.
2. 元素与集合的关系: 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A ,记作 a∈A ; 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于 集合 A ,记作 a∉A .
3. 集合元素的特征: (1) 确定性; (2)互异性; (3)无序性.
4. 几种常见数集: (1) 实数集 R ; (2) 有 理数集 Q ; (3) 整数集 Z ; (4) 自然数集 N ; (5) 正整数集 N+/N* .
5. 集合的表示方法:列举法、描述法、 区间法.
6. 空集: 不含任何元素的集合叫作空 集,记作 ⌀ . 注意: 0∉⌀ .
7. 几类特殊集合的含义:
(1) {x∣y=fx} 表示函数 fx 的定 义域;
(2) {y∣y=fx} 表示函数 fx 的值域;
(3) {x,y∣y=fx} 表示函数 fx 图象上点的坐标构成的集合.
例题解:
例 1 设集合 A=x∣y=lg22-x-1,B=
y∣y=2x,x∈[0,2] ,则 A∩B=
A. [0,2] B. 1,3
C. [1,3) D. 1,4
例 2 (2020 全国 III) 已知集合 A={x,y x,y∈N*,y≥x,B={x,y∣x+y=8} ,则 A∩B 中元素的个数为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
例 3 设 a,b∈R ,集合 A={1,a+b,a} ,集合 B={x∣xax-bx-b=0} ,若 A=B ,则 a= ,b=
强化练习
1. 已知集合 M=y∣y=x2+1,N={x∣y= 9-x2 ,则 M∩N=
A. {x∣1b>0⇒na>nb(n∈ N* .
例题解:
例 1 (2022 上海 14) 已知实数 a,b,c,d 满足 a>b>c>d ,则下列选项中正确的是 ( )
A. a+d>b+c B. a+c>b+d
C. ad>bc D. ac>bd
例 2 (2014 四川 5) 若 a>b>0,cb B. 若 a2>b2⇒a>b
C. 若 1a>1b⇒ay>0 ,则 x2+4yx-y 的最小值为
4. 已知 a>0,b>0,a+b=4 ,则 a+1a2+ b+1b2 的最小值为
题型 21: 齐次化
例题解析
例 1 已知 x,y>0 ,且 x+2y=1 ,则 x+1y+1xy 的 最小值为
例 2 已知 a,b>0 ,且 a+2b=1 ,则 b2+a+12ab 的最 小值为
例 3 已知正实数 a,b 满足 a+2b=2 ,则 1+4a+3bab 的最小值为
强化练：
1. 已知 p,q>0 ,且 p+q=2 ,则 pq+1pq 的最小 值为
2. 已知 a,b>0,a+b=1 ,则 5a+b+4a2ab 的最小 值为
3. 已知 x,y>0 ,且 2x+1y=1 ,则 2x+y+2yx 的 最小值为 ( )
A. 5+42 B. 3+42
C. 9 D. 7
题型 22:换元法
知识梳理
当形式比较复杂时, 可考虑使用换元 法进行化简. 换元之前, 部分题目需要进 行因式分解.
例题解
例 1 当正数 x,y 变化时,则 x2x+y+yx+2y 的 最大值为 ( )
A. 34 B. 63 C. 89 D. 23
例 2 已知实数 x,y 满足 x>y>0 ,且 x+y= 12 ,则 2x+3y+1x-y 的最小值为
例 3 实数 a,b 满足 a>0,b>0,a+b=4 ,则 a2a+1+b2b+1 的最小值是
A. 4 B. 6 C. 32 D. 83
例 4 已知 x,y 为实数且 x+yx-2y=1 , 则 2x2+y2 的最小值为
例 5 若 a>0,b>0 ,且 ab-a-b-5=0 ,则 a+2b 的最小值为
例 6 若 a,b,c>0 ,且 aa+b+c+bc=4- 23 ,则 2a+b+c 的最小值为 ( )
A. 3-1 B. 3+1
C. 23+2 D. 23-2
强化练之
1. 若实数 x,y 满足 xy>0 ,则 xx+y+2yx+2y 的 最大值为 ( )A. 2-2 B. 2+2
C. 4+22 D. 4-22
2. 若 a>0,b>0 ,且 12a+b+1b+1=1 ,则 a+5b 的最小值为
3. 若 x>0,y>0 且 x+y=2 ,则 x2x+4+y2y+2 的最小值为
4. 若 a,b 是正数,且 4a+3b=6 ,则 aa+2b 的最大值为 ( )
A. 98 B. 94
C. 125 D. 9
5. 已知正数 a,b 满足 a+b+1=ab ,则 3a+2b 的最小值是
6. 设 a>b>c,n∈N 且 1a-b+1b-c≥na-c 恒成 立,则 n 的最大值是 ( )
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
题型 23 : 消元法
例题解析
例 1 (2020 江苏 12) 已知 5x2y2+y4=1(x,y∈
R) ,则 x2+y2 的最小值是 例 2 (多选题) 已知 4y-xy=1x>0,y>0 , 且 a0,y>0 恒成立,则 a 的 值可能为 ( )
A. 94 B. 2
C. 74 D. 3
例 3 若 a>0,b>0 ,且 ab-a-b-5=0 ,则 a+2b 的最小值为
强化练习
1. (2017 北京 11) 已知 x≥0,y≥0 ,且 x+y=1 , 则 x2+y2 的取值范围是
2. 已知正数 a,b 满足 1a+1b=1 ,则 1a-1+ 4b-1 的最小值为
3. 已知正数 a,b 满足 a+b+1=ab ,则 3a+2b 的最小值是
题型 24 : 判别式法
知识梳理
判别式法: 已知关于 x,y 的二次式,求 另一个代数式的最值问题, 可将所求式设 为 k ,把原等式化为以 k 为参数,含有 x 或 y 的一元二次方程,结合判别式 Δ≥0 ,求出 k 的取值范围,此方法称为判别式法 (也称 为万能 k 法).
例题解
例 1 (2011 浙江 16) 设 x,y 为实数,若 4x2+ y2+xy=1 ,则 2x+y 的最大值是
例 2 已知正实数 x,y 满足 x+2x+3y+4y= 10,则 xy 的取值范围是
例 3 (2014 浙江 16) 已知实数 a,b,c 满足 a+ b+c=0,a2+b2+c2=1 ,则 a 的最大值 是
强化练
1. (2011 浙江 16) 若实数 x,y 满足 x2+y2+ xy=1 ,则 x+y 的最大值是
2. 已知 x>0,y>0 ,且 1xy+2x+3y=2 ,则 x+ 2y 的最小值为
3. 已知正数 x,y 满足 xy2x+6y=1 ,则 x+ 3y 的最小值为
题型 25 : 柯西不等式
知识梳理
1. 柯西不等式: a12+a22+⋯+an2b12 +b22+⋯+bn2≥a1b1+a2b2+⋯+anbn2 (当且仅当 a1b1=a2b2=⋯=anbn 时等号成立).
2. 柯西不等式的二维形式: a2+b2 c2+d2≥ac+bd2 (当且仅当 ac=bd 时 等号成立).
3. 说明: 柯西不等式为超纲内容, 可 以解决部分高中题目,同学们可以根据自 身情况选择性学习.
例题解:
例 1 实数 x,y 满足 3x2+2y2=6 ,则 2x+y 的最大值是
例 2 已知 2x+y=3 ,则 2x2+4y2 的最小值为
例 3 (2015 重庆 14) 设 a,b>0,a+b=5 ,则 a+1+b+3 的最大值为
强化练习
1. 设 x,y∈R ,且 xy≠0 ,则 x2+1y21x2+ 4y2 的最小值为
2. 实数 x,y 满足 3x2+4y2=12 ,则 z=2x+ 3y 的最小值是
A. -5 B. -6
C. 3 D. 4
3. 已知实数 x,y 满足 2x+1+2y+3=4 , 则 x+y 的最小值是
题型 26 : 权方和不等式
知识梳理
1. 权方和不等式: 若 ai>0,bi>0 ,则 a12b1+a22b2+⋯+an2bn≥a1+a2+⋯+an2b1+b2+⋯+bn (当 且仅当 a1b1=a2b2=⋯=anbn 时等号成立).
2. 权方和不等式的二维形式: 若 a,b , x,y>0 ,则 a2x+b2y≥a+b2x+y (当且仅当 ax =by 时等号成立).
3. 说明: 权方和不等式为超纲内容, 可以解决部分高中题目, 同学们可以根据 自身情况选择性学习.
例题解:
例 1 已知实数 x,y 满足 x>y>0 ,且 x+y= 12 ,则 2x+3y+1x-y 的最小值为 例 2 若正数 x,y 满足 2x+y=2 ,则 4x2y+1+ y22x+2 的最小值为
例 3 已知 a>2b>0,a+b=1 ,则 1a-2b+4b 的 最小值为
强化练习
1. 设 a>1,b>0 ,若 a+b=2 ,则 1a-1+2b 的最 小值为 ( )
A. 3+22 B. 6
C. 42 D. 22
2. 实数 a,b 满足 a>0,b>0,a+b=4 ,则 a2a+1+b2b+1 的最小值是
A. 4 B. 6 C. 32 D. 83
3. 已知 x>-1,y>0 且满足 x+2y=1 ,则 1x+1+2y 的最小值为
第一节 函数概念及其表示
题型 1: 函数定义
知识梳理
1. 函数定义:一般地, 给定两个非空 实数集 A 与 B ,以及对应法则 f ,如果对于 集合 A 中的每一个实数 x ,在集合 B 中都 有唯一确定的实数 y 与 x 对应,则称 f 为 定义在集合 A 上的一个函数.
2. 解题突破口:
(1)定义域、值域为非空数集;
(2)可以多对一, 不可以一对多;
(3) 定义域 =A ,值域 ⊆B .
例题解
例 1 设 M={x∣0≤x≤2},N={y∣0≤y≤ 2} ,给出下列四个图形,其中能表示从集合 M 到集合 N 的函数关系的是 ( )
例 2 以下四个选项中, 是函数的为 ( )
A. y=±x B. x2+y2=1
C. y=2-x2 D. y=x-2+1-x
强化练习
1. 函数 y=fx 的图象与直线 x=1 的交点个 数为 ( )
A. 1 B. 0
C. 0 或 1 D. 1 或 2
2. 如图,其中能表示函数 y=fx 的是
D.
题型 2: 同一函数判定
知识梳理
两个函数相同需满足以下两点:
(1) 定义域相同;
(2) 对应法则 f 相同,即可化为相同的 解析式.
例题解
例 1 下列函数中,与 y=x 是同一函数的 是
(1) y=x2 ; (2) y=lgaax ; (3) y=algax ; (4) y= 3x3; (5) y=nxnn∈N* .
A. (1)(2) B. (2)(3)
C. (2)(4) D. (3)(5)
例 2 下列各组函数是同一函数的是 ( )
(1) fx=-2x3 与 gx=x-2x ;
(2) fx=x 与 gx=x2 ;
(3) fx=x0 与 gx=1x0 ;
(4) fx=x2-2x-1 与 gx=x2-2x-1 .
A. (1)(2) B. (1)(3)
C. (2)(3)(4) D. (1)(4)
强化练习
1. 下列函数中,与函数 y=x 相同的函数 是
A. y=x2x B. y=x2
C. y=lg10x D. y=2lg2x
2. 下列各组函数中, 表示同一函数的是 ( )
A. y=5x5 与 y=x2
B. y=lnex 与 y=elnx
C. y=x-1x+3x-1 与 y=x+3
D. y=x0 与 y=1x0
题型 3: 分段函数求值及解不等式
知识梳理
1. 简单的分段函数可以直接求值或 解不等式;
2. 复杂的分段函数需要分类讨论或 者画图辅助;
3. 分段函数值域问题、恒成立问题及 零点问题,在后续题型中陆续涉及.
题型 3.1 : 分段函数求值
例题解析
例 1 (2015 全国 II 5) 设函数 fx=
1+lg22-x,x2,x-3+a,x≤2. 若 ff6=3, 则 a=
例 3 (2014 浙江 15) 设函数 fx= x2+2x+2,x≤0,-x2,x>0, 若 ffa=2 ,则 a=
例 4 (2017 山东 9) 设 fx=x,01, 且 fa=-3 ,则 f6-a=
A. -74 B. -54
C. -34 D. -14
3. (2009 山东) 定义在 R 上的函数 fx 满足 fx=lg24-x,x≤0,fx-1-fx-2,x>0, 则 f3 的值为 ( )
A. -1 B. -2
C. 1 D. 2
4. (2015 山东 9 ) 设函数 fx=3x-b,x1, 则满足 fx≤2 的 x 的取 值范围为 ( )
A. [-1,2] B. [0,2]
C. [1,+∞) D. [0,+∞) 例 2 (2018 全国 I12) 设函数 fx=2-x,x≤0,1,x>0, 则满足 fx+10 满足 fx+fx-12>1 的 x 的取值范围 是
例 4 (2014 浙江 15) 设函数 fx=x2+x,x2,3x-4,x≤2, 则使得 fx≥1 的自变量的取值范围是2. (2010 江苏 11) 已知函数 fx=x2+1,x≥0,1,xf2x 的 x 的范 围是
3. (2009 天津 8 ) 已知函数 fx=x2+4x,x≥0,4x-x2,xfa ,则实数 a 的取值范围 是
A. -∞,-1∪2,+∞
B. -1,2
C. -2,1
D. -∞,-2∪1,+∞
4. (2015 山东 10) 设函数 fx=3x-1,x0 时, fx1 时, fxy>0 , 则 ( )
A. 1x-1y>0 B. sinx-siny>0
C. 12x-12y0
2. 已知 fx 是定义在 0,+∞ 上的函数. 对 任意两个不相等的正数 x1,x2 ,都有 x2fx1-x1fx2x1-x2 0)的解集
-∞,x1∪x2, +∞)
R
R
ax2+bx+c≤0(a> 0)的解集
x1,x2
-b2a
⌀
IDRO
指数函数
对数函数
解析式
y=axa>0,a≠1
y=lgaxa>0,a≠1
图象
定义域
R
0,+∞
值域
0,+∞
R
单调性
当 0