数学选择性必修 第二册1.1 导数概念及其意义试讲课课件ppt

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1．牛顿关于瞬时速度的研究过程（重点）
2．瞬时速度的概念及求法（重点、难点）
函数f (x)的平均变化率即函数值之差与对应的自变量之差的比．
伽利略通过实验和推理发现了自由落体的运动定律：物体下落的距离s和所用的时间t的平方成正比．如果距离单位用 m，时间单位用s，实验测出它们之间近似地有以下函数关系：s = s(t) = 4.9 t2． 直接让物体从空中下落，它落得很快，不便观察测量．伽利略是让小球从光滑的斜面上由静止滚下来，以便于观察测量． 伽利略发现，小球在斜面上滚下的距离 s (m)和所用的时间 t (s)之间，有函数关系 s = s(t)=at²，这叫作小球的运动方程．这里，a是与斜面的坡度有关的常数．
伽利略看到，重力作用下在斜面上向下滚的小球，随着时间的推移越滚越快．但是，他只知道如何计算一个时间段内的平均速度，却不知道如何计算小球在某一个时刻的速度，即瞬时速度． 百年后，牛顿给出了瞬时速度的概念和计算方法，回答了伽利略的问题． 下面问题的分析与解答展示了他的创意．
设小球在某个斜面上向下滚动的运动方程是s(t) = 3t 2． 要计算小球在2s时运动的瞬时速度，不妨先看看它在2s到2.1s之间的平均速度，即在区间[2，2.1]上的平均速度：
同样，运用计算器可以分别求出更短时间区间内的平均速度（见下表）．
从计算结果可以发现，当时间间隔越来越小时，无论 t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2，对应的平均速度都趋近于12 m/s．
但是，时间间隔的缩小是一个无穷无尽的过程．有限的几次计算，能得出 12m/s 这个确定的结果吗?
用字母代替数，可以将这无穷多次运算一次完成．设d是一个绝对值很小的非零数，在[2，2＋d]（或[2＋d，2]）这段时间内，小球运动的平均速度是
当d越来越趋近于0时，这个平均速度确实越来越趋近于12 m/s． 用数学语言来说，就是“时间段的长度趋近于0时，这段时间内的平均速度以12 m/s为极限”． 这个极限数值，就是小球在2s时的瞬时速度．
应注意的是，这里用“趋近于0”来表述，是因为我们研究的是平均速度趋近于某一时刻的变化过程，在这个过程中，时间间隔 d 虽然越来越短，但始终不能为0．
例6
运动员从10 m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳 t s后运动员相对水面的高度（单位：m）为H(t)=－4.9 t2＋6.5t＋10，计算在2 s时运动员的瞬时速度．
解：运动员在时间段[2，2＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，－4.9d－13.1趋近于－13.1． 因此，在 2s时运动员的瞬时速度是－13.1m/s．
例6
运动员从10 m 高台跳水时，从腾空到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．设起跳 t s后运动员相对水面的高度（单位：m）为H(t)=－4.9 t2＋6.5t＋10，计算在某一时刻 t0 运动员的瞬时速度．
解：运动员在时间段[t0，t0＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，－4.9d－9.8t0＋6.5趋近于－9.8t0＋6.5． 因此，在 t0 时刻运动员的瞬时速度是（－9.8t0＋6.5）m/s．
练习1
已知某物体走过的路程 s（m）与时间 t（s）之间的函数关系式为 s = t2－1．通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度： （1）t = 0s； （2）t = 2s； （3）t = 4s．
解：（1）该物体在时间段[0，0＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，上式趋近于0． 因此，该物体在 0s时刻的瞬时速度是0 m/s．
（2）该物体在时间段[2，2＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，上式趋近于4． 因此，该物体在 2s时刻的瞬时速度是4 m/s．
（3）该物体在时间段[4，4＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，上式趋近于8． 因此，该物体在 4s时刻的瞬时速度是8 m/s．
解法二：该物体在时间段[t0，t0＋d]这个时间区间内的平均速度为 当d趋近于0时，2t0＋d趋近于2t0． 因此，该物体在 t0 时刻的瞬时速度是2t0 m/s．
该物体在 t0 时刻的瞬时速度是2t0 m/s．（1）物体在 0s时刻的瞬时速度是2×0 m/s；（2）物体在 2s时刻的瞬时速度是2×2=4 m/s；（3）物体在 4s时刻的瞬时速度是2×4=8 m/s．
1．已知自由落体的运动方程为 （g为常数），求： （1）落体在t0到t0＋d 这段时间内的平均速度； （2）落体在t = 10 s这一时刻的瞬时速度．
2．一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h (m) 与运动时间t (s) 之间的函数关系为h = t2， 求t = 4 s时此球在垂直方向的瞬时速度．