高中数学1.3 导数在研究函数中的应用精品练习题

这是一份高中数学1.3 导数在研究函数中的应用精品练习题，文件包含湘教版新教材数学高二选择性必修第二册132函数的极值与导数练习原卷版docx、湘教版新教材数学高二选择性必修第二册132函数的极值与导数练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。

一．单项选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知函数，其导函数的图象经过点，．如图，则下列结论
错误的是
A．当时函数取得极大值 B．当时函数取得极小值
C．有两个极值点 D．当时，函数)取得极小值
【答案】D
【解析】由图象可知，，是的零点．又时，；时，，所以是极大值点，是极小值点，故A，B，C正确．故选D．
2．函数的极小值为
A． B． C． D．不存在
【答案】A
【解析】的定义域为，且．令，解得．
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增．
所以的极小值为为．故选A．
3．若函数的极大值为，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，得或．
当时，；时，，所以时取到极大值．
所以，解得．故选C．
4．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是
A．, B．是的极小值点
C．是的极小值点 D．是的极小值点
【答案】D
【解析】为的极大值不一定是最大值，故选项A错误．
因为与关于轴对称，
所以是的极大值点，故选项B错误．
因为与关于轴对称，
所以是的极小值点，故选项C错误．
因为与关于原点轴对称，所以是的极小值点，故选项D正确．故选D．
5．函数的图象大致为

A B C D
【答案】B
【解析】由定义域为，且，
所以当时，；当和时，
即在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，可排除A，D
又，所以在上的最大值小于零，可排除C．故选B．
6．若关于的方程恰有两个解，则实数的值为
A． B． C． D． 以上答案都不对
【答案】C
【解析】令，且．令，得．
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增．
所以的极大值为，极小值为．
因为方程恰有两个解等价于函数恰有两个零点，
所以或，即．故选C．
二．填空题．
7．函数在区间上的最大值为 ．
【答案】
【解析】因为，当时，；当时，．
故在单调递增，在单调递减，所以当时，取得极大值也是最大值．
8．已知函数在处取得极值，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】因为的定义域为，且，
由已知得，所以，解得．
当时，，
当时，，所以单调递减；
当时，，所以单调递增． 所以时，在处取得极小值．
9．已知函数的最小值为，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】的定义域为，且
若，则，于是在上单调递增，故无最小值，不合题意．
若，则
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以当时，取得最小值．由已知得，解得．综上，．
10．已知对于任意，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】对于任意，即恒成立，即恒成立．
令，则，．令，得，所以．
当时，；当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．因此．
令，即，解得，即实数的取值范围为．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．已知函数在点处的切线与直线平行．
（1）求函数的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）．
【解析】（1）的定义域为，．
又曲线在点处的切线与直线平行，所以，即．
所以．
令，得，所以的单调递减区间是；
令，得，所以的单调递增区间是．
（2）由（1）可知，
所以，即恒成立，即恒成立．
令，则．
当时，，所以在上单调递减．
当时，，所以在上单调递增．
所以时，函数取得最小值．
因为恒成立，所以，即实数的取值范围是．
B 组
1．若是函数的极大值点，则实数的值为
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】（解法一）因为，且是的极值点．
所以，解得 或．
若，则．
当或时；当时
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增
所以是的极小值点，所以不合题意．
若，则．
当或时；当时．
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增．
所以是的极大值点，所以符合题意． 故选B．
（解法二）因为, ．
若是的极大值点，则，即，得，所以．故选B．
2．若函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，即在区间上恰有一个解．
即与的图像有一个交点．在单调递减，在单调递增．
且当时，；当时，；当时，．所以．故选C．
3．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数
的图象可能是
【答案】C
【解析】由题意可得，而且当时，，此时，排除B，D；当时，，此时若，，若，，所以函数的图象可能是C．故选C．
4．已知函数，若，都有恒成立，
则实数的取值范围为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若，都有恒成立，则．
因为，令，得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．又，所以，所以．
故实数的取值范围为． 故选D．
5．函数，的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为，所以．令，则．
所以当时，，故在上单调递增．
所以当时，，即，所以在上单调递增．
故当时，取得最小值．
6．已知函数，则的最小值是________．
【答案】
【解析】．
因为，所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增．所以当时，有最小值．
又，所以当时，有最小值，
即．
7．对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立，则实数的取值范围为
．
【答案】
【解析】由得，即．令，则．
“对任意的正数，都存在两个不同的正数，使成立”等价于
“存在两个不同的值使得方程成立，即与的图像有两个交点”．
令，则．令 得．
当时，，所以在单调递增；
当时，，所以在单调递减．
所以．
又当时，；当时，；
所以，即实数的取值范围为．
8．已知，则的最小值为 ．
【答案】2
【解析】设，，
则，即只要最短即可符合题意．
因为点在曲线上，点在曲线上，
又函数的图象和函数的图象关于直线对称，
所以只要求出点到直线的最小值，的最小值等于．
因为，所以，令得，．所以与平行的直线与相切于点，
所以点到直线的最小值，所以的最小值为．
故的最小值等于．
9．已知函数的图象在处的切线与直线垂直．
（1）求的图象在处的切线方程；
（2）证明：当时，．
【答案】（1）；（2）证明详见解析．
【解析】（1）因为，且切线与直线垂直，
所以，所以．
又，所以的图象在处的切线方程为．
（2）令，则．令，得．
当时，，所以在上单调递减．
当时，，所以在上单调递增．
所以时，函数取得最小值．
因为，所以，即在恒成立，
所以在单调递增，所以当时，．
10．已知函数（为常数，且）
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间上有唯一的极值点，求实数和极值的取值范围．
【答案】（1）函数的递增区间是，递减区间是；
（2）的取值范围是；的取值范围是．
【解析】（1）的定义域为，，
当时，，
令，得； 令，得；
所以函数的递增区间是，递减区间是．
（2）令．
若函数在区间上有唯一极值点，则，即在有且只有一个的实根．
因为且的图像是直线或抛物线，
所以，即，所以，所以的取值范围是．
因为，所以，
所以．
因为在上单调递增，且时，，，
所以的取值范围是．