高中湘教版（2019）1.3 导数在研究函数中的应用精品课堂检测

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1．某箱子的体积与底面边长的关系为，则当箱子的体积最大时，箱子底
面边长为
A． B． C． D．
2．某工厂生产一种产品，每个月的固定成本为元，每生产一件产品，成本增加元．已知每个月
该工厂的销售额与月产量的关系是，，则该工厂每个月的利润的最大值为
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
3．一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒
子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则
A．当时，有极小值B．当时，有极大值
C．当时，有极小值D．当时，有极大值
4．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若
，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为
A． B． C． D．
5．若，则函数的最大值为
A． B． C． D．
6．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为的正六棱锥
（如图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点O到底面中心的距离为
A． B． C． D．
二．填空题．
7．已知，，，当取得最小值时，则________．
8．某批发商以每吨元购进一批建筑材料，若以每吨元零售（），销售(单位：吨)与零
售价(单位：元)有如下关系：，则利润的最大值为________元．
9．已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥体积最大时，它的高为________．
10．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为，宽为的矩形，矩形两边、紧靠两
条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．则的面积的最小值为________．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时千米时，燃料费是每小时元，
而其他与速度无关的费用是每小时元，问轮船的速度是多少时，航行千米所需的费用总和最少？
12．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单位：元/千克)
满足关系式，（，为常数）．已知销售价格为元/千克时，每日可售出该商品千克．
（1）求的值；
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．