湘教版（2019）选择性必修 第二册第2章 空间向量与立体几何2.1 空间直角坐标系优质课课件ppt

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1．建立空间直角坐标系（重点）
2．空间直角坐标系中点的坐标表示（重点、难点）
在一条直线上可以建立数轴，将每点的位置用一个实数x来表示． 在一个平面上可以建立平面直角坐标系，将每点的位用两个实数组成有序实数组(x，y)来表示． 那么在空间中怎样表示每个点的位置呢？
很自然地，我们会想到先说明飞机在海面上哪一点P'的上空，再说明飞机在海面上的高度|P'P|．
在空间中怎样表示每个点的位置呢？例如，如何刻画在海面上空飞行的飞机的位置P？
如图，将海面看成一个平面，从飞机在空中所在位置向海平面作垂线 PP'，垂足为P'，则飞机在 P'上空．
为了刻画 P' 在海平面上的位置，在海平面上建立平面直角坐标系，则P' 可以由它在这个坐标系中的坐标(x，y)来刻画．
又由于飞机在海平面上空的高度|P'P| = z是一个实数，因而将x，y，z这三个实数组成有序实数组(x，y，z)，它就刻画了飞机的位置 P，称之为点P的坐标．
例如，(x，y，z)=(2，3，2)，单位长度为1 km；就说明飞机在海平面坐标为(2，3)的位置上空，高度为2 km． 用这个方法不但可以刻画空中飞机的位置，还可以刻画水下潜艇的位置． 例如，潜艇坐标为(2，3，－0.5)，就说明它位于海平面坐标为(2，3)的位置正下方，且在海平面以下0.5 km处．
为了确定空间中的点的位置，我们可以在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz，如图．
在空间直角坐标系O-xyz中，由两条坐标轴确定的平面叫坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，xOz平面．
根据上述实例，我们该怎么建立空间直角坐标系呢？
斜二测画法画空间直角坐标系： 在平面上画空间直角坐标系时，为增强直观性，一般使∠xOy=135°，上∠yOz=90°． 同时，还要注意在 y轴、z轴上的线段长度都与原来的长度相同，而在 x 轴上的线段长度则取原来长度的一半．
建立空间直角坐标系时，一般将 x轴和 y轴放置在水平面上，那么 z轴就垂直于水平面．
它们的方向通常符合右手螺旋法则，即伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x 轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90°指向 y 轴正方向，此时大拇指的指向即为 z轴正方向． 我们也称这样的坐标系为右手系（如图 ）．
有了空间直角坐标系，我们就能够建立空间中任意点P与三个实数组成的有序实数组(x，y，z)之间的对应关系．
如图 ，若点 P不在三个坐标平面内，则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C． 设交点A，B，C分别代表唯一的实x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)．
这就建立了空间中的点 P与有序实数组(x，y，z)之间的一一对应关系． 此时，有序实数组(x，y，z)称为点 P的坐标，记作 P(x，y，z)，其中x称为点 P的横坐标，y称为点 P的纵坐标，z称为点 P的竖坐标．
反过来，给定有序实数组(x，y，z)，我们可以在 x轴、y轴和z轴上依次选取坐标为 x，y，z 的点A，B，C，过这三点分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，则这三个平面的唯一交点就是有序实数组(x，y，z)所确定的点 P．
在空间直角坐标系中，原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)．
xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)．
例1
在空间直角坐标系中，描出下列各点： （1）A(0，0，4)； （2）B(3，－3，0)； （3）C(1，2，3)．
例2 长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8，|AD|=3，|AA'|=5．建立适当的空间直角坐标系，并求顶点A，B，C，D，A'，B'，C'，D'的坐标．
解：如图，以A为原点，分别以有向直线AB，AD，AA'为x轴、y轴、z轴的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系A-xyz，则点A，B，C，D 都在平面xAy内，因而其竖坐标z都为0，因此 A，B，C，D的坐标分别是 A(0，0，0)，B(8，0，0)，C(8，3，0)，D(0，3，0)．
由于点A'，B'，C'，DF'都在一个垂直于z轴的平面A'B'C'D'内，又|AA' |=5，所以这四点的竖坐标z都是5． 又过A'，B'，C'，D'分别作xAy平面的垂线，垂足分别为A，B，C，D，因此A'，B'，C'，D'的横坐标x、纵坐标y分别与A，B，C，D的横坐标x、纵坐标 y相同． 因此A'，B'，C'，D'的坐标分别是A' (0，0，5)，B' (8，0，5)，C' (8，3，5)，D' (0，3，5)．
练习1
在空间直角坐标系中，描出下列各点： （1）A(－1，0，1)； （2）B(0，－1，－2)； （3）C(－1，－2，2)．
[拓展]如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC中点．将正方形 ABCD沿对角线BD折起，使得平面 BCD⊥平面ABD．建立合理的空间直角坐标系并求出E，F两点的坐标．
[拓展]如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC中点．将正方形 ABCD沿对角线BD折起，使得平面 BCD⊥平面ABD．建立合理的空间直角坐标系并求出E，F两点的坐标．
取BD中点O，连接CO，AO，则AO⊥BD，CO⊥BD．又平面 BCD⊥平面ABD，且平面BCD ∩平面ABD=BD，CO⊂平面BCD，所以CO⊥平面ABD，所以CO⊥AO．即AO，BO，CO三线两两垂直．
以O为原点，以有向直线OA，OB，OC分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
因此E，F的坐标分别是
[拓展]分别求出点A(2，3，4)，B(1，－2，3)关于各个坐标平面、坐标轴、原点对称的点的坐标．
解：点A(2，3，4)，关于坐标平面xOy的对称点的坐标为A1(2，3，－4)；关于坐标平面xOz的对称点的坐标为A2(2，－3，4)；关于坐标平面yOz的对称点的坐标为A3(－2，3，4)．
分析：点(x，y，z)在坐标平面xOy上的射影为(x，y，0)，在坐标平面xOz上的射影为(x，0，z)，在坐标平面yOz上的射影为(0，y，z)．
解：点A(2，3，4)，关于x轴的对称点的坐标为A4(2，－3，－4)；关于y轴的对称点的坐标为A5(－2，3，－4)；关于z轴的对称点的坐标为A6(－2，－3，4)；关于原点轴的对称点的坐标为A7(－2，－3，－4)．
解：点B(1，－2，3)，关于坐标平面xOy的对称点的坐标为B1(1，－2，－3)；关于坐标平面xOz的对称点的坐标为B2(1，2，3)；关于坐标平面yOz的对称点的坐标为B3(－1，－2，3)．
解：点B(1，－2，3)，关于x轴的对称点的坐标为B4(1，2，－3)；关于y轴的对称点的坐标为B5(－1，－2，－3)；关于z轴的对称点的坐标为B6(－1，2，3)；关于原点轴的对称点的坐标为B7(－1，2，－3)．
空间直角坐标系中，点关于坐标平面和坐标轴及原点的对称点：点(x，y，z)， 关于坐标平面xOy的对称点的坐标为(x，y，－z)； 关于坐标平面xOz的对称点的坐标为(x，－y，z)； 关于坐标平面yOz的对称点的坐标为(－x，y，z)； 关于x轴的对称点的坐标为(x，－y，－z)； 关于y轴的对称点的坐标为(－x，y，－z)； 关于z轴的对称点的坐标为(－x，－y，z)； 关于原点轴的对称点的坐标为(－x，－y，－z)．
空间直角坐标系的建立： 在空间中任取一点O，以O为原点，作三条两两垂直的有向直线Ox，Oy，Oz，在这三条直线上选取共同的长度单位，分别建立坐标轴，依次称为x轴、y轴、z轴，从而组成了一个空间直角坐标系O-xyz，如图．
空间直角坐标系中，点的坐标： 若点 P不在三个坐标平面内，则过点 P分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点A，B，C．设交点A，B，C分别代表唯一的实x，y，z，将这三个实数按顺序排成(x，y，z)，那么点P就对应唯一确定的有序实数组(x，y，z)． 原点的坐标为O(0，0，0)，x轴上的点的坐标为(x，0，0)，y轴上的点的坐标为(0，y，0)，z轴上的点的坐标为(0，0，z)． xOy平面内的点的坐标为(x，y，0)，yOz平面内的点的坐标为(0，y，z)，xOz平面内的点的坐标为(x，0，z)．
P59 习题2.1 第2题 第3题（改为求坐标轴和坐标平面的对称点坐标）