高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册2.4 空间向量在立体几何中的应用精品课时训练

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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，直线的一个方向向量为．故选C．
2．若是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面的法向量的是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，所以也为平面的法向量．故选D．
4．已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内
的是
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，所以．
又，所以，即．
经验证满足上述方程．故选A．
5．如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为
的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设正方体棱长为，则，
所以．设平面的一个法向量， 则
，取，得，所以是平面的一个法向量．
因此可得，只有B选项的向量是平面的法向量．故选B．
6．(多选题)在如图所示的坐标系中，为正方体，则下列结论中正确的是
A．直线 的一个方向向量为
B．直线的一个方向向量为
C．平面的一个法向量为
D．平面的一个法向量为
【答案】ABD
【解析】设正方体棱长为，则，
所以，故选项A正确；，故选项B正确；
因为平面即为坐标平面，所以与轴平行的向量均为它的法向量，故选项C错误；
所以．设平面的一个法向量， 则
，取，得，所以是平面的一个法向量．
故选项D正确．故选ABD．
二．填空题（每小题5分）．
7．若向量，都是直线的方向向量，则 ．
【答案】
【解析】因为，都是直线的方向向量，所以．因此，解得，
所以．
8．在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量是，且平面过点．若
是平面上任意一点，则点的坐标满足的方程是 ．
【答案】
【解析】因为，又，
所以，即．
9．已知，，，则平面的一个法向量是 ．
【答案】答案不唯一，平面的法向量是(其中为非零实数)；
【解析】依题意，得，．设平面的一个法向量， 则
，取，得，所以是平面的一个法向量．
10．已知直线的一个方向向量为，且过点．若平面过直线与点，
则平面的一个法向量是 ．
【答案】答案不唯一，平面的法向量是(其中为非零实数)；
【解析】依题意，得．设平面的一个法向量， 则
，取得，，所以是平面的一个法向量．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．四边形是直角梯形，，，平面，，，
建立适当的空间直角坐标系，并求平面和平面的法向量．


【答案】详见解析．
【解析】依题意，可知，，是三条两两垂直的线段，所以以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以是平面的一个法向量．
因为，
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
12．如图，在长方体中，为棱的中点，点在长方体的面内，且
平面．试探讨点的确切位置．
【答案】因此点在棱与的中点的连线上．
【解析】设，，，
以为原点，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，
如图所示．
则
所以，
又平面，所以共面，
根据空间向量基本定理知，必存在实数对，使得
，即
所以，解得，，即．
因此点在棱与的中点的连线上．