高中数学2.4 空间向量在立体几何中的应用精品巩固练习

这是一份高中数学2.4 空间向量在立体几何中的应用精品巩固练习，文件包含湘教版新教材数学高二选择性必修第二册242空间线面位置关系的判定练习原卷版docx、湘教版新教材数学高二选择性必修第二册242空间线面位置关系的判定练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共9页， 欢迎下载使用。

1．若两条不重合直线和的方向向量分别为，则直线和的位置关系是
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
【答案】A
【解析】因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，
所以，因此，故选A．
2．在正方体中，若为中点，则直线垂直于
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设正方体棱长为，如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
，
所以，，
所以，所以，即．故选B．
3．设直线的方向向量为，，，为平面的三点，则直线与
平面的位置关系是
A． B． C． D．或
【答案】C
【解析】依题意，，所以，．
因此，，即，．又，所以．故选C．
4．在空间直角坐标系中，点，，，点在坐标平面内．若平
面，则点的坐标为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，，．设，则．
因为平面，所以，解得，即．故选C．
5．设是平面外一点，点满足条件，则直线
A．与平面平行B．是平面的斜线
C．是平面的垂线D．在平面内
【答案】D
【解析】因为，
移项，得，
所以，即．
由此可得向量、、是共面向量，由此可得直线在平面内．故选D．
6．(多选题)在直四棱柱中，，，，
则下列结论正确的是
A．在棱上存在点，使得平面
B．在棱上存在点，使得平面
C．若在棱上移动，则
D．在棱上存在点，使得平面
【答案】ABC
【解析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，则
，
所以，，设平面的一个法向量， 则
，取，得，所以是平面的一个法向量．
对于选项A：设，则，令，可得，所以当为中点时，平面，故选项A正确；
对于选项B：设，则，所以．
令，可得，所以当为中点时，平面，故选项B正确；
对于选项C：设，则．又，所以，
所以当在棱上移动，故选项C正确；
对于选项D：设，则．令，即，则，方程组无解，故与不可能平行，所以不垂直平面，故选项D错误．故选ABC．
二．填空题（每小题5分）．
7．若平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，，则实数
．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，解得．
8．已知，，若，，且平面，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以．
又因为平面，所以，，所以，
解得．因此．
9．已知空间三点，，，若直线上一点，满足，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】依题意，得．
设，则，所以．
若，则，解得，即．
10．已知点是平行四边形所在平面外一点，如果，，
．有下列结论：①；②；③是平面的法向量；
④．其中正确的有 ．
【答案】①②③
【解析】因为，所以，故①正确；
，所以，故②正确；由①②正确，可得③正确；
又，，显然不平行．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分12分）
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，
，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面．
【解析】（解法一）
（1）证明：取中点，连结，，
因为，，所以，所以是平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面．
（2）证明：因为，，，所以，所以．
因为平面平面，平面，所以．
又，所以平面．
（解法二）
因为平面平面，平面平面，平面，所以．
又，所以平面．因此，，两两垂直．
如图，以为原点，以，， 的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则
．
（1）因为，且为平面的一个法向量．
因此，所以．
又平面，所以平面．
（2），，．
设平面的一个法向量， 则
，取，得，
所以是平面的一个法向量．
因此，所以平面．
12．（本小题满分12分）
如图所示，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
（1）若为侧棱上的中点，证明平面；
（2）若平面，则侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
【解析】（1）证明：如图所示：连接与交于点，连接．
因为四边形是正方形，所以为中点，又为侧棱上的中点，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）如图，所示建立空间直角坐标系．
设侧棱SC上存在一点，使得平面，且，设正方形ABCD的边长为1，
则，
所以，
则，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
若平面，则，解得，
所以侧棱上存在一点，使得平面PAC，且．
13．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，点在棱上，，，，分别为，，的中点，与相交于点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
【解析】（1）设，建立如图所示空间直角坐标系，
，
所以，，，
所以，
即，
所以平面．
（2），，
所以，
即，所以平面，所以平面平面．