高中数学湘教版（2019）选择性必修 第二册3.2 离散型随机变量及其分布列精品测试题

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1．设随机变量的分布列由确定，，则的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意得：，解得．故选B．
2．设随机变量的概率分布列如表所示，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以或，
所以或．故选D．
3．设，随机变量的分布列是
则当在内增大时
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【解析】方法1：由分布列得，
则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
方法2：则，
则当在内增大时，先减小后增大．故选D．
4．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位
成员中使用移动支付的人数，，，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以或，
因为，
所以，可知，故．故选C．
5．已知随机变量的分布列如表所示，若，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可得，解得，
所以．故选D．
6．学校要从10名候选人中选2名同学进入学生会，其中高一（1）班有4名候选人，假设每名候选人都有
相同的机会被选到，若表示选到高一（1）班的候选人的人数，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】（解法一）的可能取值有0，1，2，
且，，，
所以．故选D．
（解法二）依题意，得，所以．故选D．
二．填空题（每小题5分）．
7．设离散型随机变量的期望为，则__________．
【答案】
【解析】．
8．已知随机变量的分布列如表所示，则__________．
【答案】
【解析】因为，所以，
所以．
因此，
所以．
9．为加快新冠肺炎检测效率，某检测机构采取“合1检测法”，即将个人的拭子样本合并检测，若为阴
性，则可以确定所有样本都是阴性的；若为阳性，则还要对本组的每个人再做检测．若有100人，已知其中2人感染病毒，采用“10合一检测法”，若2名患者在同一组，则总检测次数为__________次；若两名感染患者在同一组的概率为，定义随机变量为总检测次数，则数学期望为__________．
【答案】
【解析】采取“合1检测法”，每组检查一次，共需10次，又两名患者在同一组，需再检查10次，因此一共需要检查20次；
由题意得，随机变量可能取的值是20，30，且，，
所以随机变量的分布列为：
所以．
10．某次考试共有12个选择题，每个选择题的分值为5分，每个选择题四个选项且只有一个选项是正确的．
学生对12个选择题归每个题的四个选择项都没有把握，最后选择题的得分为分，学生对12个选择题中每个题的四个选项都能判断其中有个选项是错误的，对其它三个选项都没有把握，选择题的得分为分，则__________．
【答案】
【解析】设A学生B学生答对的题数分别为 则．
依题意可知均服从二项分布，即，
所以，
又，所以， 所以．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
11．（本小题满分10分）
将9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0．5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑里的种子都没发芽，则这个坑需要补种，假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用表示补种费用，写出的分布列并求的数学期望．
【答案】分布列相见解析，期望．
【解析】因为每坑内的3粒种子都不发芽，即需要补种的概率为．
依题意，得的可能取值为0，10，20，30．
又，，
，，
所以的分布列为
所以．
12．（本小题满分10分）
某市甲，乙两所中学的学生组队参加辩论赛，甲中学推荐了3名男生、2名女生，乙中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
（1）求甲中学至少有1名学生入选代表队的概率．
（2）某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛．设表示参赛的男生人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列详见解析，期望．
【解析】（1）设事件表示“甲中学至少有1名学生入选代表队”，
则．
（2）由题意，的可能取值为1，2，3．
又，，，
所以的分布列为
所以．
13．（本小题满分12分）
从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．
（1）设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．
【答案】（1）分布列详见解析，期望；（2）．
【解析】（1）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3．
，
，
，
．
所以，随机变量的分布列为
随机变量的数学期望．
（2）设表示第1辆车遇到红灯的个数，表示第2辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
．
所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为．
14．（本小题满分12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：°C）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
【答案】（1）分布列详见解析；（2）．
【解析】（1）由题意知，所有可能取值为200，300，500，由表格数据知
，，．
因此的分布列为
（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑．
当时，若最高气温不低于25，则；
若最高气温位于区间，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
当时，
若最高气温不低于20，则；
若最高气温低于20，则；
因此．
所以n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．
2
3
4
eq \f(1,4)
eq \f(1,6)
1
2
4
P
X
P
0
10
20
30
1
2
3
0
1
2
3

最高气温
[10，15）
[15，20）
[20，25）
[25，30）
[30，35）
[35，40）
天数
2
16
36
25
7
4
0．2
0．4
0．4