专题01 第1章 集合与逻辑（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第1章 集合与逻辑【课本目录】
1.1 集合初步
1.1.1 集合；1.1.2 集合的表示方法；1.1.3 集合之间的关系；1.1.4 集合的运算
1.2 常用逻辑用语
1.2.1 命题；1.2.2 充分条件与必要条件；1.2.3 反证法
本章内容提要
1. 集合的概念与表示：
（1） 集合是一些确定对象的全体.集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征.常用数集有等；
（2）空集是不含任何元素的集合；
（3）当时，满足的所有实数组成的集合记作开区间，满足的所有实数组成的集合记作闭区间等；
2. 集合的关系与运算：
（1）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合；
（2） 集合与的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作；集合与的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作；
（3）相对于全集，其任一子集均有补集.一个集合的补集是指在全集中而不在中的全体元素所组成的集合，记作；
3. 命题
（1）命题是指能判断其真假的语句；（2）命题有真、假两类；
4. 充分条件与必要条件：
（1）当时，是的充分条件，是的必要条件；
（2）当时，是的充要条件.此时，在推理过程中与能互相替换；
5. 反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法；
题型1、集合的含义与表示
例1、（1）设集合B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若1∈B，则B＝（ ）
A．{1，3} B．{1，0}
C．{1，－3} D．{1，5}
（2）)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{(x，y)|x≥y，x∈A，y∈A}中元素的个数是 个；
【说明】解决集合含义问题的关键：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题；
特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性；
题型2、集合与集合间的关系
例2、（1）设集合A＝{x||x－a|＝1}，B＝{－1，0，b}(b＞0)．若A⊆B，则对应的实数对(a，b)有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
（2）已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＞a}．若A⊆B，则实数a的取值范围是________．
【说明】1、子集个数的求解方法：
（1）穷举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数，适用于集合中元素个数较少的情况；
（2）公式法：含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集的个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2；
2、已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的条件，解决这类问题常常要合理利用数轴、文氏图或图象帮助分析；
题型3、集合的相关运算
例3、（1）已知集合A＝{x|0＜lg4x＜1}，B＝{x|ex－2≤1}，则A∪B＝（ ）
A．(－∞，4) B．(1，4)
C．(1，2) D．(1，2]
（2）若集合A＝{x|2x2－9x＞0}，B＝{y|y≥2}，则(∁RA)∪B＝ ( )
【说明】解答集合间的运算问题，关键是：利用相关知识化简已知集合，明确集合的元素是什么？满足什么性质？
题型4、依据集合运算求参数或范围
例4、（1）设集合A＝{x|x(4－x)＞3}，B＝{x||x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（ ）
A．a≤1 B．a＜1
C．a≤3 D．a＜3
（2）设A＝{－4，2a－1，a2}，B＝{a－5，1－a，9}．已知A∩B＝{9}，则a＝________，A∪B＝________.
【说明】根据集合运算的结果确定参数值或范围的步骤；主要是利用相关知识化简已知集合；同时明确集合的运算与性质；在进行集合运算时，列出方程或不等式（组）求相关的参数；
题型5、数形结合解答有关集合问题
例5、（1）图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A．∁U(A∪C)∩B B．(A∪B)∪(B∪C)
C．(A∪C)∩(∁UB) D．∁U(A∩C)∪B
（2）调查了100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对于既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是（ ）
A．最多人数是55 B．最少人数是55
C．最少人数是75 D．最多人数是80
【说明】通过本题说明，解解答集合问题时，用好数轴、直角坐标系、文氏图，往往可以化抽象为具体；
题型6、例析与集合有关的新定义问题
例6、（1）对于任意两个自然数m，n，定义某种⊗运算如下：当m，n都为奇数或偶数时，m⊗n＝m＋n；当m，n中一个为偶数，另一个为奇数时，m⊗n＝mn.则在此定义下，集合M＝{(a，b)|a⊗b＝18，a∈N，b∈N}中的元素个数为（ ）
A．26 B．25
C．24 D．23
（2）已知集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，若对于任意x∈A，y∈B，x＜y恒成立，则称(A，B)为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有________个．
【说明】与集合有关的新定义问题，需要认真审题，搞清新定义含义，从而顺利解决问题．新定义问题特点是“新”，并不代表“难”，所以面对此问题时，克服畏难情绪很重要；
题型7、充要条件的判断
例7、（1）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（2）设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围是______________________
【说明】1、充分、必要条件的判断方法：
（1）利用定义判断：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么；
（2）从集合的角度判断：利用集合中包含关系判定，即可解决充分、必要性的问题；
2、不能将“若p，则q”与“p⇒q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p⇒q”，即“p⇒q”⇔“若p，则q”为真命题．
题型8、充要条件与必要条件的应用
例8、（1）若x＞0，则x＋eq \f(2 024,x)≥a恒成立的一个充分条件是( )
A．a＞80 B．a＜80
C．a＞100 D．a＜100
（2）若“x2－2x－8＞0”是“x＜m”的必要不充分条件，则m的最大值为________．
【说明】已知充分、必要条件或充要条件求参数取值范围的策略：
1、巧用转化求参数：把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形；
2、端点值慎取舍：在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍；
题型9、理解与用好反证法
例9、（1）用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设（ ）
A．B．C．且D．或
【说明】本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题.
（2）设a,b,c分别是的三条边,且；我们知道，如果为直角三角形，那么(勾股定理)；反过来，如果，那么为直角三角形(勾股定理的逆定理)；由此可知, 为直角三角形的充要条件是；请利用边长a,b,c分别给出为锐角三角形和钝角三角形的一个充要条件，并证明；
【说明】本题主要考查了锐角与钝角三角形的充分必要条件证明；证明时注意用反证法；.
题型10、巧用补集思想解题
例10、（1）已知集合A＝{x∈R|2≤x＜3}，B＝{x∈R|k－1≤x＜2k－1}，若A∩B≠A，求实数k的取值范围；
（2）设集合A＝{x|a≤x≤a＋4}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．
【说明】在讨论一些较为复杂的问题时，可以先求解问题的反面，采用“正难则反”的解题策略，这就是补集思想；具体的讲，就是将研究对象的全体视为全集，求出使问题反面成立的集合A，则A的补集即为所求；补集的性质A＝∁U∁UA为我们提供了“正难则反”的解题思想——补集思想，有些数学问题，若直接从正面解决，要么解题思路不明朗，要么需要考虑的因素太多，因此，考虑用补集思想考虑其对立面，从而化繁为简，化难为易，开拓新的解题思路.
题型11、例析综合题与创新题
新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；
例11、学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义：
（1）；（2）；
【说明】本题考查了交集和并集的定义的理解，属于简单题.
例12、 已知A={满足条件p},B={满足条件q},
（1）如果,那么p是q的什么条件?
（2）如果,那么p是q的什么条件?
（3）如果,那么p是q的什么条件?
【提示】（1）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
（2）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
（3）根据集合间的基本关系判断和的包含关系再即可.
【说明】本题主要考查了集合的关系与充分必要条件的关系；
例13、已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的________(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)条件．
例14、设证明:的充要条件是.
【说明】本题主要考查了充分必要条件的证明,需要分别证明充分性与必要性；
例15、已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}．
（1）若(∁RA)∪B＝R，求a的取值范围；
（2）是否存在a使(∁RA)∪B＝R且A∩B＝∅？
【说明】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为AB或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面；
例16、已知a≥eq \f(1,2)，y＝－a2x2＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条件是c≤eq \f(3,4).
【说明】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解；
【备用题】
1、已知关于的不等式的解集为不等式的解集；
（1）设不等式等式的解集为，求；
（2）若的解集为且是的一个必要不充分条件，求实数的取值范围；
2、定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为.
（1）求的长度；
（2）函数（，）的定义域与值域都是（），求区间的最大长度；
（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围；
【说明】本题考查一个新定义问题，即区间的长度，本题解题的关键是对于条件中所给的三种不同的
题目进行整理变化，灵活解答函数的最值问题和恒成立问题.
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的取值为
2、若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一个元素，则实数a的取值范围是________．
3、设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∪(∁UB)＝________________
4、命题“对于任意的1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是_______________
5、定义集合运算：A⊙B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A⊙B的所有元素之和为________．
6、已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x |y＝lg(x－3) }，则图中阴影部分表示的集合为
7、已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3))，则具有性质“若x∈A，则eq \f(1,x)∈A”的A的所有非空子集的个数为 个
8、已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1,2,3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为________________
9、已知“x2－x－2＞0”是“2x＋p＞0”的必要条件，则实数p的取值范围是________．
10、若“x2－x－6＞0”是“x＞a”的必要不充分条件，则a的最小值为________．
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
12、已知集合A＝{1,2,3，…，n}( n≥2，n∈N)，集合B＝{j1，j2，…，jk}(k≥2，k∈N)是集合A的子集．若1≤j1＜j2＜…＜jk≤n且ji＋1－ji≥m(i＝1,2，…，k－1)，符合题意的集合B的个数记为n(k⊕m)，则7(3⊕2)＝（ ）
A．9 B．10
C．11 D．12
13、若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2,3)”是“B⊆A”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
14、满足“闭合开关K1”是“灯泡R亮”的充要条件的电路图是（ ）
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．
（1）当m＝－1时，求A∪B；
（2）若A⊆B，求实数m的取值范围．
16.（本题10分）
已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：eq \f(1,x)＜eq \f(1,y)的充要条件是xy＞0.
17.（本题满分12分）
已知函数的定义域为集合A，关于x的不等式的解集为B.
（1）当m=2时，求；
（2）若x∈A是x∈B的充分条件，求实数m的取值范围；
18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）
已知命题，为假命题，记实数的取值为集合．
（1）求集合；
（2）设关于的不等式的解集为，若__________，求实数的取值范围．
从①“”是“”的充分不必要条件；
②“”是“”的必要不充分条件；
这两条件中任选一个，填入上面的横线中，并解答；
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分；