专题02 等式与不等式（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第2章 等式与不等式【课本目录】
2.1 等式与不等式的性质：2.1.1 等式的性质与方程的解集；2.1.2 一元二次方程的解集与根与系数的关
系；2.1.3 不等式的性质
2.2 不等式的求解：2.2.1 一元一次不等式及一元一次不等式组的求解；2.2.2 一元二次不等式的求解；
2.2.3 分式不等式的求解；2.2.4 含绝对值不等式的求解
2.3 基本不等式及其应用；2.3.1 平均值不等式及其应用（1）；2.3.1 平均值不等式及其应用（2）；
2.3.2 三角不等式；
本章内容提要
实数大小的比较：；；；
等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；
不等式的基本性质
传递性 如果，且，那么；
加法性质 如果，，那么；
乘法性质 如果，，那么；如果，，那么；
一元二次方程的根与系数关系：
设（）的两根为、，则，；
5. 一元二次不等式的求解（下表中均假设，而）
6. 基本不等式
平均值不等式 （，）当且仅当时等号成立；
常用不等式 ，当且仅当时等号成立；，当且仅当时等号成立.
三角不等式 ，当且仅当时等号成立；
题型1、比较两数（式）的大小
例1、（1）已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜N B．M＞N
C．M＝N D．不确定
（2）若a＞0，b＞0，则p＝与q＝的大小关系是
【说明】比较大小常用的方法：
1、作差(商)法：作差(商)⇒变形⇒判断；
2、构造函数法：利用函数的单调性比较大小；
3、中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取“0”或“1”作为中间量；
题型2、涉及对不等式性质的理解
例2、（1）若a＞b，则下列结论正确的为（ ）
A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b
C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|
（2）对于实数a，b，c，下列命题中正确的序号是
①若a＞b，则ac＜bc； ②若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；
③若c＞a＞b＞0，则eq \f(a,c－a)＞eq \f(b,c－b)； ④若a＞b，eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，则a＞0，b＜0；
【说明】涉及需理解不等式性质解答的题，解决此类题目常用的三种方法；
1、直接利用不等式的性质逐个验证．
2、利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．
3、利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断；
题型3、不等式性质的应用
例3、（1）小明同学的妈妈是某省援鄂医疗队的队员，为了迎接胜利归来的英雄母亲，小明准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高
C．价格相同 D．不确定
（2）已知0【说明】利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围．解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解取值范围；
题型4、对平均值不等式的理解与应用
例4、（1）小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(aA．aC.eq \r(ab)【说明】对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：
1、不等式成立的条件是a，b都是正数；
2、“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)；仅当a＝b时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)的等号成立，即eq \f(a＋b,2)＝eq \r(ab)⇒a＝b；
（2）如果0【说明】运用基本不等式比较大小的注意点：
1、要灵活运用基本不等式，特别注意其变形；
2、应注意成立的条件，即a＋b≥2eq \r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b；
题型5、结合平均值不等式利用配凑法求最值
例5、（1）若－4＜x＜1，则f(x)＝eq \f(x2－2x＋2,2x－2)（ ）
A．有最小值1 B．有最大值1
C．有最小值－1 D．有最大值－1
（2）设0＜x＜eq \f(3,2)，则函数y＝4x(3－2x)的最大值为________．
【说明】配凑法求最值的实质及关键点：配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键；
题型6、结合平均值不等式利用常数代换法求最值
例6、（1）已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为（ ）
A．eq \f(3,2)＋eq \r(2) B．eq \f(3,4)＋eq \f(\r(2),2)
C．3＋2eq \r(2) D．eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3)
（2）已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________．
【说明】常数代换法求解最值的基本步骤：
1、根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
2、把确定的定值(常数)变形为1；
3、把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；
4、利用基本不等式求解最值；
题型7、结合平均值不等式利用消元法求最值
例7、（1）已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________．
（2）已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．
【说明】利用消元法求最值的技巧：消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解，但应注意各个元的范围；
题型8、平均值不等式在实际问题中的应用
例8、（1）如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，
以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试将y表示成x的表达式．
（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？
【说明】数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程，其一般步骤是：建模→解模→回归验证；
（2）如图，某生态园将一个三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园种植桃树，已知A为120°，AB，AC的长度均大于200米，现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆；
（1）若围墙AP与AQ总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，
造价均为每平方米100元．若围围墙用20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
【说明】利用基本不等式求解实际问题的两个注意点：
1、利用基本不等式解决实际问题时，应明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解；
2、在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解；
题型9、一元二次不等式的解法
例9、（1）不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>3或x<－\f(1,2))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)≤x≤3))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥3或x≤－\f(1,2))))) D．R
【说明】解一元二次不等式的一般步骤：
1、将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)；
2、求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根；
3、画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中；
4、观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集；
（2）关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)≤x≤2))))；求不等式cx2＋bx＋a<0的解集；
【说明】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循
1、根据解集来判断二次项系数的符号；
2、根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式；
3、约去 a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解；
题型10、含参数的一元二次不等式的解法
例10、（1）解关于x的不等式x2－(3a－1)x＋(2a2－2)>0.
（2）解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(x∈R)．
【说明】解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算；
题型11、与一元二次不等式有关的恒成立问题
例11、（1）若一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A．(－3，0] B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0)
（2）若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是
【说明】一元二次不等式在R上恒成立的条件（也就是：形如f(x)≥0(f(x)≤0)在R上恒成立问题）
题型12、一元二次不等式在给定区间上恒成立问题
例12、（1）若对任意的x∈[－1，2]，都有x2－2x＋a≤0(a为常数)，则a的取值范围是（ ）
A．(－∞，－3] B．(－∞，0]
C．[1，＋∞) D．(－∞，1]
（2）设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于任意x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是_________
【说明】一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法（即：形如f(x)≥0在区间[a，b]上恒成立问题）
1、若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值（或范围）；
2、转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；
f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a；
题型13、一元二次不等式在给定区间上恒成立确定x的取值范围问题
例13、（1）设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于任意m∈[1,3]，f(x)＜－m＋4恒成立，则实数x的取值范围
为________________________．
（2）对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【说明】一元二次不等式在参数某区间上恒成立确定变量x取值范围的方法（即：形如f(x)≥0(在参数m∈[a，b]上恒成立)确定x的取值范围）
解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解；
题型14、一元二次不等式的实际应用
例14、（1）商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（ ）
A．11元 B．16元
C．12元到16元之间 D．13元到15元之间
（2）某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是
【说明】利用一元二次不等式解决实际问题，应理解题意，明确数量关系，并引入变量，依题意建立数学模型，列出一元二次不等式，然后求解；
题型15、有关不等式的新颖题、综合题
新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力
例15、几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形来证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点F在半圆O上，点C在半径OB上，且OF⊥AB.设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
A．eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)(a＞0，b＞0) B．a2＋b2≥2ab(a＞0，b＞0)
C．eq \f(2ab,a＋b)≤eq \r(ab)(a＞0，b＞0) D．eq \f(a＋b,2)≤ eq \r(\f(a2＋b2,2))(a＞0，b＞0)
例16、某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x是正整数)，求每台机器为该公司创造的最大年平均利润；
例17、若对任意x＞0，eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,3))))) B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,3)))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞\f(1,5))))) D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(1,5)))))
例18、设f(x)＝ln x,0＜a＜b.若p＝f(eq \r(ab))，q＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))，r＝eq \f(1,2)(f(a)＋f(b))，则下列关系中正确的是( )
A．q＝r＜p B．q＝r＞p
C．p＝r＜q D．p＝r＞q
例19、若关于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在{x|1＜x＜4}上有解，则实数a的取值范围是________
例20、已知函数f(x)＝x2－2ax＋2a－1.若对任意的a∈(0,3)，存在x0∈[0,4]，使得t≤|f(x0)|成立，求实数t的取值范围；
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有
2、设a>0，b>0，且a≠b，则aabb与abba的大小关系为_______________________（按从大到小顺序填写）
3、已知角α，β满足－eq \f(π,2)＜α－β＜eq \f(π,2)，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________________________
4、若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
5、设x，y为正数，若x＋eq \f(y,2)＝1，则eq \f(1,x)＋eq \f(2,y)取到最小值时x＝________________
6、已知不等式2x＋m＋eq \f(2,x－1)＞0对一切x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))恒成立，则实数m的取值范围是_____________
7、已知函数f(x)＝3x＋eq \f(a,3x＋1)(a>0)的最小值为5，则a＝________.
8、已知正实数a，b满足a＋2b＝2，则eq \f(1＋4a＋3b,ab)的最小值为________．
9、下面四个推导过程正确的序号是
①若a，b为正实数，则eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2
②若a∈R，a≠0，则eq \f(4,a)＋a≥2eq \r(\f(4,a)·a)＝4
③若x，y∈R，xy<0，则eq \f(x,y)＋eq \f(y,x)＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x)))))≤－2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x,y)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(y,x))))＝－2
④若a<0，b<0，则eq \f(a2＋b2,2)≤ab
10、若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、已知函数f(x)＝x2－2ax＋1对任意x∈(0,2]有f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1，\f(5,4))) B．[－1,1]
C．(－∞，1] D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,4)))
12、已知实数a，b满足a＞b，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A．a2＞b2 B．eq \f(1,a)＜eq \f(1,b)
C．|a|＞|b| D．2a＞2b
13、在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是（ ）
A．15≤x≤30
B．12≤x≤25
C．10≤x≤30
D．20≤x≤30
14、给出下列不等式：①eq \f(1,a)b)；②x＋eq \f(1,x)≥2(x≠0)；③eq \f(c,a＋b)eq \f(a,b)(a，b，m>0且aA．1 B．2
C．3 D．4
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
已知12＜a＜60,15＜b＜36：求
（1）a－b的取值范围；（2）eq \f(a,b)的取值范围．
16.（本题10分）
若a＞0，b＞0，且a＋2b－4＝0，
（1）求：ab的最大值；（2）求：eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值；
17.（本题满分12分）
某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝eq \f(1,2)x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．
（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
（2）该单位每月能否获利，如果获利，最大利润为多少元？
18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）
已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(0,5)．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若对于任意的x∈[－1,1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．
有两不同实根
有两相同实根
无实根
解集为
解集为
解集为全体实数集
解集为
解集为全体实数集
解集为全体实数集
解集为
解集为空集
解集为空集
解集为
解集为
解集为空集
不等式类型
恒成立条件
ax2＋bx＋c>0
a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0
a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0
a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0
a<0，Δ≤0