专题04 幂函数、指数函数与对数函数（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第4章 幂函数、指数函数与对数函数【课本目录】
4.1 幂函数：4.1.1 幂函数的定义与图像；4.1.2 幂函数的性质；
4.2 指数函数：4.2.1 指数函数的定义与图像；4.2.2 指数函数的性质；
4.3 对数函数：4.3.1 对数函数的定义与图像；4.3.2 对数函数的性质；
本章内容提要
1. 幂函数的定义域由指数决定.随着指数的不同，幂函数的定义域是不同的.特别地，当指数取有理数时（为正整数，为整数），幂函数的定义域是使得根式有意义的的全体.
2. 幂函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减.
3. 指数函数（，）的定义域是全体实数.
4. 指数函数（，）有单调性；当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减.
5. 对数函数的定义域是正数全体.
6. 对数函数有单调性：当时，它在上严格递增；而当时，它在上严格递减.
题型1、对幂函数的概念的理解
例1、（1）函数f(x)＝(a－b) ＋b－3是幂函数，则下列结论正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)C．f(a)＝f(b) D．以上都不对
【提示】理解幂函数的定义；
【答案】A；
【解析】∵f(x)为幂函数，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b－3＝0，,a－b＝1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3，))∴f(x)＝，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且a>b>0，∴f(a)>f(b)；
（2）已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
【解析】由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq \f(3,2).
【说明】理解幂函数的概念、判断及应用：
1、判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xα的系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数；
2、若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式；
题型2、幂函数的图象与性质
例2、（1）若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，
①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)【解析】设f(x)＝xα，因为点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，所以将点(eq \r(2)，2)代入f(x)＝xα中，得2＝(eq \r(2))α，解得α＝2，则f(x)＝x2；同理可求得g(x)＝x－2；
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象（如图所示），观察图象可得，
①当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)；
②当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)；
③当－1（2）已知幂函数y＝xα(α∈R)的图象过点(2,8)，下列说法正确的序号是
①函数y＝xα的图象过原点；
②函数y＝xα是偶函数；
③函数y＝xα是单调减函数；
④函数y＝xα的值域为R；
【答案】①④；
【解析】因为幂函数y＝xα的图象过点(2,8)，所以2α＝8，解得α＝3，所以y＝x3.函数y＝x3的图象过原点，所以，①的说法正确；
函数y＝x3是奇函数，所以，②的说法错误；
函数y＝x3在R上递增，所以，③的说法错误；
函数y＝x3值域为R，所以，④的说法正确；
【说明】1、幂函数图象的画法：
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象．
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．
2、对于幂函数图象只要掌握住在第一象限内三条线把第一象限划分为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
3、在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
4、一般幂函数的图象特征：
（1）所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；
（2）当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸；
（3）当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减；
（4）幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称；
（5）在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列；
题型3、幂函数的性质的综合应用
例3、（1）给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝eq \r(x)；⑤f(x)＝eq \f(1,x)；
其中满足条件f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f(x1)＋f(x2),2)(x1>x2>0)的函数的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))＝eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；
②函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))④函数f(x)＝eq \r(x)的图象是上凸形曲线，
故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；
⑤在第一象限，函数f(x)＝eq \f(1,x)的图象是一条下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))故仅有函数f(x)＝eq \r(x)满足当x1>x2>0时，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)))>eq \f(f(x1)＋f(x2),2)；
（2）已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，
求满足 的的取值范围；
【解析】因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以3m－9<0，解得m<3.又因为m∈N*，所以m＝1,2.
因为函数的图象关于y轴对称，所以3m－9为偶数，故m＝1.
则原不等式可化为<.
因为y＝ 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1>3－2a>0或3－2a故a的取值范围是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<－1或\f(2,3)【说明】本题通过幂函数的图象特征抽象出幂函数的奇偶性，根据幂函数的单调性确定参数的值，得到幂函数的解析式，然后利用其单调性解不等式，在此过程中体现了数学中数学抽象与直观想象的核心素养；
解决与幂函数有关的综合性问题的方法：首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同；同时，注意分类讨论思想的应用；
题型4、对指数函数的概念的理解
例4、（1）给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；
其中，指数函数的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【提示】理解指数函数的定义；
【答案】B；
【解析】①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．⑤中，底数－2<0，不是指数函数；
（2）若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)；
【解析】依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，解得a>eq \f(1,2)，且a≠1；
【说明】判断一个函数是否为指数函数的方法：
1、底数的值是否符合要求；2、ax前的系数是否为1；3、指数是否符合要求；
题型5、指数函数的图象与性质
例5、（1）函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．00
D．0【答案】D；
【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有00，即b<0；
（2）直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a＞0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】y＝|ax－1|的图象是由y＝ax先向下平移1个单位长度，再将x轴下方的图象沿x轴翻折得到的．
当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图①；
当0＜a＜1时，要使两个图象有两个公共点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜eq \f(1,2)，如图②.
【说明】应用指数函数图象的4个技巧：
1、画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a))).
2、已知函数解析式判断函数图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足，则排除．
3、对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到相应函数的图象．当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论；
4、有关指数方程、不等式问题的求解，往往要作出相应的指数型函数图象，运用数形结合的思想求解；
题型6、指数函数的性质的综合应用
例6、（1）求：函数：f(x)＝的严格单调递增、递减区间；
【提示】注意：用初等函数“分解”已知函数，并结合定义验证；
【解析】由已知，函数y＝的定义域是R；令u＝－x2＋2x，则y＝2u；
当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x严格单调递增，
函数y＝2u是严格增函数，所以函数y＝在(－∞，1]上严格单调递增；
当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x严格单调递减，函数y＝2u是严格增函数，
所以函数y＝在[1，＋∞)上严格单调递减；
综上，函数y＝的严格单调减区间是[1，＋∞)，严格单调增区间是(－∞，1]；
【说明】1、求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成y＝f(u)，u＝φ(x)，通过考察f(u)和φ(x)的单调性，利用同增异减原则，求出y＝f(φ(x))的单调性；
2、关于指数型函数y＝af(x)(a>0，且a≠1)的单调性由两点决定，一是底数a>1还是0（2）已知0，a≠1)，求x的取值范围；
【提示】注意：结合定义分情况讨论；
【解析】①当00，a≠1)在R上是减函数，
∴x2－3x＋1>x＋6，∴x2－4x－5>0，解得x<－1或x>5；
所以原不等式的解集是{x|x<－1或x>5}；
②当a>1时，函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)在R上是增函数，
∴x2－3x＋1所以原不等式的解集是{x|－1综上所述：当05}；
当a>1时，不等式的解集是{x|－1【说明】1、利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式；
2、解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x)⇒f(x)>g(x)(a>1)或f(x)题型7、对对数函数的概念的理解
例7、（1）下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝2lg4x；⑦y＝lg2(x＋1).
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B；
【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数a∈R不能保证a>0，且a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中lg4x的系数为2，∴⑥也不是对数函数.只有③④符合对数函数的定义；
（2）若函数f(x)＝lg(a＋1)x＋(a2－2a－8)是对数函数，则实数a＝________.
【答案】4
【解析】由题意可知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－2a－8＝0，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝4.
【说明】判断一个函数是对数函数的方法：
1、系数：对数符号前面的系数为1；
2、底数：对数的底数是不等于1的正常数；
3、真数：对数的真数仅有自变量；
题型8、对数函数的图象与性质
例8、（1）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝lgax的图象为( )
【答案】C；
【解析】y＝a－x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)))eq \s\up12(x)，∵a>1，∴0对数函数y＝lgax在(0，＋∞)上是增函数，过定点(1，0).故选C.
（2）作出下列函数的大致图象：
①y＝|lg2x|；②)y＝|lg2(x－1)|；③y＝|lg2(1－x)|.；
【解析】①第一步：作函数y＝lg2x的图象；
第二步：把函数y＝lg2x的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(位于x轴和x轴上方的不变)，即得y＝|lg2x|的图象(如图①).
②第一步和第二步同①；
第三步：把y＝|lg2x|的图象向右平移1个单位长度即得y＝|lg2(x－1)|的图象(如图②).
③第一步：作函数y＝lg2x的图象；
第二步：把函数y＝lg2x的图象沿y轴翻折，得y＝lg2(－x)的图象；
第三步：把y＝lg2(－x)的图象向右平移1个单位长度，得函数y＝lg2(1－x)的图象；
第四步：把y＝lg2(1－x)的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折(x轴上及x轴上方的不变)，即得y＝|lg2(1－x)|的图象(如图③).
【说明】有关对数函数图象间的变换规律
1、一般地，函数y＝f(x＋a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度，再沿y轴向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的；
2、含有绝对值的函数的图象是一种对称变换，一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图；
.题型9、对数函数的性质的综合应用
例9、（1）已知y＝lga(2－ax)在[0,1]上单调递减，则a的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(0,2) D．[2，＋∞)
【提示】注意：用初等函数进行分解；
【答案】B
【解析】∵f(x)＝lga(2－ax)在[0,1]上单调递减，且y＝2－ax在[0,1]上单调递减，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,2－a>0，))∴1【说明】形如f(x)＝lgag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法：
1、先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)；
2、当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间；
3、当底数00这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间；
（2）解不等式：lga(2x－5)>lga(x－1)；
【解析】当a>1时，原不等式等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－5>0，,x－1>0，,2x－5>x－1.))解得x>4.
当00，,x－1>0，,2x－5解得eq \f(5,2)综上所述，当a>1时，原不等式的解集为{x|x>4}；
当0【说明】对数不等式的三种考查类型及解法：
1、形如lgax>lgab的不等式，借助y＝lgax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与02、形如lgax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝lgaab)，再借助y＝lgax的单调性求解；
3、形如lgf(x)a>lgg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解；
题型10、幂、指数函数与对数函数的初步应用
例10、（1）一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，绿灯时长超过5 s，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么（ ）
A．人可在7秒内追上汽车
B．人可在10秒内追上汽车
C．人追不上汽车，其间距最少为5米
D．人追不上汽车，其间距最少为7米
【答案】D
【解析】设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝eq \f(1,2)t2，
车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq \f(1,2)t2－6t＋25＝eq \f(1,2)(t－6)2＋7，当t＝6时，d取得最小值7；
（2）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
【答案】19
【解析】假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半；
题型11、函数的图象的作法
例11、作出下列函数的大致图象．
（1）y＝x－|x－1|；（2）y＝eq \f(2x－1,x－1)；
（3）y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|；（4）y＝|lg2x－1|.
【提示】注意：利用初等函数的图象与结合图象变换作出已知函数的图像；
【解析】（1）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x＜1，))可见其图象是由两条射线组成，如图①所示．
（2）因为y＝eq \f(2x－1,x－1)＝2＋eq \f(1,x－1)，故函数图象可由y＝eq \f(1,x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图②.
（3）作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x≥0的部分，加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图象，如图③实线部分；
（4）先作出y＝lg2x的图象，再将其图象向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即得y＝|lg2x－1|的图象，如图④所示；
【说明】1、作函数图象的两种常用方法：
（1）直接法：当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序；
2、函数图象对称变换的相关结论
（1）y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称的图象是函数y＝f(2m－x)的图象；
（2）y＝f(x)的图象关于直线y＝n对称的图象是函数y＝2n－f(x)的图象；
（3）y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称的图象是函数y＝2b－f(2a－x)的图象；
题型12、辨识函数图象与用好函数图象
例12、（1）(1)函数y＝eq \f(e|x|,4x)的图象可能是（ ）

【提示】注意：通过研究函数解析式识图；
【答案】C；
【解析】令f(x)＝eq \f(e|x|,4x)，因为函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，且f(－x)＝eq \f(e|x|,－4x)＝－eq \f(e|x|,4x)＝－f(x)，
所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除B；当x＝1时，f(1)＝eq \f(e,4)，排除A；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，排除D；
【说明】已知函数解析式选图或知图选函数解析式时的解题技巧：
根据函数性质与函数的图象特征的对应关系切入．具体如下：
（2）已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)
D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
【答案】C；
【解析】由题意得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x＜0，))画出函数f(x)的图象，
如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，
故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减；
【说明】对于已知解析式或易画出在给定区间上的图象的函数，常借助图象研究其性质：
1、从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
2、从图象的对称性分析函数的奇偶性；
3、从图象的走向趋势分析函数的单调性、以及以后的函数的周期性；
1、构成集合的对象必须是“确定”的
题型13、有关幂、指数函数与对数函数的新颖题
新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；
例13、已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)－h(x)＝2x.若存在x∈[－1,1]，使得不等式m·g(x)＋h(x)≤0有解，则实数m的最大值为（ ）
A．eq \f(3,5) B．－eq \f(3,5)
C．1 D．－1
【答案】A；
【解析】∵g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，
且g(x)－h(x)＝2x①，∴g(－x)－h(－x)＝g(x)＋h(x)＝2－x②，
①②两式联立可得，g(x)＝eq \f(2x＋2－x,2)，h(x)＝eq \f(2－x－2x,2).
由m·g(x)＋h(x)≤0，得m≤eq \f(2x－2－x,2x＋2－x)＝eq \f(4x－1,4x＋1)＝1－eq \f(2,4x＋1).∵y＝1－eq \f(2,4x＋1)在[－1,1]上为增函数，
∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(2,4x＋1)))max＝eq \f(3,5)，即m≤eq \f(3,5)；答案：A；
例14、设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m，n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，那么就称y＝f(x)是定义域为D的“成功函数”．若函数g(x)＝lga(a2x＋t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是（ ）
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4))) B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,4)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,4))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，＋∞))
【答案】A；
【解析】因为g(x)＝lga(a2x＋t)是定义在R上的“成功函数”，所以g(x)为增函数，且g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，故g(m)＝m，g(n)＝n，即g(x)＝x有两个不相同的实数根．
又lga(a2x＋t)＝x，即a2x－ax＋t＝0.
令s＝ax，s>0，即s2－s＋t＝0有两个不同的正数根，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＞0，,Δ＝1－4t＞0.))解得0例15、若ea＋πb≥e－b＋π－a，则a与b的关系式为________．
【答案】a＋b≥0；
【解析】令f(x)＝ex－π－x，则f(x)在R上单调递增，因为ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，则f(a)≥f(－b)，所以a≥－b，即a＋b≥0；
例16、设f(x)＝2－x，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线y＝x对称，h(x)的图象由g(x)的图象向右平移1个单位长度得到，则h(x)＝ .
【答案】－lg2(x－1)；
【解析】与f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象所对应的函数为g(x)＝－lg2x，再将其图象右移1个单位长度得到h(x)＝－lg2(x－1)的图象；
例17、已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))则方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解的个数是________．
【答案】5；
【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或1；
如图，作出y＝f(x)的图象，
由图象知交点横坐标的个数为5.
【说明】利用函数的图象解不等式的基本思路：
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的位置关系问题或函数图象与坐标轴的位置关系问题，从而利用数形结合法求解；
题型14、有关幂、指数函数与对数函数的综合题
例18、已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是（ ）
A．(－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】D；
【解析】函数f(x)＝2x－x－1，
则不等式f(x)＞0的解集即2x＞x＋1的解集，
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝2x，y＝x＋1的图象，
如图所示，
结合图象易得2x＞x＋1的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．
答案：D；
例19、已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．
（1）若f(x)为偶函数，求b的值；
（2）若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．
【解析】（1）因为f(x)为偶函数，
所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.
（2）记h(x)＝|x＋b|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋b，x≥－b，,－x－b，x＜－b.))
①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，
即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2；
②当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，
但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．
所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2；
【说明】与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用；
例20、已知函数f(x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋a)＋1))是奇函数，a∈R；
（1）求a的值；
（2）对任意的x∈(－∞，0)，不等式f(2x＋1)>lg2(m－2x)恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）方法1：令eq \f(1,x＋a)＋1>0，则eq \f(x＋a＋1,x＋a)>0，∴x<－a－1或x>－a.∵f(x)是奇函数，
∴其定义域关于原点对称，∴－a－1－a＝0，
∴a＝－eq \f(1,2).验证a＝－eq \f(1,2)时，f(x)＝lg2eq \f(x＋\f(1,2),x－\f(1,2)).
则f(－x)＝lg2eq \f(－x＋\f(1,2),－x－\f(1,2))＝lg2eq \f(x－\f(1,2),x＋\f(1,2))＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，综上：a＝－eq \f(1,2).
方法2：f(x)＝lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x＋a)＋1))＝lg2eq \f(x＋a＋1,x＋a)，
则eq \f(x＋a＋1,x＋a)>0⇔A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－a－1或x>－a))))，
因为f(x)是奇函数，故∀x∈A，f(－x)＝－f(x)，
即lg2eq \f(－x＋a＋1,－x＋a)＝－lg2eq \f(x＋a＋1,x＋a)＝lg2eq \f(x＋a,x＋a＋1)，
所以eq \f(－x＋a＋1,－x＋a)＝eq \f(x＋a,x＋a＋1)，即(1＋a)2－x2＝a2－x2，解得a＝－eq \f(1,2).
（2）f(2x＋1)>lg2(m－2x)⇒lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2x＋\f(1,2))＋1))>lg2(m－2x)⇒m<2x＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋\f(1,2))＋eq \f(1,2)，
令u＝2x＋eq \f(1,2)，x∈(－∞，0)，
所以u∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2)))，令g(u)＝u＋eq \f(1,u)＋eq \f(1,2).
易知g(u)≥eq \f(5,2)，当u＝1时取等号，所以m又由m－2x>0⇒m>2x，
故m≥1，所以m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(5,2)))；
【说明】本题考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将恒成立问题转化为最值问题是关键，另外要注意对数的真数部分也要恒大于零；
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为 (个)
【答案】1；
【解析】∵y＝eq \f(1,x2)＝x－2，∴是幂函数；y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数；
2、若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________．
【答案】16
【解析】设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
3、函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是
【答案】 [－1,0]
【解析】由指数函数的性质可得f(x)＝2x是递增函数，当x∈[0,1]时，f(0)≤f(x)≤f(1)，即1≤f(x)≤2，
∴－2≤－2x≤－1.∴函数y＝1－2x，x∈[0,1]的值域为[－1,0]．
4、若函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－2|，则f(x)的严格单调递减区间是
【答案】 [2，＋∞)；
【解析】将原函数看成复合函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))u，u＝|x－2|，f(x)是关于u的减函数，u在[2，＋∞)上为增函数，在(－∞，2]上为减函数，由复合函数的性质知，f(x)的单调递减区间是[2，＋∞)．
5、已知函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，则实数a的取值范围为
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,2)
【解析】当a＞1时，f(x)在[－1,1]上是增函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(1)＜2，所以a＜2，所以1＜a＜2.当0＜a＜1时，f(x)在[－1,1]上是减函数．因为函数f(x)在[－1,1]上恒有f(x)＜2，所以f(－1)＜2，所以eq \f(1,a)＜2，即a＞eq \f(1,2)，所以eq \f(1,2)＜a＜1；
综上所述，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))∪(1,2)；
6、若函数f(x)＝lga(x＋2)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过点M，则点M的坐标为
【答案】 (－1,2)；
【解析】∵当x＝－1时，f(－1)＝lga(－1＋2)＋2＝2，与a的值无关，∴点M的坐标为(－1,2)．
7、碳14的半衰期为5 730年，那么碳14的年衰变率为
【答案】 ；
【解析】设碳14的年衰变率为m，原有量为1，则m5 730＝eq \f(1,2)，解得m＝，
所以碳14的年衰变率为.
8、函数f(x)＝的值域是
【答案】 (－∞，－1]
【解析】f(x)＝＝，
因为(x＋1)2＋2≥2，所以≤＝－1，
所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]．
9、若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图象关于点(1,1)对称，则实数a＝________.
【答案】1；
【解析】f(x)＝eq \f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，关于点(1，a)对称，故a＝1；
10、已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，
满足eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)＞0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值为负值，则下列结论可能成立的序号是
①a＋b＞0，ab＜0 ②a＋b＜0，ab＞0
③a＋b＜0，ab＜0 ④以上都可能
【答案】②③；
【解析】由函数f(x)为幂函数可知m2－m－1＝1，解得m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝eq \f(1,x3)；当m＝2时，f(x)＝x3；
由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
因此f(x)＝x3，在R上单调递增，且满足f(－x)＝－f(x)．
结合f(－x)＝－f(x)以及f(a)＋f(b)＜0可知f(a)＜－f(b)＝f(－b)，所以a＜－b，即b＜－a，
所以a＋b＜0.当a＝0时，b＜0，ab＝0；
当a＞0时，b＜0，ab＜0；当a＜0时，ab＞0(b＜0)或ab＜0(0＜b＜－a)，
故②、③都有可能成立；
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±eq \f(1,2)四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为（ ）
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
【答案】B；
【解析】根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝eq \f(1,2)；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－eq \f(1,2)，曲线C4的n＝－2.
12、函数f(x)＝xa＋b，不论a为何值，f(x)的图象均过点(m,0)，则实数b的值为（ ）
A．－1 B．1
C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵y＝xa过定点(1,1)，∴f(x)＝xa＋b过定点(1,1＋b)，结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
13、已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为（ ）
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
【答案】B；
【解析】∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2＋2n－2＝1，,n2－3n＝2k，k∈Z，,n2－3n＜0，))解得n＝1.
14、在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx，y＝ax－b(a＞0且a≠1)的图象可能是（ ）
【答案】D；
【解析】分a＞1和0＜a＜1进行讨论．当a＞1时，由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知，b＞0，则A选项中二次函数图象不符，D选项符合．当0＜a＜1时，由选项中指数函数图象与y轴的交点的纵坐标小于1可知，b＜0，则B，C选项均不正确；
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
已知函数f(x)＝(a2＋a－5)ax是指数函数；
（1）求：f(x)的表达式；
（2）判断F(x)＝f(x)－f(－x)的奇偶性，并加以证明．
【解析】（1）由a2＋a－5＝1，可得a＝2或a＝－3(舍去)，∴f(x)＝2x.
（2）F(x)＝2x－2－x，定义域为R，∴F(－x)＝2－x－2x＝－F(x)，∴F(x)是奇函数．
16.（本题10分）
已知指数函数f(x)的图象过点P(3,8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，又g(2x－1)【解析】设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，
因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，所以f(x)＝2x，
又因为g(x)与f(x)的图象关于y轴对称，
所以g(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，
因此由g(2x－1)即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2x－1得2x－1>3x，解得x<－1.
所以x的取值范围为(－∞，－1)．
17.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝eq \f(ax＋2－a,x＋1)，其中a∈R；
（1）当函数f(x)的图象关于点P(－1，3)成中心对称时，求：实数a的值；
（2）若函数f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，求：实数a的取值范围；
【答案】（1）3；（2）－∞，1)；
【解析】（1）f(x)＝eq \f(ax＋2－a,x＋1)＝eq \f(a(x＋1)＋2－2a,x＋1)＝a＋eq \f(2－2a,x＋1)，
所以f(x)的对称中心为(－1，a)，
与P(－1,3)比较得a＝3.
（2）由f(x)＝eq \f(ax＋2－a,x＋1)＝a＋eq \f(2－2a,x＋1)，
当2－2a＞0，即a＜1时，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，故a的取值范围是(－∞，1)；
18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分）
已知函数f(x)＝lga(x＋1)，g(x)＝lga(1－x)，其中a>0，a≠1，F(x)＝f(x)－g(x)．
（1）求函数F(x)的定义域；
（2）判断F(x)的奇偶性，并说明理由；
（3）当a>1时，求使F(x)>0成立的x的集合．
【解析】（1）F(x)＝f(x)－g(x)＝lga(x＋1)－lga(1－x)，若要式子有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，))
即－1（2）F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1,1)，
且F(－x)＝f(－x)－g(－x)＝lga(－x＋1)－lga(1＋x)
＝－[lga(1＋x)－lga(1－x)]＝－F(x)，
所以F(x)是奇函数．
（3）F(x)>0，即lga(x＋1)－lga(1－x)>0，
即lga(x＋1)>lga(1－x)．
当a>1时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1>0，,1－x>0，,x＋1>1－x，))解得0所以，使F(x)>0成立的x的集合为{x|0函数图象特征
函数的定义域
图象的左右位置
函数的值域
图象的上下位置
函数的奇偶性
图象的对称性
函数的单调性
图象的变化趋势
函数的周期性
图象的循环往复
函数的零点
图象与x轴的交点情况
函数经过的定点、极值点等
函数图象上的特殊点