专题05 函数的概念、性质及应用（1）（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第5章 函数的概念、性质及应用【课本目录】
5.1 函数：5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法；
5.2 函数的基本性质：5.2.1 函数的奇偶性；5.2.2 函数的单调性；5.2.3 函数的最值；
5.3 函数的应用：5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点；
*5.4 反函数：5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像；
本章内容提要
1. 函数的概念：
（1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数.
（2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的.
（3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具.
2. 函数的性质：
（1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性.
（2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势.
（3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标.
3. 函数的应用：
（1）在建立函数关系时，需要注意其定义域.
（2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段.
（3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解.
*4. 反函数：
（1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系.
（2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数.
（3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。
题型1、对函数概念的理解
例1、（1）设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：
其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
（2）判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．
①A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±eq \r(x)；
②A＝R，B＝N，对于任意的x∈A，x→|x－2|；
③A＝R，B＝{正实数}，对任意x∈A，x→eq \f(1,x2)；
④A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；
⑤A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.
【说明】1、判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．
2、函数的定义中“每一个元素x”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”；
3、根据图形判断对应关系是否为函数的方法
①任取一条垂直于x轴的直线l；
②在定义域内平行移动直线l；
③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数；
题型2、解答函数问题起点是定义域
例2、求下列函数的定义域．
（1）f(x)＝eq \f(\r(3,x－8),\r(3x－2))； （2） f(x)＝eq \r(x＋1)＋eq \f(1,2－x)；
（3）f(x)＝eq \r(x＋4)＋x0＋eq \f(1,x＋2)； （4）f(x)＝eq \f(x＋12,x＋1).
（5）f(x)＝eq \f(1,\r(1－3x))＋eq \f(1,x)； （6）f(x)＝eq \r(3－x)＋eq \r(1＋x)且 x∈Z.
【说明】求函数的定义域应关注四点
1、要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y＝x0要求x≠0.
2、不对解析式化简变形，以免定义域变化．
3、当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合；
题型3、求函数的值域或函数值
例3、（1）已知f(x)＝x2－4x＋2.
①求f(2)，f(a)，f(a＋1)的值；②求f(x)的值域；③若g(x)＝x＋1，求f(g(3))的值；
【说明】1、函数值f(a)就是a在对应法则f下的对应值，因此由函数关系求函数值，只需将f(x)中的x用对应的值(包括值在定义域内的代数式)代入即得；
2、求f(g(a))时，一般要遵循由里到外逐层计算的原则；
3、配方法是一种常用的求值域的方法，主要解决“二次函数型”的函数求值域；
（2）设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝eq \f(1,x＋2)，
①求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；②求g(f(x))；
【说明】函数求值的方法：
1、已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值；
2、求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则；
题型4、例析函数的三种表示法
例4、（1）已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间适合关系式t＝ax＋eq \f(b,x).当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人；
①写出函数t的解析式；②用列表法表示此函数；③画出函数t的图象．
（2）已知函数f(x)＝－x－1，x∈{1,2,3,4}，
试分别用图象法和列表法表示函数y＝f(x)．
【说明】理解函数表示法的三个关注点：
1、列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念；
2、列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角度描述函数；
3、函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以解析法为主；
题型5、例析求函数解析式的基本方法
例5、（1）已知f(x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f(2)＝3，f(1)＝3，
则f(x)＝________________________.
（2）若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f(x)＝________________________.
【说明】求函数解析式的常用方法：
1、待定系数法：已知函数fx的函数类型，求fx的解析式时，可根据类型设出其解析式，将已知条件代入解析式，得到含待定系数的方程组，确定其系数即可；
2、换元法：令t＝gx，注明t的范围，再求出ft的解析式，然后用x代替所有的t即可求出fx，一定要注意t的范围即为fx中x的范围；
3、配凑法：已知fgx的解析式，要求fx时，可从fgx的解析式中拼凑出“gx”，即用gx来表示，再将解析式两边的gx用x代替即可；
4、代入法：已知y＝fx的解析式求y＝fgx的解析式时，可直接用新自变量gx替换y＝fx中的x；
题型6、分段函数及其初步应用
例6、（1）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,3x＋5，－2①求f(－5)，f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))；
②若f(a2＋2)≥a＋4，求实数a的取值范围．
（2）设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
【说明】1、分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求值．
2、已知分段函数的函数值求相对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验分段解析式的适用范围；也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．
3、求分段函数的定义域时，取各段自变量的取值范围的并集即可；求分段函数的值域时，要先求出各段区间内的值域，然后取其并集；
4、分段函数图象的画法
（1）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象；
（2）作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；
题型7、函数奇偶性的判断与证明
例7、（1）已知函数f(x)＝eq \r(x2－2)＋3eq \r(2－x2)，则f(x)的奇偶性为________．
（2）判断下列函数的奇偶性：
①f(x)＝eq \f(\r(36－x2),|x＋3|－3)； ②f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)；
③f(x)＝eq \f(lg2（1－x2）,|x－2|－2)； ④f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋x，x<0，,x2－x，x>0.))
【说明】1、判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．
2、已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；
题型8、函数单调性的判断与初步应用
例8、（1）用定义判断函数f(x)＝eq \f(ax＋1,x＋2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a≠\f(1,2)))在(－2，＋∞)上的单调性．
【说明】利用定义判断或证明函数单调性的步骤
（2）求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上单调递增还是单调递减．
①f(x)＝－eq \f(1,x)；②f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))③f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
【说明】求函数单调区间的方法：
1、利用基本初等函数的单调性，其中分段函数的单调区间要根据函数的自变量的取值范围分段求解．
2、利用函数的图象；
提醒：若所求出函数的单调递增区间或单调递减区间不唯一，函数的单调区间之间要用“，”隔开；
题型9、函数的奇偶性与单调性初步综合
例9、（1）已知f(x)是定义在[2b，1－b]上的偶函数，且在[2b，0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(2,3))) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
C．[－1，1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))
（2）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－x2＋2x，x＞0，,0，x＝0，,x2＋mx，x＜0))是奇函数．
①求实数m的值；
②若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
【说明】函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
题型10、函数的最值及其求法
例10、（1）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，0≤x≤2，,\f(2,x－1)，x>2，))则函数f(x)的最大值为
（2）已知函数f(x)＝eq \f(x2＋2x＋a,x)，x∈[1，＋∞)．
①当a＝eq \f(1,2)时，求函数f(x)的最小值；
②若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围；
【说明】本题属于利用函数的单调性求函数的最值；利用函数的单调性求最值的关注点：
1、若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a)；
2、若函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)；
3、若函数y＝f(x)有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)值．函数的最大(小)值是整个值域范围内的最大(小)值；
4、如果函数定义域为闭区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势；
题型11、有关函数性质的新颖题
新高考下，高考数学命题遵循课程标准，深化基础性考查，注重数学本质与创造性思维，深入考查核心素养和关键能力，加强情境化设计，增强题目的开放性．新情境、新设问、新题型等都成为新高考的一个特色．机械刷题、套路解题已远远达不到新高考的要求，减少刷题、减少套路，重思维、提能力；
例11、定义域为R的函数f(x)同时满足以下两个性质：
①存在x0∈R，使得f(x0)≠0；
②对于任意x∈R，有f(x＋1)＝2f(x)．
根据以下条件，分别写出满足上述性质的一个函数．
（1）若f(x)是增函数，则f(x)＝________；
（2）若f(x)不是单调函数，则f(x)＝________.
例12、已知著名的狄利克雷函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x∈Q，,0，x∈∁RQ，))其中R为实数集，Q为有理数集．若m∈R，则f(f(f(m)))的值为（ ）
A．0 B．1
C．0或1 D．无法求
例13、已知实数a，b满足|a－2b＋1|＋eq \r(4a2－12ab＋9b2)＝0，函数y＝x2＋a－eq \f(b,x)(1≤x≤2)，则y的取值范围
是__________．
例14、用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．
题型12、有关函数性质的综合题
例15、若函数f(x)＝x2－ax在区间[1，2]上是增函数，g(x)＝eq \f(ax－1,x＋1)在区间[1,2]上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．[2，＋∞) D．(－∞，2]
例16、函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex－1，x＜2，,－lg3(x－1)，x≥2，))则不等式f(x)＞1的解集为( )
A．(1，2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(4,3))) D．[2，＋∞)
例17、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(mx＋3，x＞0，,f(x＋1)，x≤0，))g(x)＝ax2＋x，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＋feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝10，g(f(－2))＝30，则a的值为________．
例19、已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________．
例19、已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．
【说明】1、函数奇偶性和单调性的关系；
（1）若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性；
（2）若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性；
2、利用单调性和奇偶性解不等式的方法：
（1）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解；
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响；
例20、已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，
（1）求证：f(x)是奇函数；
（2）若f(－3)＝a，试用a表示f(12)．
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝________________
2、已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则其定义域是________________
3、已知f(x)的图象如图，则f(x)的值域为________________________
4、函数y＝eq \f(1,x－1)在[2，3]上的最大值为________________
5、若函数f(x)＝eq \f(\r(3,x－1),mx2＋x＋3)的定义域为R，则m的取值范围为________________
6、函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函数，则a等于
7、设函数y＝f(x)对任意正实数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，已知f(8)＝3，则f(eq \r(2))＝________.
8、设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)等于
9、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((a－2)x，x≥2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－1，x＜2))是定义在R上的减函数，则实数a的取值范围是________________
10、已知函数f(x)的定义域为(0,1)，g(x)＝f(x＋c)＋f(x－c)，当0＜c＜eq \f(1,2)时，g(x)的定义域为______________
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋7，－1≤x<1，,2x＋6，1≤x≤2，))则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10，6 B．10，8
C．8，6 D．以上都不对
12、某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
13、著名的Dirichlet函数D(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数，)) 则Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(D(x)))等于( )
A．0 B．1
C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为无理数，,0，x为有理数)) D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x为有理数，,0，x为无理数))
14、函数f(x)＝lg0.5(x＋1)＋lg0.5(x－3)的单调递减区间是( )
A．(3，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，－1)
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
16.（本题10分）
已知函数f(x)＝－x2＋2，g(x)＝x，令φ(x)＝min{f(x)，g(x)}(即f(x)和g(x)中的较小者)．
（1）分别用图象法和解析式表示φ(x)；
（2）求函数φ(x)的定义域，值域．
17.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a>0)；
（1）若f(1)＝3，求a的值；
（2）判断函数f(x)的奇偶性并证明；
18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）
设函数y＝f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数x，y，都有f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x>1时，f(x)<0；③f(3)＝－1.
（1）求f(1)，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))的值；
（2）证明f(x)在(0，＋∞)上是减函数；
（3）如果不等式f(x)＋f(2－x)<2成立，求x的取值范围．x
1≤x<2
2
2f(x)
1
2
3