专题06 函数的概念、性质及应用（2）（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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第5章 函数的概念、性质及应用【课本目录】
5.1 函数：5.1.1 函数；5.1.2 函数的表示方法；
5.2 函数的基本性质：5.2.1 函数的奇偶性；5.2.2 函数的单调性；5.2.3 函数的最值；
5.3 函数的应用：5.3.1 函数关系的建立；5.3.2 用函数观点求解方程与不等式；5.3.3 用二分法求函数的零点；
*5.4 反函数：5.4.1 反函数的概念；5.4.2 反函数的图像；
本章内容提要
1. 函数的概念：
（1）设集合是一个非空的实数集，对内的任意给定的实数，按照某种法则,都有唯—确定的实数值与之对应，这种对应关系称为集合上的一个函数.
（2）定义域和对应法则是函数的两个重要要素.函数的值域由其定义域和对应法则决定.两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的.
（3）函数的图像是表示两数性质的直观有力的工具.
2. 函数的性质：
（1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数.奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性.
（2）对于定义在上的函数，设区间是的子集.对于区间上的任意给定的两个自变量的值，当时，如果总成立,就称函数在区间上是严格增函数；如果总成立,就称函数在区间上是严格减函数.这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势.
（3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标.
3. 函数的应用：
（1）在建立函数关系时，需要注意其定义域.
（2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段.
（3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解.
*4. 反函数：
（1） 反函数来源于解关于的方程所得到的对应关系.
（2） 如果函数在定义域上不同的处所取到的函数值也不相同，那么就有反函数.在定义域上严格单调的函数必存在反函数.
（3）函数的图像与其反函数的图像关于直线轴对称。
题型1、函数关系的建立与初步应用
例1、（1）某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是( )
A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时
（2）一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．
①求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；
②由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．
【说明】以上主要考查函数模型在实际中的应用，解题的关键是根据题意求出函数的解析式，考查应用能力和计算能力；函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题；
题型2、函数的零点及其求法
例2、（1）函数f(x)＝(lg x)2－lg x的零点为
（2）判断下列函数零点的个数．
①f(x)＝x2－eq \f(3,4)x＋eq \f(5,8)；②f(x)＝ln x＋x2－3.
又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个；
【说明】1、探究函数零点的两种求法：
（1）代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点；
（2）几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点；
2、判断函数零点个数的四种常用方法：
（1）利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．
（2）画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．
（3）结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．
（4）转化成两个函数图象的交点个数问题；
题型3、判断或证明函数零点的存在性
例3、（1）证明：函数f(x)＝2x＋x在R上有零点.
（2）求证：函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.
【说明】1、若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断；
2、利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图象进行判定；
题型4、判断零点所在的区间
例4、（1）f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
（2）若方程xlg(x＋2)＝1的实根在区间(k，k＋1)(k∈Z)上，则k等于
【说明】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法：
1、解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．
2、利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)b>c B. b>c>a
C. c>a>b D. b>a>c
例13、若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是____________________
例14、 [x]表示不超过x的最大整数，例如[3.5]＝3，[－0.5]＝－1.已知x0是方程ln x＋3x－15＝0的根，则[x0]＝( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
例15、在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？
题型12、与函数应用相关的综合题
例16、若函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))|x－1|＋m有零点，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1] B．[－1，＋∞)
C．[－1,0) D．(0，＋∞)
例17、设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“关联函数”，则m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，－2)) B．[－1,0]
C．(－∞，－2] D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,4)，＋∞))
例18、若方程|x2－4x|－a＝0有四个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
例19、已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝lg3x＋2，h(x)＝lg3x＋x的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是________________________
例20、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2|x|，x≤m，,|lg x|＋1，x>m，))其中0≤m