专题07 函数图像的作法及其应用（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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函数的图像与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图像的识别与应用以及函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用；命题规律：高考对函数图像的考查，通常涉及函数的奇偶性、单调性等，考查考生灵活应用知识、分析函数图像与性质的能力，体现了对知识侧重于理解和应用的考查的要求；
一、教材相关
第5章 函数的概念、性质及应用【课本目录】
5.1.2 函数的表示方法；
本章内容提要
1. 函数的概念：
（3）函数的图像是表示函数性质的直观而又形象的工具；
2. 函数的性质：
（1）如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个偶函数；如果对定义域中的任一给定的，均成立，则称，是一个奇函数；
函数的奇、偶性分别刻画了函数图像关于原点及 轴的对称性；
（3）设函数在处的函数值是.如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式,那么叫做函数的最小值；如果对于定义域内任意给定的，都成立不等式，那么叫做函数的最大值. 最大值与最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标；
3. 函数的应用：
（2）零点是指函数图像与轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求近似零点的有效手段；
（3）依靠函数，可以用动态的观点来考察方程的求解，以及不等式的求解；
二、对教材的理解
1、作函数图像有两种基本方法：一是描点法；二是图像变换法，其中图像变换有平移变换、伸缩变换、对称变换；
描点法
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
图像变换法
（1）平移变换
①函数的图像是把函数的图像沿轴向左平移个单位得到的；
②函数的图像是把函数的图像沿轴向右平移个单位得到的；
③函数的图像是把函数的图像沿轴向上平移个单位得到的；
④函数的图像是把函数的图像沿轴向下平移个单位得到的；
（2）对称变换
①函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于轴对称；
函数与函数的图像关于坐标原点对称；
②若函数的图像关于直线对称，则对定义域内的任意都有
或（实质上是图像上关于直线对称的两点连线的中点
横坐标为，即为常数）；
若函数的图像关于点对称，则对定义域内的任意都有
③的图像是将函数的图像保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分关于轴对称翻折上来得到的（如图（a）和图（b））所示
④的图像是将函数的图像只保留轴右边的部分不变，并将右边的图像关于轴对称得到函数左边的图像即函数是一个偶函数（如图（c）所示）.
注：的图像先保留原来在轴上方的图像，做出轴下方的图像关于轴对称图形，然后擦去轴下方的图像得到；而的图像是先保留在轴右方的图像，擦去轴左方的图像，然后做出轴右方的图像关于轴的对称图形得到.这两变换又叫翻折变换.
⑤函数与的图像关于对称；
2、函数图像的应用
主要体现为数形结合；利用函数图像可以判断函数的单调性、奇偶性等图像的特点；借助于函数图像的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图像在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图像，再观察；
提醒：图像平移与整体放缩不改变图像的对称性，求解较复杂函数图像的对称点或对称轴时可先平移；
题型1、函数图像的作法
例1 、作出下列函数的图像并求出其值域．
（1）y＝2x＋1，x∈[0，2]；
（2）y＝eq \f(2,x)，x∈[2，＋∞)；
（3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2]；
（4）y＝x＋2|x|≤3；
（5）y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2；
【提示】注意：先研究函数的性质再作图；
【解析】（1）列表：
当x∈[0，2]时，图像是直线的一部分，观察图像可知，其值域为[1，5]．
(2)列表：
（2）当x∈[2，＋∞)时，图像是反比例函数y＝eq \f(2,x)的一部分，观察图像可知其值域为(0,1]．
（3）列表：
画图像，图像是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x≤2之间的部分，由图可得函数的值域是[－1,8]．
（4）因为|x|≤3，所以函数的图像为线段，而不是直线，如图：
(5）因为x∈Z且|x|≤2，所以函数的图像是五个孤立的点，如图：
【说明】作函数图像的基本步骤：
列表：取自变量的若干个数，求出相应的函数值；
描点：在平面直角坐标系中描出相应的点；
连线：用光滑的曲线将描好点连接起来，得到函数的图像；
题型2、结合图像变换作函数图像
例2 、（1）若函数y＝f(x)的图像如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图像大致为（ ）
A B
C D
【答案】C；
【解析】要想由y＝f(x)的图像得到y＝－f(x＋1)的图像，需要先将y＝f(x)的图像关于x轴对称得到y＝－f(x)的图像，然后再向左平移一个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图像，根据上述步骤可知C正确；
（2）作出下列函数的大致图像：
①；②)；③．
【提示】根据图像的变换性质，结合所画函数图像的解析式与解析式之间的关系进行画图即可.
【详解】①第一步：作函数的图像；
第二步：把函数的图像位于x轴下方的部分沿x轴翻折（位于x轴和x轴上方的不变），即得的图像，如下图：

②第一步和第二步同（1）；
第三步：把的图像向右平移1个单位长度即得的图像如下图所示：

③第一步：作函数的图像；
第二步：把函数的图像沿y轴翻折，
得的图像；
第三步：把的图像向右平移1个单位长度，得函数的图像；
第四步：把的图像位于x轴下方的部分沿x轴翻折（x轴上及x轴上方的不变），即得的图像如下图所示：

题型3、由函数解析式识别函数图像
例3 、（1）函数f(x)＝x·ln |x|的图像可能是（ ）
【答案】D
【解析】函数f(x)＝x·ln |x|是奇函数，排除选项A，C；当x＝eq \f(1,e)时，y＝－eq \f(1,e)，对应点在x轴下方，排除B；
（2）函数y＝eq \f(ln|x|,x2＋2)的图像大致为（ ）
【答案】B；
【解析】设y＝f(x)＝eq \f(ln|x|,x2＋2)，则函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称.
又f(－x)＝eq \f(ln|－x|,（－x）2＋2)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除A，C；
当x∈(0，1)时，ln|x|＜0，x2＋2＞0，所以f(x)＜0，排除D；故选B；
【说明】由解析式确定函数图像的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特征点排除不符合要求的图像；
题型4、会根据实际问题“建模”作函数图像
例4、（1）直角梯形如图，直线左边截得面积的图像大致是（ ）
A．B．C．D．
【提示】根据图形的面积求得的表达式，进而确定正确答案；
【答案】C；
【解析】直线的方程为，
当，.
当时，.
所以，
对应的图像为C选项；故选：C；
（2）“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点；用分别表示乌龟和兔子经过的路程，t为时间，则与故事情节相吻合的是（ ）
A．B．
C．D．
【提示】关键是根据题意判断关于的函数的性质以及其图像；
【答案】B
【解析】由题意可得始终是匀速增长,开始时, 的增长比较快,但中间有一段时间停止增长，
在最后一段时间里, 的增长又较快,但的值没有超过的值,结合所给的图像可知，B选项正确;
故选：B；
题型5、函数图像像的变换
例5 、（1）要得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A．向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
B．向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
【提示】直接根据函数的平移法则得到答案.
【答案】B
【解析】函数的图像向右平移1个单位得到，再将得图像向上平移1个单位得到；故选：B；
（2）若函数的图像如下图所示，函数的图像为（ ）

A． B． C． D．
【提示】利用函数图像的对称变换和平移变换，判断选项；
【答案】C
【解析】函数的图像关于对称可得函数的图像，
再向右平移2个单位得函数，即的图像；故选：C；
题型6、依据函数图像研究函数的性质
例6、（1）已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数，单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，单调递减区间是(－∞，1)
C．f(x)是奇函数，单调递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，单调递增区间是(－∞，0)
【答案】C
【解析】将函数f(x)＝x|x|－2x
去掉绝对值，得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))
画出函数f(x)的图像，如图所示，
观察图像可知，
函数f(x)的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减；
（2）已知函数f(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝的定义域是________.
【答案】(2，8]
【解析】当f(x)>0时，函数g(x)＝lgeq \r(2)f(x)有意义，
由函数f(x)的图像知满足f(x)>0时，x∈(2，8]；
题型7、根据函数的图像解不等式
例7、（1）已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)＞0的解集是（ ）
A．(－1，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(0，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)
【答案】D；
【解析】在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图像如图；
由图像得交点坐标为(0，1)和(1，2)；
又f(x)＞0等价于2x＞x＋1，
结合图像，可得x＜0或x＞1.
故f(x)＞0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)；
（2）设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数，且图像过点(1，0)，则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为_____________________________
【答案】{x|x≤0或1＜x≤2}
【解析】画出f(x)的大致图像如图所示.
不等式(x－1)f(x)≤0可化为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞1，,f（x）≤0，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＜1，,f（x）≥0.))
由图可知符合条件的解集为{x|x≤0或1＜x≤2}；
【说明】当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为图像的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解；
题型8、根据函数的图像确定零点个数
例8、（1）函数F(x)＝ln(x＋1)－x2＋4x－4的零点交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】由题意，等价为：函数f(x)＝ln(x＋1)的图像与函数g(x)＝x2－4x＋4的图像的交点个数；
由于函数f(x)＝ln(x＋1)的图像是由函数y＝ln x的图像向左平移1个单位长度得到的，
函数g(x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2，故函数g(x)的对称轴为x＝2，顶点坐标为(2,0)，开口向上，
所以作出f(x)，g(x)的图像如图所示，
故函数f(x)与g(x)的图像有两个交点；
（2）已知f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|lg x|，x＞0，,2|x|，x≤0，))则函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点个数是
【答案】5
【解析】方程2f2(x)－3f(x)＋1＝0的解为f(x)＝eq \f(1,2)或1；
作出y＝f(x)的图像，由图像知零点的个数为5；
题型9、元素与集合的含义
例9、（1）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)；若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，则m的取值范围是( )
A. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4)))
C. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2))) D. eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10＋\r(2),4)))
【答案】B
【解析】∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍；
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－eq \f(1,2)，
解得x1＝eq \f(10－\r(2),4)，x2＝eq \f(10＋\r(2),4)，
∴要使对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(1,2)，
则m≤eq \f(10－\r(2),4)，∴m∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(10－\r(2),4))).
（2）已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≤0，,ln(x＋1)，x>0，))若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，则实数a的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[－3,0]
C．(－∞，－3]∪[3，＋∞) D．(－∞，－3]∪(0，＋∞)
【答案】D
【解析】根据题意，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－x，x≤0，,ln(x＋1)，x>0))的图像如图，
直线y＝ax－1恒过定点(0，－1)，
若存在x0∈R使得f(x0)≤ax0－1，
则函数f(x)的图像在直线y＝ax－1下方有图像或与直线有交点，
当a＝0时，f(x)的图像恒在y＝ax－1图像的上方，不符合题意；
当a>0时，直线y＝ax－1经过第一、三、四像限，与函数f(x)的图像必有交点，符合题意；
当a<0时，直线y＝ax－1经过第二、三、四像限，若直线y＝ax－1与f(x)有交点，
必然相交于第二像限．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x2－x，,y＝ax－1，))
即ax－1＝x2－x，变形可得x2－(a＋1)x＋1＝0，
令Δ＝0，解得a＝－3或1(舍)，则有a≤－3，
综上可得，a的取值范围为(－∞，－3]∪(0，＋∞)．
【说明】函数图像的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图像的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．求解两个函数图像在给定区间上的交点个数问题时，可以先画出已知函数完整的图像，再观察；
题型10、与函数图像相关的新颖题
例10、若直角坐标系内A，B两点满足：
（1）点A，B都在f(x)图像上；（2）点A，B关于原点对称，则称点对(A，B)是函数f(x)的一个“和谐点对”，(A，B)与(B，A)可看作一个“和谐点对”；
已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x(x<0)，,\f(2,ex)(x≥0)，))则f(x)的“和谐点对”有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图像关于原点对称的图像(如图中的虚线部分)，
看它与函数y＝eq \f(2,ex)(x≥0)的图像的交点个数即可，观察图像可得交点个数为2，
即f(x)的“和谐点对”有2个．
例11、设奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，则不等式eq \f(f(x)－f(－x),x)<0的解集为( )
A．(－1,0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
【答案】D
【解析】因为f(x)为奇函数，
所以不等式eq \f(f(x)－f(－x),x)<0可化为eq \f(f(x),x)<0，
即xf(x)<0，f(x)的大致图像如图所示，
所以原不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．
例12、给定min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b,b，b＜a))，已知函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4，若动直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，则实数m的取值范围为________．
【答案】(4，5)；
【解析】设g(x)＝min{x，x2－4x＋4}，则f(x)＝g(x)＋4，故把g(x)的图像向上平移4个单位长度，
可得f(x)的图像，函数f(x)＝min{x，x2－4x＋4}＋4的图像如图所示，
由于直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有3个交点，数形结合可得m的取值范围为(4,5)．
题型10、与函数图像相关的综合题
例13、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋1，x≤0，,2－x，x>0，))若存在x1，x2，x3(x1A．(0,1] B．[0,1]
C．(－∞，1] D．(－∞，1)
【答案】B
【解析】作出f(x)的大致图像如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，
由图可知，x1，x2关于直线x＝－1轴对称，
即x1＋x2＝－2，
又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2.
由图像知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]．
例14、已知函数f(x)＝|3－2x－x2|的图像和直线2x＋ay＋7＝0有三个交点，则a＝________.
【答案】－1
【解析】画出函数f(x)的图像，如图所示.
因为直线2x＋ay＋7＝0过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7,2)，0))，
所以当直线2x＋ay＋7＝0与f(x)＝3－2x－x2(－3＜x＜1)的图像相切时，
符合题意.
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝3－2x－x2，,2x＋ay＋7＝0，))
得ax2＋2(a－1)x－(3a＋7)＝0，
由Δ＝4(a－1)2＋4a(3a＋7)＝4(4a＋1)(a＋1)＝0，得a＝－1或a＝－eq \f(1,4).
当a＝－1时，方程－x2－4x－4＝0的解为x＝－2，满足条件－3＜x＜1；
当a＝－eq \f(1,4)时，方程－eq \f(1,4)x2－eq \f(5,2)x－eq \f(25,4)＝0的解为x＝－5，不满足条件－3＜x＜1.所以a＝－1.
例15、已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x，x<0，,－x2＋2x，x≥0))是定义在R上的奇函数．
（1）请画出f(x)的大致图像并在图像上标注零点；
（2）已知a>1，若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）若函数φ(x)＝f(x)－ex，求φ(x)的零点个数．
【解析】（1）根据题意，列表如下，
f(x)的大致图像如图所示，其中有A，O，B三个零点，
（2）由（1）的函数图像可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1（3）φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图像交点的横坐标，
又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图像，易知f(x)与y＝ex的图像在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点；
例16、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1－x,x)，x>0.))
（1）画出函数f(x)的图像；
（2）当f(x)≥2时，求实数x的取值范围．
【解析】（1）由题得f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤0，,\f(1,x)－1，x>0，))其图像如图所示，
（2）由题可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤0，,x2≥2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>0，,\f(1－x,x)≥2，))
解得x≤－eq \r(2)或0所以实数x的取值范围为(－∞，－eq \r(2)]∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3))).
【说明】1、确定函数图像的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图像；2、函数图像的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图像的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题；
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、已知函数y＝f(－x)的图像过点(4，2)，则函数y＝f(x)的图像一定过点________．
【答案】 (－4，2)
【解析】y＝f(－x)与y＝f(x)的图像关于y轴对称，故y＝f(x)的图像一定过点(－4，2)；
2、若函数f(x)＝eq \f(ax－2,x－1)的图像关于点(1，1)对称，则实数a＝________.
【答案】1
【解析】f(x)＝eq \f(ax－a＋a－2,x－1)＝a＋eq \f(a－2,x－1)，关于点(1，a)对称，故a＝1；
3、已知函数f(x)＝|x2－1|，若0【答案】(1，eq \r(2)) ；
【解析】作出函数f(x)＝|x2－1|在区间(0，＋∞)上的图像如图所示，
作出直线y＝1，交f(x)的图像于B点，由x2－1＝1可得xB＝eq \r(2)，
结合函数图像可得b的取值范围是(1，eq \r(2))；
4、已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1，x≤0，,－\f(3,x)，x>0.))若关于x的方程f(x)＋ax－a＝0有2个不同的实根x1，x2，且x1x2<0，则a的取值范围是
【答案】(0，2] ；
【解析】关于x的方程f(x)＋ax－a＝0
有2个不同的实根等价于直线y＝－a(x－1)
与f(x)的图像有2个不同的交点，
画出f(x)的图像，由图可知－2≤－a<0，即05、如图，已知函数f(x)的图像为折线ACB (含端点A，B)，
其中A(－4,0)，B(4,0)，C(0,4)，
则不等式f(x)>lg2(x＋2)的解集是________．
【答案】 [－4，2)；
【解析】在同一坐标系中作出函数y＝f(x)和y＝lg2(x＋2)的图像，
易知当x＝2时，f(x)＝lg2(x＋2)＝2，
∴不等式f(x)>lg2(x＋2)的解集是[－4,2)．
答案：[－4,2)
6、设函数y＝f(x)的图像与y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋a的图像关于直线y＝x对称，且f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝4，则实数a＝________.
【答案】－2
【解析】设(x，y)是y＝f(x)图像上任意一点，则(y，x)在函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x＋a的图像上．
所以x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))y＋a，则.
因此.
由f(3)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝4，得－1＋1－2a＝4，所以a＝－2.
7、函数f(x)＝eq \f(x＋1,x)的图像与直线y＝kx＋1交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，则y1＋y2＝________.
【答案】2
【解析】因为f(x)＝eq \f(x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋1，所以f(x)的图像关于点(0,1)对称，而直线y＝kx＋1过(0,1)点，故两图像的交点(x1，y1)，(x2，y2)关于点(0,1)对称，所以eq \f(y1＋y2,2)＝1，即y1＋y2＝2.
8、设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f(x＋1)【答案】 (－∞，0)
【解析】当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1；
作出f(x)的大致图像如图所示，
结合图像可知，要使f(x＋1)则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1<0，,2x<0，,2x9、若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围
是
【答案】[－1，0]∪[1，3]
【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图像如图(2)所示.
当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≤0，
得－1≤x≤0.
当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0，则f(x－1)≥0，
得1≤x≤3.
故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是[－1，0]∪[1，3].
10、已知函数f(x)＝x2－2|x|－m的零点有两个，则实数m的取值范围是________．
【答案】{－1}∪(0，＋∞)
【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数y＝x2－2|x|的图像和直线y＝m，
可知当m>0或m＝－1时，直线y＝m与函数y＝x2－2|x|的图像有两个交点，
即函数f(x)＝x2－2|x|－m有两个零点．

二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、函数y＝eq \f(4x,x2＋1)的图像大致为( )
A B
C D
【答案】A；
【解析】因为f(－x)＝eq \f(－4x,x2＋1)＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称，排除C，D；当x＝1时，y＝eq \f(4,1＋1)＝2＞0，排除B．故选A；
12、设函数f(x)＝eq \f(4x2,3|x|)，则函数f(x)的图像大致为( )
【答案】A
【解析】观察函数解析式发现，x是以平方、绝对值的形式出现的，所以f(x)为偶函数，排除B；当x>0时，f(x)＝eq \f(4x2,3x)，当x→＋∞时，f(x)→0，排除C.因为f(2)＝eq \f(4×22,32)＝eq \f(16,9)<2，选项D中f(2)>2，所以D不符合题意．
13、设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，则m的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(9,4)))B．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(5,2)))D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(8,3)))
【答案】B；
【解析】∵f(x＋1)＝2f(x)，∴f(x)＝2f(x－1)．
∵x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，0))；
∴x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，
f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))；
∴x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，
f(x)＝2f(x－1)＝4(x－2)(x－3)∈[－1,0]，
如图：
当x∈(2,3]时，由4(x－2)(x－3)＝－eq \f(8,9)，
解得x1＝eq \f(7,3)，x2＝eq \f(8,3)，
若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－eq \f(8,9)，
则m≤eq \f(7,3).则m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,3))).故选B．]
14、已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－2)2，04，))则方程f(x)＝1的解的个数为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】由题意知，当x>0时，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1((x－2)2，04，))
作出函数f(x)的图像，如图所示，
又由方程f(x)＝1的解的个数，即为函数y＝f(x)与y＝1的图像交点的个数可知，
当x>0时，结合图像，函数y＝f(x)与y＝1的图像有5个交点，
又因为函数y＝f(x)为偶函数，图像关于y轴对称，所以当x<0时，函数y＝f(x)与y＝1的图像也有5个交点，
综上可得，函数y＝f(x)与y＝1的图像有10个交点，即方程f(x)＝1的解的个数为10.
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
如图，函数y＝f(x)的图像由曲线段OA和直线段AB构成．
（1）写出函数y＝f(x)的一个解析式；
（2）提出一个能满足函数y＝f(x)的图像变化规律的实际问题．
【解析】（1）当0≤x≤2时，曲线段OA类似指数函数y＝2x，由O(0,0)，A(2,3)可知f(x)＝2x－1，
当2得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝2a＋b，,0＝5a＋b，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝5，))
此时y＝－x＋5，
所以f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－1，0≤x≤2，,－x＋5，2（2）答案不唯一，合理即可．
离上课时间还有5分钟时，小明用了2分钟急速跑(先慢后快)到距离教室3百米的操场找小华来上课，
然后两个人用了3分钟时间匀速走到教室；
16.（本题10分）
作出下列各函数的图像：
（1）y＝x－|x－1|；（2）y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|；（3）y＝|lg2x－1|；
【解析】（1）根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，x≥1，,2x－1，x<1，))
可见其图像是由两条射线组成，如图①所示．
（2）作出y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图像，保留y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图像中x≥0的部分，
加上y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x的图像中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))|x|的图像，如图②实线部分所示．
（3）先作出y＝lg2x的图像，再将其图像向下平移一个单位长度，保留x轴上方的部分，
将x轴下方的图像翻折到x轴上方，即得y＝|lg2x－1|的图像，如图③所示．
17.（本题满分12分）
已知函数f(x)＝2x，x∈R.
（1）当m取何值时，方程|f(x)－2|＝m有一个解？两个解？
（2）若不等式f2(x)＋f(x)－m>0在R上恒成立，求m的取值范围．
【解析】（1）令F(x)＝|f(x)－2|＝|2x－2|，G(x)＝m，画出F(x)的图像如图所示．
由图像可知，当m＝0或m≥2时，函数F(x)与G(x)的图像只有一个交点，原方程有一个解；当0（2）令f(x)＝t(t>0)，H(t)＝t2＋t，
因为H(t)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以H(t)>H(0)＝0.
因此要使t2＋t>m在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m≤0，
即所求m的取值范围为(－∞，0]．
18.（本题满分14分、第1小题满分4分、第2小题满分4分，第3小题满分6分）
已知函数|.
（1）作出图像；
（2）由图像像指出其单调区间；
（3）由图像指出当x取什么值时函数有最值；
【提示】（1）首先做出，再根据函数平移规则得到的图像；
（2）（3）结合函数图形，即可得解；
【答案】（1）图像见解析；（2）单调递增区间为，单调递减区间为；（3）
【解析】（1）先作函数的图像，再作函数图像.
作法：将函数图像在y轴左侧去掉，保留右侧，再把右侧沿y轴翻折到左侧得到函数图像（下图中虚线），再将函数图像向左平移1个单位得到函数图像，函数图像如下图所示：
（2）由图像知函数在上是增函数，在上是减函数，
即函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
（3）由图像知当时，函数有最大值1，无最小值；x
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
2
y
1
2
3
4
5
x
2
3
4
5
…
y
1
eq \f(2,3)
eq \f(1,2)
eq \f(2,5)
…
x
－2
－1
0
1
2
y
0
－1
0
3
8
x
－2
－1
0
1
2
f(x)
0
－1
0
1
0