专题08 用函数模型解决实际问题（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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用函数模型解决实际问题的基本步骤：
1、审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型；
2、建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；
3、解模：对已经“数学化”的问题，用所学过的数学知识处理，求出解；
4、检验：将数学问题的解代入实际问题检验，舍去不合题意的解，并作答；
1、常见的函数模型
（1）一次函数模型：f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)；
（2）反比例函数模型：f(x)＝eq \f(k,x)＋b(k，b为常数，k≠0)；
（3）二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)；
（4）指数函数模型：f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)；
（5）对数函数模型：f(x)＝mlgax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)；
（6）幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)．
（7）分段函数模型；
题型1、根据题设给定函数模型解实际问题
例1、通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：
f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－0.1x2＋2.6x＋43，0（1）开始后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？
（2）开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？
（3）一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？
题型2、依据一次函数模型解题
例2、（1）为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示．
①分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
②请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜；
（2）某公司试销一种新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价500元/件，又不高于800元/件．经试销调查发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)近似满足一次函数y＝kx＋b的关系(图象如图所示)．
①根据图象，求一次函数y＝kx＋b的表达式；
②设公司获得的毛利润(毛利润＝销售总价－成本总价)为S元，求该公司可获得的最大毛利润，并求出此时相应的销售单价．
题型3、依据二次函数模型解题
例3、（1）某超市每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶，在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？
（2）某厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部产品的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
①设一次订购x件，产品的实际出厂单价p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
②当销售商一次订购多少件产品时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【说明】在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，根据实际问题建立二次函数解析式后，主要是结合二次函数的图像，其图像受定义域(是全体实数，还是闭区间，还是开区间，还是正整数等)与开口方向等条件的限制；可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题；
题型4、依据指数型函数模型解题
例4、（1）某学校为了预防甲型H1N1流感，对教室采用药熏消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,16)))eq \s\up8(t－a) (a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
（2）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(M,m)))2 000(e为自然对数的底)；
①当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)；
②当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m多少倍时，求火箭的最大速度是否可以达到8 km/s？(结果精确到个位，数据：e≈2.718，e4≈54.598，ln 3＝1.099)
【说明】在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式；
应用已知指数型（对数型）函数模型解题，有两种题型：
1、直接依据题中的函数解析式解决相关问题；
2、若函数解析式中含有参数，将题中相应数据代入解析式，求得参数，从而确定函数解析式，并解决问题，这时用到的是待定系数法；
题型5、依据对数型函数模型解题
例5、（1）燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v＝5lg2eq \f(Q,10)，单位是m/s，其中Q表示燕子的耗氧量．
①求燕子静止时的耗氧量是多少个单位；
②当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数；
①当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？
②某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
【说明】有关对数函数的应用题一般都会给出函数关系式，要求根据实际情况求出函数关系式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入关系式求值，然后根据值回答其实际意义；
题型6、用好分段函数模型解题
例6、（1）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
①当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
②当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
（2）某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(μg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．
①写出服药后每毫升血液中的含药量y与时间t之间的函数关系式y＝f(t)；
②据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病的有效时间；
【说明】1、分段函数模型的应用：分段函数模型应用的关键是确定分段的各分界点，即明确自变量的取值区间.对每一个区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式.需注意分段函数的最值是各区间上所得最值的最大者或最小者；
2、应用分段函数时的三个注意点：
①分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏.
②分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
③分段函数的值域求法为：逐段求函数值的范围，最后再求各段函数值范围的并集；
题型7、选择确切函数模型拟合实际问题
例7、（1）某化工厂开发研制的一种新产品，在前三个月的月产量依次为100 t、120 t、130 t．为了预测今后各个月的月产量，需要以这三个月的月产量为根据，用一个函数来模拟月产量y(t)与月序数x之间的关系．对此模拟函数可以选用二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N＋)或函数g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N＋)．现在已知该厂这种新产品的第四个月的月产量为137 t，试问：选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？
（2）某村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收取管理费2元，月用电量不超过30度时，每度0.5元；超过30度时，超过部分按每度0.6元收取；
方案二：不收管理费，每度0.58元．
①求方案一L(x)收费(元)与用电量x(度)间的函数关系；
②老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
③老王家该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二更好？
【说明】问题中给出函数关系式，且关系式中带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定，然后再通过运用函数使问题本身获解；
综上，
1、函数模型的应用实例主要包括三个方面：
（1）利用给定的函数模型解决实际问题；（2）建立确定性的函数模型解决实际问题；（3）建立拟合函数模型解决实际问题；
2、在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求；
3、在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母、列表、画图等使实际问题数学符号化；
4、根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题；
一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）
1、某商店每月利润的平均增长率为2%，若12月份的利润是当年1月份利润的k倍，则k＝________.
2、在一定范围内，某种产品的购买量y吨与单价x元之间满足一次函数关系，如果购买1 000吨，每吨为800元；购买2 000吨，每吨为700元，一客户购买400吨，单价应该是________元．
3、某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位是℃，t＝0时表示中午12：00，上午8：00时的温度为________℃.
4、某人从A地出发，开车以每小时80千米的速度经2小时到达B地，在B地停留3小时，则汽车离开A地的距离y(单位：千米)是时间t(单位：小时)的函数，则该函数的解析式为________________________
5、用长度为24的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为
6、甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________________．
7、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(θ,100)，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数；当一条鲑鱼的耗氧量是8 100个单位时，它的游速是 （m/s）
8、已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件，则该厂3月份产品的产量为____________（万件）
9、“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(N,90)))中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)．
10、某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
（1）如果不超过200元，则不给予优惠；
（2）如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
（3）如果超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，
则应付款是 (元)
二、选择题（共4小题 每小题4分，满分16分）
11、某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )
A．x>22% B．x<22%
C．x＝22% D．x的大小由第一年的产量确定
12、某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，1≤x＜10，,2x＋10，10≤x＜100，,1.5x，x≥100，))
其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
13、把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是T1(℃)，空气的温度是T0(℃)，经过t分钟后物体的温度T(℃)可由公式T＝T0＋(T1－T0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )
A．1.78 B．2.77
C．2.89 D．4.40
14、一名顾客计划到商场购物，他有三张优惠券，每张优惠券只能购买一件商品．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：
优惠券1：若标价超过50元，则付款时减免标价的10%；
优惠券2：若标价超过100元，则付款时减免20元；
优惠券3：若标价超过100元，则超过100元的部分减免18%.
若顾客购买某商品后，使用优惠券1比优惠券2、优惠券3减免的都多，则他购买的商品的标价可能为( )
A．179元 B．199元
C．219元 D．239元
三、解答题（共4小题，满分44分）
15.（本题8分）
某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，每生产100台，需要增加成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此产品的年需求量为500台，销售收入函数为R(x)＝5x－0.5x2(0≤x≤5，单位：万元)，其中x是产品出售的数量(单位：百台)．求年产量是多少时，工厂所得利润最大？
16.（本题10分）
为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的．研究表明：假设课桌的高度为y cm，椅子的高度为x cm，则y应是x的一次函数，下表列出了两套符合条件的课桌椅的高度：
(1)请你确定y与x的函数解析式(不必写出x的取值范围)；
(2)现有一把高42.0 cm的椅子和一张高78.2 cm的课桌，它们是否配套？为什么？
17.（本题满分12分）
)“城中观海”是近年来国内很多大中型城市内涝所致的现象，究其原因，除天气因素、城市规划等原因外，城市垃圾杂物也是造成内涝的一个重要原因．暴雨会冲刷城市的垃圾杂物一起进入下水道，据统计，在不考虑其他因素的条件下，某段下水道的排水量V(单位：立方米/小时)是杂物垃圾密度x(单位：千克/立方米)的函数．当下水道的垃圾杂物密度达到2千克/立方米时，会造成堵塞，此时排水量为0；当垃圾杂物密度不超过0.2千克/立方米时，排水量是90立方米/小时；研究表明，0.2≤x≤2时，排水量V是垃圾杂物密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤2时，求函数V(x)的表达式；
(2)当垃圾杂物密度x为多大时，垃圾杂物量(单位时间内通过某段下水道的垃圾杂物量，单位：千克/小时)ƒ(x)＝x·V(x)可以达到最大，求出这个最大值．
18.（本题满分14分、第1小题满分6分、第2小题满分8分）
小张周末自驾游，早上8点从家出发，驾车3 h到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s(单位：km)与离家的时间t(单位：h)的函数关系为s(t)＝－5t(t－13)．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60 km/h的速度沿原路返回．
(1)求这天小张的车所走的路程s(单位：km)与离家时间t(单位：h)的函数解析式；
(2)在距离小张家60 km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．第一套
第二套
椅子高度x(cm)
40.0
37.0
桌子高度y(cm)
75.0
70.2