专题09 例析与函数有关的新定义问题（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学上学期期末复习课·专题（上海专用 沪教版2020必修第一册）

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1、函数新定义问题的一般形式是由命题者先给出一个新的概念、新的运算法则，或者给出一个抽象函数的性质等，然后让学生按照这种“新定义”去解决相关的问题；
2、解决函数新定义问题的关键是紧扣新定义，学会语言的翻译和新旧知识的转化，可以培养学生的数学抽象的核心素养；
题型1、给出函数的新定义
例1、（1）设函数y＝f(x)在R上有定义，对于任一给定的正数p，
定义函数fp(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(x)，f(x)≤p，,p，f(x)>p，))则称函数fp(x)为f(x)的“p界函数”；若给定函数f(x)＝x2－2x－1，p＝2，则下列结论错误的是（ ）
A．fp(f(0))＝f(fp(0)) B．fp(f(1))＝f(fp(1))
C．fp(fp(2))＝f(f(2)) D．fp(fp(3))＝f(f(3))
【提示】理解与转化新定义：“p界函数”；
【答案】B
【解析】因为f(x)＝x2－2x－1，p＝2，所以f2(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－2x－1，－1≤x≤3，,2，x3，))
对于A，fp(f(0))＝f2(－1)＝2，f(fp(0))＝f(－1)＝1＋2－1＝2，所以A正确；
对于B，fp(f(1))＝f2(－2)＝2，f(fp(1))＝f(－2)＝4＋4－1＝7，所以B错误；
对于C，fp(fp(2))＝f2(－1)＝2，f(f(2))＝f(－1)＝2，所以C正确；
对于D，fp(fp(3))＝f2(2)＝－1，f(f(3))＝f(2)＝－1，所以D正确．
（2）若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]为“同值函数”，给出下列四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的命题的序号是
①y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
②y＝x＋ eq \r(x＋1)
③y＝ eq \f(1,x)－lg3x
④y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))
【答案】①④
【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应．因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调；
对于①，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故①可以构造“同值函数”；
对于②，y＝x＋ eq \r(x＋1)，为定义在[－1，＋∞)上的增函数，故②不可以构造“同值函数”；
对于③，y＝ eq \f(1,x)－lg3x，为定义在(0，＋∞)上的减函数，故③不可以构造“同值函数”；
对于④，y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x＋1)))，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故④可以构造“同值函数”；
题型2、给出函数的新规则
例2、（1）已知函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(k,b)，\f(k,a)))，那么就称函数f(x)为“D上的k类成功函数”．已知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则实数k的取值范围为（ ）
A．(0，2] B．[0，2]
C．(0，2) D．(－2，2)
【提示】理解函数的新规则与等价转化；
【答案】C
【解析】由题意知函数f(x)＝3－x2是“(0，＋∞)上的k类成功函数”，则f(x)在[a，b]上的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(k,b)，\f(k,a))).
由f(x)在(0，＋∞)上单调递减，得k>0，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f(a)＝\f(k,a)，,f(b)＝\f(k,b)，))
即方程f(x)＝eq \f(k,x)在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根，即3x－x3＝k在(0，＋∞)上必有两个不相等的实数根．
（2）已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有|f(x)|≤m|x|，则称f(x)为F函数．下列函数为F函数的序号是
①f(x)＝x2
②f(x)＝sin x＋cs x
③f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋1)
④f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|
【答案】③④
【解析】对于①，|f(x)|＝|x||x|，所以不存在实数m使得对任意x∈R有|f(x)|≤m|x|，故其不是F函数；
对于②，f(x)＝sin x＋cs x，当x＝0时，f(0)＝1≥m×0，
故|f(x)|≤m|x|不成立，故其不是F函数；
对于③，f(x)＝eq \f(x,x2＋x＋1)，|f(x)|＝eq \f(1,x2＋x＋1)|x|≤eq \f(4,3)|x|，
故对任意的m≥eq \f(4,3)，都有|f(x)|≤m|x|，故其是F函数；
对于④，f(x)是定义在R上的奇函数，
且满足对一切实数x1，x2均有|f(x1)－f(x2)|≤2|x1－x2|，
令x1＝x，x2＝0，由奇函数的性质知，f(0)＝0，故有|f(x)|≤2|x|，显然是F函数
题型3、给出函数的新性质
例3、（1）定义新运算“ eq \a\vs4\al\c1(■)”与性质：当m≥n时，m eq \a\vs4\al\c1(■)n＝m；当m