专题01 任意角及其度量（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做弧度的角.用“弧度”作为单位来度量角的单位制称为弧度制；
扇形弧长与面积：记扇形的半径为，圆心角为弧度，弧长为，面积为，则有，；
单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；
正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有
，，（），（）；
同角三角公式：，，，；
诱导公式：（），，，；
诱导公式，其规律为口诀：奇变偶不变，符号看象限.
2、常用三角公式
和角与差角公式：，，
；
倍角公式：
，
，
；
3、解三角形
正弦定理：；
余弦定理：，，；
三角形面积公式：；
二、考点解读
1、锐角A的正弦，余弦，正切，余切
在Rt△ABC中，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA===;
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作csA，即csA===;
在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA===;
在Rt△ABC中，锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作ctA，即ctA===;
锐角A的正弦、余弦、正切与余切也可以都叫做锐角A的三角比；
2、角的概念的推广
在小学和初中我们已经知道， 角是具有公共端点的两条射线所组成的图形；
高中，在集合视角下，角还可以看作是平面上由一条射线绕着其端点
从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形；
3、角的分类
正角，负角，零角；
一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是正的；
按顺时针方向旋转所形成的角为正角；其度量值是负的；
特别地，当一条射线没有旋转时（终边与始边重合），我们也认为形成了一个角，称为零角；零角的终边与始边重合；
4、终边相同的角及其表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；
【特别注意】角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用
5、象限角
为了便于研究角与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中；使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边在轴的正半轴重合；此时，终边落在第几象限就说这个角时第几象限的角；
6、角度制
在平面几何中，周角的360分之一作为1度；用“度”作为单位度量角的单位制叫做角度制；
7、弧度制
把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；用“弧度”作为单位度量角的单位制叫做弧度制；
8、扇形的弧长、扇形的面积公式
设扇形所在圆的半径为，圆心角为，所对弧长为，对应面积为，
则；
1、角的概念
（1）定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
（2）分类：按旋转方向不同分为正角、负角、零角；按终边位置不同分为象限角和轴线角；
（3）相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α；
2、终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，或S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}；即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和；
【注意】对终边相同的角的理解：
（1）α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏；
（2）k·360°与α中间用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)；
（3）当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同；
3、象限角
把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限；
【注意】（1）象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．
（2）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α，k∈Z；
（3）象限角
（4）轴线角
4、终边相同的角与对称性拓展
（1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z；
（2）β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z；
（3）β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z；
（4）β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z；
5、弧度制的定义和公式
（1）定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
（2）公式
【注意】1、在应用扇形面积公式S＝eq \f(1,2)αR2时，要注意α的单位是“弧度”；
2、在运用公式时，根据已知条件，选择合适的公式代入；
3、在弧度制下的扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lR，与三角形面积公式S＝eq \f(1,2)ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆；
4、由α，R，l，S中任意的两个量可以求出另外的两个量；
题型1、准确把握角的概念
例1、（1）下列说法正确的是（ ）
A．终边相同的角一定相等 B．钝角一定是第二象限角
C．第一象限角一定不是负角 D．小于90°的角都是锐角
【提示】；
【答案】；
【解析】；
（2）下列结论：
①锐角都是第一象限角；
②第二象限角是钝角；
③小于180 °的角是钝角、直角或锐角．
其中，正确结论的序号为
【说明】1、判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：正确理解象限角与锐角，直角，钝角，平角，周角等概念；
（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可；
2、注意区分以下各角的不同：①锐角α：0°＜α＜90°；②小于90°的角α：α＜90°；③第一象限的角α：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}；（试试：换成用弧度表示）；
题型2、象限角的规范表示
例2、（1）填充：象限角的表示．
（2）终边在第一或第三象限的角的集合是 ．
【说明】注意：任意角都是象限角吗？为什么？
【解析】不是．一些特殊角终边可能落在坐标轴上．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不是象限角；
【建议】试试用弧度制表示；
题型3、用好终边相同角的表示
例3、（1）与－468°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝k·360°＋456°，k∈Z} B．{α|α＝k·360°＋252°，k∈Z}
C．{α|α＝k·360°＋96°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°－252°，k∈Z}
（2）已知α＝－1 910°.
①把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β