专题01 向量的概念和线性运算（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；
【本章教材目录】
第8章 平面向量
8.1 向量的概念和线性运算
8.2 向量的数量积
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律
8.3 向量的坐标表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示
8.4 向量的应用
【本章内容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.
（3）零向量：其模为，方向任意.
（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）负向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的线性运算
（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.
（2）减去一个向量等于加上它的负向量．
（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.
（4）设、、是平面上的任意向量，、
向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.
实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.
3. 向量的投影与数量积
（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.
（3）向量与的数量积定义为：.
（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.
4、平面向量基本定理与向量的坐标表示
（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基；
（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合；
（3）给定平面上两点与，则；
5、坐标表示下的向量运算
设向量，，则
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夹角、平行与垂直
设向量，，则
（1）.
（2）（）或（）.
（3）；
7、向量的应用
要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.
1、向量的概念和表示方法
（1）向量的定义：既有大小，又有方向的量称为向量；
（2）向量的表示：
①字母表示：用小写字母eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))表示，手写时必须加箭头；
②几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示：如：，eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))，eq \(EF,\s\up6(→))…
【说明】后续还有向量的坐标表示；特别注意：
（1）书写向量时带箭头；（2）向量强调长度和方向两个元素；（3）有向线段与向量不是同一概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素；每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段；
2、向量的模及两个特殊向量
（1）向量的长度（模）：向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小，也就是向量eq \(AB,\s\up6(→))的长度(或模)，记作|eq \(AB,\s\up6(→))|；
（2）两个特殊向量：
①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来；
②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量；
【说明】（1）向量不能比较大小，它的模可以比较大小；（2）零向量不能说没有方向，它的方向是任意的；（3）单位向量有无数个，它们大小相等，方向不一定相同；
3、 相等向量和共线向量
向量的有关概念及其表示
4、负向量（相反向量）
（1）定义：长度相等且方向相反的向量；
（2）表示方法：eq \(a,\s\up6(→))的相反向量记作－eq \(a,\s\up6(→))；
（3）相反向量的性质
（3）零向量的相反向量仍是零向量.
（4）对于相反向量有：eq \(a,\s\up6(→))＋(－eq \(a,\s\up6(→)))＝(－eq \(a,\s\up6(→)))＋eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))
（5）若eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))互为相反向量，则eq \(a,\s\up6(→))＝－eq \(b,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))＝－eq \(a,\s\up6(→))，eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；
5、 向量加法的定义及运算法则
【拓展】一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是方向相同的非零向量时，等号成立．
6、向量的减法
（1）定义：向量eq \(a,\s\up6(→))加上eq \(b,\s\up6(→))的相反向量，叫做eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的差，即eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋(－eq \(b,\s\up6(→)))，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法；
（2）几何意义：在平面内任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，则向量eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，如图所示.
（3）文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；
【说明】求作两个向量的差向量的两种思路：
（1）可以转化为向量的加法来进行，如eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))，可以先作－eq \(b,\s\up6(→))，然后作eq \(a,\s\up6(→))＋(－eq \(b,\s\up6(→)))即可；
（2）可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量；
7、 实数与向量的乘法及其运算律
（1）实数与向量的乘法之定义
一般地，实数λ与向量eq \(a,\s\up6(→))的积是一个向量，记作λeq \(a,\s\up6(→))；
它的长度和方向规定如下：
①|λeq \(a,\s\up6(→))|＝|λ||eq \(a,\s\up6(→))|；
②当λ＞0时，λeq \(a,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))的方向相同；当λ＜0时，λeq \(a,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))的方向相反；
当eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))时，λeq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；当λ＝0时，λeq \(a,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；
8、 向量共线定理
如果有一个实数λ，使eq \(b,\s\up6(→))＝λeq \(a,\s\up6(→)) (eq \(a,\s\up6(→))≠eq \(0,\s\up6(→)))，那么eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))是共线向量；反之，如果eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→)) (eq \(a,\s\up6(→))≠eq \(0,\s\up6(→)))是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使eq \(b,\s\up6(→))＝λeq \(a,\s\up6(→)).
题型1、对向量相关概念的理解
例1、（1）判断下列命题是否正确，并说明理由．
①任何两个单位向量都是平行向量（ ）；
②零向量是没有方向的（ ）；
③在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则向量eq \(DE,\s\up6(→))与eq \(CB,\s\up6(→))是平行向量（ ）；
④若向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))同向，且|eq \(a,\s\up6(→))|＞|eq \(b,\s\up6(→))|，则eq \(a,\s\up6(→))＞eq \(b,\s\up6(→))（ ）；
⑤若向量|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|，则eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的长度相等且方向相同或相反（ ）；
【提示】；
【解析】
【说明】1、在判断与向量有关的命题时，既要立足向量的数(即模的大小)，又要考虑其形(即方向性)；
2、涉及共线向量或平行向量的问题，一定要明确所给向量是否为非零向量；
3、对于判断命题的正误，应该熟记有关概念，理解各命题，逐一进行判断，对于错误命题，只要举一反例即可；
特别注意：与向量平行相关的问题中，不要忽视零向量；
（2）如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且|eq \(AC,\s\up6(→))|＝eq \r(5).
①画出所有的向量eq \(AC,\s\up6(→))；②求|eq \(BC,\s\up6(→))|的最大值与最小值；
【说明】1、向量是可以平移的矢量，没有固定的起点，共线向量即是平行向量 , 与线段、直线不一样；
2、零向量与任何向量都平行，在判断向量关系时要注意零向量的特殊情况；
题型2、对特殊向量概念的理解
例2、（1）下列说法中正确的是（ ）
A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个
C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
（2）设eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))都是非零向量，下列四个条件中，使eq \f(eq \(a,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))|)＝eq \f(eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(b,\s\up6(→))|)成立的充分条件是( )
A．eq \(a,\s\up6(→))＝－eq \(b,\s\up6(→)) B. eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))
C. eq \(a,\s\up6(→))＝2eq \(b,\s\up6(→)) D. eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))且|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|
【说明】解决向量有关的概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题；
非零向量eq \(a,\s\up6(→))与eq \f(eq \(a,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))|)的关系：eq \f(eq \(a,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))|)是与eq \(a,\s\up6(→))同方向的单位向量；
题型3、相等向量与共线向量
例3、（1）已知A，B，C是不共线的三点，向量eq \(m,\s\up6(→))与向量eq \(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq \(BC,\s\up6(→))是共线向量，则eq \(m,\s\up6(→))＝________.
（2）如图所示，△ABC的三边均不相等，E，F，D分别是AC，AB，BC的中点．
①写出与eq \(EF,\s\up6(→))共线的向量；
②写出模与eq \(EF,\s\up6(→))的模相等的向量；
③写出与eq \(EF,\s\up6(→))相等的向量．
【说明】平行向量有关概念的四个关注点：
1、相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性；
2、共线向量即为平行向量，它们均与起点无关；
3、向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆；
特别注意：在考查两向量平行或共线时，首先要考虑零向量的可能性；
特别提示：相等向量与共线向量的探求方法
（1）相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．
（2）共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量；
题型4、平面向量关系式|a＋b|与|a|、|b|之间的探讨
例4、（1）已知eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))均为非零向量，且|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|，则下列说法中正确的是( )
A．eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))，且eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的方向相同 B．eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是方向相反的向量
C．|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|，且eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的方向相反 D．eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))无论什么关系均可
（2）探索一下|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|与|eq \(a,\s\up6(→))|，|eq \(b,\s\up6(→))|之间的关系？
【说明】一般地，我们有|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|≤|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|，当且仅当eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))中有一个是零向量或eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是方向相同的非零向量时，等号成立；
题型5、与负向量（相反向量）相关
例5、（1）若eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))为相反向量，且|eq \(a,\s\up6(→))|＝1，|eq \(b,\s\up6(→))|＝1，则|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝________，|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|＝________.
（2）（多选）若非零向量eq \(m,\s\up6(→))与eq \(n,\s\up6(→))是相反向量，则下列正确的是（ ）
A．eq \(m,\s\up6(→))＝eq \(n,\s\up6(→)) B．eq \(m,\s\up6(→))＝－eq \(n,\s\up6(→))
C．|eq \(m,\s\up6(→))|＝|eq \(n,\s\up6(→))| D．eq \(m,\s\up6(→))与eq \(n,\s\up6(→))方向相反
题型6、向量的加、减运算的几何意义
例6、（1）已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝eq \(PC,\s\up6(→))，则下列结论中正确的是（ ）
A．P在△ABC的内部 B．P在△ABC的边AB上
C．P在AB边所在的直线上 D．P在△ABC的外部
（2）已知点G是△ABC的重心，则eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝______.
【说明】在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示；
题型7、向量的线性运算
例7、（1）已知正方形ABCD的边长等于1，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(DC,\s\up6(→))|＝________.
（2）化简：
①eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))；
②eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))；
③eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(FA,\s\up6(→)).
【说明】解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
题型8、实数λ与向量eq \(a,\s\up6(→))相乘
例8、（1）已知非零向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))满足eq \(a,\s\up6(→))＝4eq \(b,\s\up6(→))，则（ ）
A．|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))| B．4|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|
C．eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的方向相同 D．eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的方向相反
（2）（多选）已知λ，μ∈R，且eq \(a,\s\up6(→))≠eq \(0,\s\up6(→))，则在以下各命题中，正确的命题是（ ）
A．当λ0时，λeq \(a,\s\up6(→))的方向与μeq \(a,\s\up6(→))的方向一定相同
题型9、对向量向量共线定理的理解与应用
例9、（1）设eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))是不共线的两个向量．
①若eq \(OA,\s\up6(→))＝2eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))＝3eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))－3eq \(b,\s\up6(→))，求证：A，B，C三点共线；
②若8eq \(a,\s\up6(→))＋keq \(b,\s\up6(→))与keq \(a,\s\up6(→))＋2eq \(b,\s\up6(→))共线，求实数k的值；
（2）若A，B，C三点共线，O为直线外一点，且eq \(OA,\s\up6(→))＝xeq \(OB,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))，求证：x＋y＝1.
题型10、向量的概念和线性运算相关的综合题
例10、（1）设O是△ABC的外心，则eq \(AO,\s\up6(→))，eq \(BO,\s\up6(→))，eq \(CO,\s\up6(→))是（ ）
A．相等向量 B．模相等的向量
C．平行向量 D．起点相同的向量
（2）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且∠OCB＝30°，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AC,\s\up6(→))|等于( )
A．1 B．eq \r(2)
C．eq \r(3) D．2
（3）若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq \(AC,\s\up6(→))|＝8，则|eq \(BC,\s\up6(→))|的取值范围是（ ）
A．[3，8] B．(3，8)
C．[3，13] D．(3，13)
1、若|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|＝2，则|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝________.
2、在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up6(→))＋λeq \(CB,\s\up6(→))，则λ等于
3、已知点O为△ABC的外接圆的圆心，且eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(CO,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))，则△ABC的内角A等于
4、设向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))不平行，向量λeq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))＋2eq \(b,\s\up6(→))平行，则实数λ＝____________.
5、在△ABC中，点M为AC上的点，且eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(MC,\s\up6(→))，若eq \(BM,\s\up6(→))＝λeq \(BA,\s\up6(→))＋μeq \(BC,\s\up6(→))，则λ－μ的值是
6、已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，给出下列命题：
①eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))；②eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))；③eq \(CF,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(a,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(b,\s\up6(→))；④eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(BE,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；其中正确命题有________.
7、在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，那么这些向量的终点形成的图形是( )
A．单位圆 B．一段弧
C．线段 D．直线
8、矩形ABCD的对角线相交于点O，E为AO的中点，若eq \(DE,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AD,\s\up6(→))(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2＝( )
A．eq \f(5,8) B．eq \f(1,4)
C．1 D．eq \f(5,16)
9、如图，在△ABC中，D为BC的四等分点，且靠近B点，E，F分别为AC，AD的三等分点，且分别靠近A，D两点，设eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))；
（1）试用eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))表示eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(AD,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))；
（2）证明：B，E，F三点共线.
10、设eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))，eq \(c,\s\up6(→))为非零向量，其中任意两向量不共线，已知eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))与eq \(c,\s\up6(→))共线，且eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))共线，则eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))是否共线？请证明你的结论；
【解析】eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))共线．证明如下：
∵eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))与eq \(c,\s\up6(→))共线，
∴存在唯一的实数λ，使得eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝λeq \(c,\s\up6(→)).①
∵eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))共线，
∴存在唯一的实数μ，使得eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))＝μeq \(a,\s\up6(→));②
由①－②得，eq \(a,\s\up6(→))－eq \(c,\s\up6(→))＝λeq \(c,\s\up6(→))－μeq \(a,\s\up6(→));
∴(1＋μ) eq \(a,\s\up6(→))＝(1＋λ) eq \(c,\s\up6(→));.
又∵eq \(a,\s\up6(→))与eq \(c,\s\up6(→))不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝－eq \(c,\s\up6(→))，即eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))；
∴eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))＝－eq \(b,\s\up6(→));
故eq \(b,\s\up6(→))与eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→))共线;名称
定义
表示方法
零向量
长度为0的向量
记作eq \(0,\s\up6(→))
单位向量
长度等于1个单位长度的向量
平行向量(或共线向量)
方向相同或相反的非零向量
eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))平行(或共线)，记作eq \(a,\s\up6(→))∥eq \(b,\s\up6(→))
相等向量
长度相等且方向相同的向量
eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))相等，记作eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))
相反向量
长度相等且方向相反的向量
eq \(a,\s\up6(→))的相反向量记作－eq \(a,\s\up6(→))
定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
法则
三角形法则
前提
已知非零向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))
作法
在平面内任取一点A，作eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))，再作向量eq \(AC,\s\up6(→))
结论
向量eq \(AC,\s\up6(→))叫做eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的和，记作eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))，即eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))
图形
平行四边形法则
前提
已知不共线的两个向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))
作法
在平面内任取一点O，以点O为起点的两个已知向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))为邻边作▱OACB
结论
对角线eq \(OC,\s\up6(→))就是eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的和
图形
规定
零向量与任一向量eq \(a,\s\up6(→))的和都有eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(0,\s\up6(→))＝eq \(0,\s\up6(→))＋eq \(a,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))
向量加法的交换律和结合律
（1）向量加法的交换律：eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(a,\s\up6(→))；
（2）向量加法的结合律：(eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))＋eq \(c,\s\up6(→))＝eq \(a,\s\up6(→))＋(eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(c,\s\up6(→)))．
【说明】向量求和的多边形法则
（1）已知n个向量，依次首尾相接，则由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即为这n个向量的和．这称为向量求和的多边形法则．
（2）首尾顺次相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为eq \(0,\s\up6(→))