专题02 余弦函数的图像与性质（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
第7章 三角函数
7.1 正弦函数的图像与性质
7.1.1正弦函数的图像；7.1.2正弦函数的性质；
7.2 余弦函数的图像与性质
7.2.1余弦函数的图像；7.2.2余弦函数的性质
7.3 函数y=Asin(ωx+φ) QUOTE y=Asin(ωx+φ) 的图像
7.4 正切函数的图像与性质
7.4.1正切函数的图像；7.4.2正切函数的性质；
【本章内容提要】
【附】图像特征
1、余弦曲线
余弦函数y＝cs x，x∈R的图像叫余弦曲线；
2、余弦函数图像的画法
（1）要得到y＝cs x的图像，只需把y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位长度即可，这是由于cs x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))；
(1)变换法：根据诱导公式sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x))＝cs x及函数图像平移知识，得将y＝sin x的图像向左平移eq \f(π,2)个单位得到y＝cs x的图像，余弦曲线如图所示．
（2）用“五点法”：画余弦曲线y＝cs x在[0,2π]上的图像时，
所取的五个关键点分别为(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲线连接；
3、余弦函数的性质
（1）周期性
①函数y＝csx的周期是2kπ(k∈Z且k≠0)；最小正周期为2π；
④函数y＝Acs (ωx＋φ) (其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω>0)的周期为T＝eq \f(2π,ω)；
类比正弦函数的周期性，余弦函数的最小正周期为2π，余弦函数的周期不唯一，2kπ(k∈Z，且k≠0，1)也是余弦函数的周期，根据诱导公式cs(x＋2kπ)＝cs x(k∈Z)，容易得出．
（2）值域与最值
定义域：R；
值域：[－1,1]；
最值：x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1；
【说明】有关余弦函数最值：
①明确余弦函数的有界性，即|cs x|≤1；
②对有些余弦函数，其最值不一定是1或－1，要依赖函数定义域来决定；
③形如y＝Acs(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的最值通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Acs z的形式最值；
（3）奇偶性
①余弦函数是偶函数，反映在图像上，余弦曲线关于y轴对称；
②余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形；
（4）单调性
在 [(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上递增；在 [2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上递减；
①余弦函数在定义域R上不是单调函数，但存在单调区间．
②求解(或判断)余弦函数的单调区间(或单调性)是求值域(或最值)的关键一步．
③确定含有余弦函数的较复杂的函数单调性时，要注意使用复合函数的判断方法来判断．
4、正弦函数y＝csx的图像特征
题型1、会用“五点法”作余弦相关函数的图像
例1、（1）用“五点法”作函数y＝cs 2x，x∈R的图像时，首先应描出的五个点的横坐标是( )
A．0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)，2π B．0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π
C．0，π，2π，3π，4πD．0，eq \f(π,6)，eq \f(π,3)，eq \f(π,2)，eq \f(2π,3)
【答案】B；
【解析】令2x＝0，eq \f(π,2)，π，eq \f(3π,2)和2π，得x＝0，eq \f(π,4)，eq \f(π,2)，eq \f(3π,4)，π，故选B；
【说明】注意利用“五点法”结合“代换法”，画正弦型函数的图像；
（2）用“五点法”作出函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(11,6)π))的简图；
【解析】列表如下：
描点作图(如图)．
；
【说明】用五点法画函数f(x)＝acs x＋b(a≠0)简图的步骤如下：
①列表；
②描点，描出(0，a＋b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，b))，(π，－a＋b)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，b))，(2π，a＋b)；
③连线，用光滑的曲线顺次连接各点；
④将简图左、右平移2π的整数倍得函数f(x)＝acs x＋b(a≠0)的图像；
题型2、会用“图像变换”作余弦相关函数的图像
例2、（1）函数y＝－cs x的图像与余弦函数图像（ ）
A．关于x轴对称 B．关于原点对称
C．关于原点和x轴对称 D．关于原点和坐标轴对称
【答案】C；
【解析】由y＝－cs x的图像知关于原点和x轴对称．
（2）有下列命题：
①y＝sin |x|的图像与y＝sin x的图像关于y轴对称；
②y＝cs (－x)的图像与y＝cs |x|的图像相同；
③y＝|sin x|的图像与y＝sin(－x)的图像关于x轴对称；
④y＝cs x的图像与y＝cs (－x)的图像关于y轴对称.
其中正确命题的序号是________.
【答案】②④
【解析】对于②，y＝cs (－x)＝cs x.y＝cs |x|＝cs x，故其图像相同；对于④，y＝cs (－x)＝cs x，故这两个函数图像关于y轴对称，作图(图略)可知①③均不正确.
【说明】图像常用作法：（1）五点法；（2）平移法；
题型3、与余弦函数的定义域相关
例3、（1）函数y＝lg(2cs x－eq \r(3))的定义域为 ；
【答案】 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)＋2kπeq \f(\r(3),2)，
结合y＝cs x的图像(如图)可得：－eq \f(π,6)＋2kπ