专题04 向量的应用（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
【本章教材目录】
在现实世界和科学问题中，常常会见到既有大小又有方向的量，如位移、速度、力等；数学中的“向量”概念就是从中抽象出来的；向量不仅有丰富的几何内涵，向量及其线性运算与数量积运算还构成了精致且有广泛应用的代数结构，可把有关的几何问题简便地转化为相应代数问题来处理；本章只讨论平面上的向量，选择性必修课程第3章还将把这一讨论推广到（三维）空间中，至于更一般性的推广则是大学线性代数课程的核心内容；高中阶段向量的学习重在为解决代数、几何、三角及物理等领域中的问题提供一个简捷有效的工具；
【本章教材目录】
第8章 平面向量
8.1 向量的概念和线性运算
8.2 向量的数量积
8.2.1向量的投影；8.2.2向量的数量积的定义与运算律
8.3 向量的坐标表示
8.3.1向量基本定理；8.3.2向量正交分解与坐标表示；8.3.3向量线性运算的坐标表示；8.3.4向量数量积与夹角的坐标表示
8.4 向量的应用
【本章内容提要】
1、平面向量的基本概念
（1）向量：既有大小又有方向的量，常用、等记号表示.
（2）向量的模：向量的大小，向量的模记为.
（3）零向量：其模为，方向任意.
（4）单位向量：模为的向量；非零向量的单位向量是.
（5）平行向量：方向相同或相反的向量.
（6）相等向量：方向相同、模相等的向量.
（7）负向量：方向相反、模相等的向量.
2、向量的线性运算
（1）平面向量的加法、减法：运用平行四边形法则或三角形法则.
（2）减去一个向量等于加上它的负向量．
（3）实数与平面向量的乘法：实数与向量的乘积，记作.
（4）设、、是平面上的任意向量，、
向量的加法满足如下运算律：交换律：；结合律：.
实数与向量的乘法对向量加减法满足分配律：；；.
3. 向量的投影与数量积
（1）向量的夹角：向量与的夹角记为，其值.
（2）向量的投影：向量在非零向量方向上的投影是如下的向量：.
其中，系数称为向量在向量方向上的数量投影.
（3）向量与的数量积定义为：.
（4）向量的数量积满足交换律，并且是线性的（即对向量的加减满足分配律，且可与实数的乘法交换）.
4、平面向量基本定理与向量的坐标表示
（1）平面向量基本定理：给定平面上两个不平行的向量，则该平面内的任意向量都可以唯一地表示为这两个向量的线性组合，也就是说，平面上任意两个不平行的向量都组成了一个基.
（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，把向量的起点放到坐标原点，向量就直接用它的终点坐标表示，称为向量的坐标表示，这样，向量就可写成坐标轴正方向上的单位向量、的线性组合.
（3）给定平面上两点与，则.
5、坐标表示下的向量运算
设向量，，则
（1）.
（2）.
（3），.
（4）.
6、向量的夹角、平行与垂直
设向量，，则
（1）.
（2）（）或（）.
（3）.
7、向量的应用
要体会如何从各种有关的问题中抽象出相应的向量问题，并用所掌握的向量方法解决这个向量问题，从而使原问题得以解决.
1、定比分点坐标公式：
若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比；
2、向量模的求法与证明线段相等
若已知向量：则求线段长度或证明线段相等，
可用向量的模长公式：；例如证明，只要证明或.
3、利用向量证明直线或线段平行
，
（1）证明直线或线段平行，用向量共线定理：
（2）证明三点共线：要证明三点共线，只要证明存在实数，
使得或或；
即利用向量共线定理先说明共线，而后说明有一个公共点即可；
4、利用向量直线或线段垂直
，
证明直线或线段垂直，常用向量垂直的条件：.
例如证明，只要证明；
5、向量求夹角问题
，
求夹角问题，利用夹角公式：
6、利用向量证明三角公式
证明：；证明，两角差的余弦公式；
7、利用向量解决最值问题
8、 向量与物理问题的交汇
题型1、利用向量解决比例问题
例1、（1）已知两点A(3，－4)，B(－9，2)在直线AB上，求一点P使|eq \(AP,\s\up6(→))|＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up6(→))|.
【提示】分“eq \(AP,\s\up6(→))＝±eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))”两类分别求点P的坐标；
【解析】设点P的坐标为(x，y)，
①若点P在线段AB上，则eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(PB,\s\up6(→))，∴(x－3，y＋4)＝eq \f(1,2)(－9－x，2－y)，
解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
②若点P在线段BA的延长线上，则eq \(AP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,4)eq \(PB,\s\up6(→))，
∴(x－3，y＋4)＝－eq \f(1,4)(－9－x，2－y)，
解得x＝7，y＝－6，∴P(7，－6)．
综上可得点P的坐标为(－1，－2)或(7，－6)．
【说明】1、向量具有大小和方向两个要素，因此共线向量模间的关系可以等价转化为向量间的等量关系，但要注意方向性；2、本例也可以直接套用定比分点公式求解；
（2）推导：定比分点坐标公式；
若点，，为实数，且，则点的坐标为（），我们称为点P分所成的比；
【解析】由结合向量的坐标表示与相等，推导得

【说明】1、其中：定比分点坐标公式()
2、点分所成的比与点分所成的比是两个不同的比，要注意方向
3、点的位置与λ的范围的关系：
①当时，与同向共线，这时称点为的内分点
特别地，当时，有＝，即点是线段之中点，其坐标为；
②当λ＜０()时，与反向共线，这时称点为的外分点；
二、平面向量的模
题型2、向量法解决平面几何中的长度问题
例2、（1）已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(2，1)，eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝10，|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝5eq \r(2)，则|eq \(b,\s\up6(→))|等于
【答案】5；
【解析】∵eq \(a,\s\up6(→))＝(2，1)，∴eq \(a,\s\up6(→))2＝5，
又|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝5eq \r(2)，∴(eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))2＝50，
即eq \(a,\s\up6(→))2＋2eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))2＝50，
∴5＋2×10＋eq \(b,\s\up6(→))2＝50，∴eq \(b,\s\up6(→))b2＝25，∴|eq \(b,\s\up6(→))|＝5；
（2）已知向量eq \(a,\s\up6(→))＝(x，1)，eq \(b,\s\up6(→))＝(1，－2)，且eq \(a,\s\up6(→))⊥eq \(b,\s\up6(→))，则|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|等于
【答案】eq \r(10) ；
【解析】由题意可得eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＝x·1＋1×(－2)＝x－2＝0，解得x＝2.
再由eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝(x＋1，－1)＝(3，－1)，
可得|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r(10).
【说明】向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解；
一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式||2＝2求解；可以实现实数运算与向量运算的相互转化；
二是建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若＝(x，y)，则||＝eq \r(x2＋y2).
题型3、平面向量模的最值问题
例3、（1）向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))满足|eq \(a,\s\up6(→))|＝1，eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，则|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|的最小值为________．
【答案】eq \f(\r(3),2)
【解析】|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|2＝(eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→)))2＝eq \(a,\s\up6(→))2－2eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))2
＝1－2×1×|eq \(b,\s\up6(→))|cs eq \f(π,3)＋|eq \(b,\s\up6(→))|2
＝|eq \(b,\s\up6(→))|2－|eq \(b,\s\up6(→))|＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|eq \(eq \(b,\s\up6(→)),\s\up6(→))|－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)≥eq \f(3,4)，
所以|eq \(a,\s\up6(→))－eq \(b,\s\up6(→))|≥eq \f(\r(3),2)，当|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)时取得最小值eq \f(\r(3),2).
【说明】本例是求向量模的最值（或范围）问题；利用平面向量数量积的概念和性质，建构关于模长的函数模型，利用三角函数或二次函数求解模长的最值（或范围）；
（2）已知|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝2，向量eq \(a,\s\up6(→))，eq \(b,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,3)，则|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|的最大值为________．
【答案】eq \f(4\r(3),3)
【解析】将|eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))|＝2两边平方并化简得(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2－|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|＝4，
由基本不等式得|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|,2)))2＝eq \f((|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2,4)，故eq \f(3,4)(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→)))2≤4，
即(|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|)2≤eq \f(16,3)，即|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|≤eq \f(4\r(3),3)，
当且仅当|eq \(a,\s\up6(→))|＝|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \f(2\r(3),3)时，等号成立，所以|eq \(a,\s\up6(→))|＋|eq \(b,\s\up6(→))|的最大值为eq \f(4\r(3),3)；
【说明】平面向量中的最值、范围问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、参数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合；
题型4、平面向量的夹角与垂直问题
例4、（1）设点A(4，2)，B(a，8)，C(2，a)，O为坐标原点，若四边形OABC是平行四边形，则向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,4)
C．eq \f(π,6) D．eq \f(π,2)
【答案】B
【解析】∵四边形OABC是平行四边形，∴eq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))，即(4－0，2－0)＝(a－2，8－a)，
∴a＝6，∵eq \(OA,\s\up6(→))＝(4，2)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(2，6)，
设向量eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为θ，
∴cs θ＝eq \f(\(OA,\s\up6(→))·\(OC,\s\up6(→)),|\(OA,\s\up6(→))||\(OC,\s\up6(→))|)＝eq \f(4×2＋2×6,\r(42＋22)×\r(22＋62))＝eq \f(\r(2),2)，
又θ∈(0，π)，∴eq \(OA,\s\up6(→))与eq \(OC,\s\up6(→))的夹角为eq \f(π,4)；
（2）已知eq \(a,\s\up6(→))＝(4，3)，eq \(b,\s\up6(→))＝(－1，2)．
①求eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))夹角的余弦值；
②若(eq \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→)))⊥(2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))，求实数λ的值．
【解析】①因为eq \(a,\s\up6(→))·b＝4×(－1)＋3×2＝2，|eq \(a,\s\up6(→))|＝eq \r(42＋32)＝5，|eq \(b,\s\up6(→))|＝eq \r((－1)2＋22)＝eq \r(5)，
设eq \(a,\s\up6(→))与eq \(b,\s\up6(→))的夹角为θ，所以cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)＝eq \f(2,5\r(5))＝eq \f(2\r(5),25).
②因为eq \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→))＝(4＋λ，3－2λ)，2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→))＝(7，8)，
又(eq \(a,\s\up6(→))－λeq \(b,\s\up6(→)))⊥(2eq \(a,\s\up6(→))＋eq \(b,\s\up6(→)))，
所以7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，解得λ＝eq \f(52,9).
【说明】解决向量夹角问题的方法及注意事项
（1）求解方法：由cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.
（2）注意事项：利用三角函数值cs θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cs θ＝eq \f(eq \(a,\s\up6(→))·eq \(b,\s\up6(→)),|eq \(a,\s\up6(→))||eq \(b,\s\up6(→))|)判断θ的值时，要注意当cs θ0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
题型5、用向量法求夹角的应用
例5、（1）已知A(－2，1)，B(6，－3)，C(0，5)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(8，－4)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2，4)，eq \(BC,\s\up6(→))＝(－6，8)，所以eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝8×2＋(－4)×4＝0，即eq \(AB,\s\up6(→))⊥eq \(AC,\s\up6(→)).所以∠BAC＝90°，故△ABC是直角三角形．
（2）设P(－3，－2)，Q(x，2)，则eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OQ,\s\up6(→))的夹角为钝角时，x的取值范围为_____．
【答案】 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)，3))∪(3，＋∞)
【解析】因为P(－3，－2)，Q(x，2)，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(－3，－2)，eq \(OQ,\s\up6(→))＝(x，2)，
当eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OQ,\s\up6(→))的夹角为钝角时，eq \(OP,\s\up6(→))·eq \(OQ,\s\up6(→))＝－3x－4－eq \f(4,3)，
当eq \(OP,\s\up6(→))与eq \(OQ,\s\up6(→))反向共线时，(－3，－2)＝k(x，2)(k1)，
则eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λeq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))＋λ(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋(1－λ)eq \(OB,\s\up6(→)).
又因为C，O，D三点共线，令eq \(OD,\s\up6(→))＝－μeq \(OC,\s\up6(→))(μ>1)，
则eq \(OC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,μ)eq \(OD,\s\up6(→))＝－eq \f(λ,μ)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \f(1－λ,μ)eq \(OB,\s\up6(→))(λ>1，μ>1)，所以m＝－eq \f(λ,μ)，n＝－eq \f(1－λ,μ)，
则m＋n＝－eq \f(λ,μ)－eq \f(1－λ,μ)＝－eq \f(1,μ)∈(－1，0)．
7、在△ABC中，若(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝0，则△ABC( )
A．是正三角形 B．是直角三角形
C．是等腰三角形 D．形状无法确定
【答案】C
【解析】(eq \(CA,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→)))·(eq \(CA,\s\up6(→))－eq \(CB,\s\up6(→)))＝eq \(CA,\s\up6(→))2－eq \(CB,\s\up6(→))2＝0，即|eq \(CA,\s\up6(→))|＝|eq \(CB,\s\up6(→))|，即CA＝CB，则△ABC是等腰三角形；
8、在边长为1的正方形ABCD中，M为边BC的中点，点E在线段AB上运动，则eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．[0，1]
【答案】 C
【解析】将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，
设E(x，0)，0≤x≤1.
则Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))，C(1，1)，
所以eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))，eq \(EC,\s\up6(→))＝(1－x，1)，
所以eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))＝(1－x，1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，\f(1,2)))
＝(1－x)2＋eq \f(1,2).
因为0≤x≤1，所以eq \f(1,2)≤(1－x)2＋eq \f(1,2)≤eq \f(3,2)，
即eq \(EC,\s\up6(→))·eq \(EM,\s\up6(→))的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(3,2))).
9、一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°.求这三个力的合力F所做的功．
【解析】如图所示，以物体的重心O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，
则F1＝(1，eq \r(3))，
F2＝(2eq \r(3)，2)，
F3＝(－3,3eq \r(3))，
∴F＝F1＋F2＋F3＝(2eq \r(3)－2,2＋4eq \r(3))．
又位移s＝(4eq \r(2)，4eq \r(2))，
∴合力F所做的功W＝F·s＝(2eq \r(3)－2)×4eq \r(2)＋(2＋4eq \r(3))×4eq \r(2)＝24eq \r(6)(J)．
∴合力F所做的功为24eq \r(6) J.
10、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，AD＝AB＝4，CD＝1，动点P在边BC上，且满足eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n均为正实数)，求：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值．
【解析】由题意得eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))，
所以eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))
＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AC，\s\up6(→))－\f(1,4)\(AB,\s\up6(→))))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－\f(1,4)n))eq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AC,\s\up6(→))，
由P，B，C三点共线得，
m－eq \f(1,4)n＋n＝m＋eq \f(3,4)n＝1(m，n>0)，
所以eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)＋\f(1,n)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m＋\f(3,4)n))
＝eq \f(7,4)＋eq \f(3n,4m)＋eq \f(m,n)≥eq \f(7,4)＋2eq \r(\f(3n,4m)·\f(m,n))
＝eq \f(7,4)＋eq \r(3)＝eq \f(7＋4\r(3),4)(当且仅当3n2＝4m2，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝4－2\r(3)，,n＝－4＋\f(8\r(3),3))) 时取等号)，
则eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)的最小值为eq \f(7＋4\r(3),4).