专题05 已知正弦 余弦 正切求角（原卷版+解析版）2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧（沪教版2020必修第二册）

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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切：6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.2任意角及其度量，6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切，6.1.4诱导公式，6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式：6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式，6.2.2二倍角公式，6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形：6.3.1正弦定理，6.3.2余弦定理；
第六章内容提要
1、正弦、余弦、正切、余切
单位圆：单位圆泛指半径为个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以原点为圆心、以为半径的圆为单位圆；
正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，在角的终边上任取异于原点的一点，就有
，，（），（）；
同角三角公式：，，，；
二、考点解读
1、给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用．
2、已知三角比值求角的结论：
1、给值求角问题；
2、已知三角比值求角的结论：
3、任意角三角比值定义、单位圆与三角函数线、角的范围的综合应用；
题型1、已知正弦值求角
例1、已知sin x＝eq \f(\r(3),2).
（1）当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))时，求x的取值集合；
（2）当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
（3）当x∈R时，求x的取值集合．
【说明】1、给值求角问题，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用；
题型2、已知余弦值求角
例2、已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，
（1）当x∈[0，2π)时，，求x的取值集合；
（2）当x∈R时，求x的取值集合．
题型3、已知正切值求角
例3、已知tan α＝－eq \f(\r(3),3).
（1）若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，求角α；
（2）若α∈R，求角α.
【说明】1、已知角的正切值求角，可先求出eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内的角，再表示所给范围内的角；
2、tan α＝tan x，x∈R的解集为{α|α＝kπ＋arctan x，k∈Z}；
题型4、利用结论求简单三角方程与不等式的解集
例4、（1）若cs x＝cseq \f(π,7)，求x的值．
（2）方程cs x＝sin eq \f(π,6)的解集为_____________________________；
不等式cs x>sin eq \f(π,6)的解集为___________________________________；
【说明】怎样求解三角方程？
【提示】明确所求角的范围和个数，结合诱导公式表示一个或两个特殊角，然后再根据结论表示出所有的角；
2、已知三角函数值求角的大致步骤：
1由三角函数值的符号确定角的象限；
2求出[0，2π上的角；
3根据终边相同的角写出所有的角.
题型5、已知三角比值求角、解不等式
例5、（1）已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝eq \f(\r(3),2)，求x.
（2）求不等式cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))>－eq \f(\r(2),2)的解集．
【说明】利用余弦值求角、解不等式：将ωx＋φ看作整体，先结合单位圆与三角函数线求出[0,2π]或[－π，π]上的角，再通过周期推广到整个定义域内，最后解出x的值或范围．
题型6、与其他知识的交汇
例6、集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＝\f(1,2)))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＝－\f(\r(,3),3)))))，则A∩B＝________.
例7、（1）已知，求：角.
（2）已知，求角的取值范围.
（3）已知，且，求角.
例8、已知，，求.
1、已知sin x＝eq \f(\r(2),2)，且x∈[0,2π]，则x的取值集合为
2、若cs(π－x)＝eq \f(\r(3),2)，x∈(－π，π)，则x的值为
3、已知tan x＝eq \r(,3)，则x的取值集合为
4、若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________.
5、若sin(x－π)＝－eq \f(\r(2),2)，且－2π6、已知tan 2x＝－eq \f(\r(3),3)且x∈[0，π]，则x＝________________
7、已知cs x＝－eq \f(\r(2),2)，π＜x＜2π，则x＝( )
A. eq \f(3π,2) B. eq \f(5π,4)
C. eq \f(4π,3) D. eq \f(7π,4)
8、已知α是三角形的内角，且sin α＝eq \f(\r(3),2)，则α＝( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,3)
C．eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) D．eq \f(π,3)或eq \f(2π,3)
9、已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，x∈[0,2π]，求x的取值集合；
10、已知sin eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),2)，且α是第二象限的角，求角α.α∈[0，2π]
β∈R，α∈R，
sinβ＝sinα
β＝α
β＝π－α
解集表示法1；
解集表示法2；
csβ＝csα
β＝±α
tanβ＝tanα
β＝α
β＝π+α
α∈[0，2π]
β∈R，α∈R，
sinβ＝sinα
β＝α
β＝π－α
csβ＝csα
β＝±α
tanβ＝tanα
β＝α
β＝π+α
α∈[0，2π]
β∈R，α∈R，
sinβ＝sinα
β＝α
β＝π－α
解集表示法1；
解集表示法2；