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专题07 二倍角公式及其相关(原卷版+解析版)2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧(沪教版2020必修第二册)
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一、《必修第二册》目录与内容提要
第6章 三角
6.1 正弦、余弦、正切、余切:6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切,6.1.2任意角及其度量,6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切,6.1.4诱导公式,6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
6.2 常用三角公式:6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式,6.2.2二倍角公式,6.2.3三角变换的应用
6.3 解三角形:6.3.1正弦定理,6.3.2余弦定理;
第六章内容提要
倍角公式:
,
,
;
二、考点解读
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sinαcsα;
(2)公式C2α:cs 2α=cs2α-sin2α=2cs2α-1=1-2sin2α;
(3)公式T2α:tan 2α=eq \f(2tan α,1-tan2α);
【说明】1、倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比值等于2的情况都成立,如2α是α的二倍角,8α是4α的二倍角,eq \f(α,2)是eq \f(α,4)的二倍角等等;
2、公式的变形与应用
(1)降幂公式:cs2α=eq \f(1+cs 2α,2),sin2α=eq \f(1-cs 2α,2),tan2α=eq \f(1-cs 2α,1+cs 2α).
(2)升幂公式:1+sin 2α=(sin α+cs α)2,1-sin 2α=(sin α-cs α)2,1±sin 2α=(sin α±cs α)2.
2、半角公式
sineq \f(α,2)=±eq \r(\f(1-cs α,2)).
cseq \f(α,2)=±eq \r(\f(1+cs α,2)).
taneq \f(α,2)=±eq \r(\f(1-cs α,1+cs α))(无理形式).
taneq \f(α,2)=eq \f(sin α,1+cs α)=eq \f(1-cs α,sin α)(有理形式).
【说明】半角公式中的符号的确定:
(1)当给出角α的具体范围时,先求eq \f(α,2)的范围,然后根据eq \f(α,2)范围确定符号;
(2)如果没有给出决定符号的条件,那么在根号前要保留正负号;
1、二倍角的正弦、余弦、正切公式;
2、半角公式;
3、三角变换的灵活应用;
题型1、结合二倍角公式给角求值
例1、(1)cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为( )
A.eq \f(1,4) B.-eq \f(1,4)
C.eq \f(1,8) D.-eq \f(1,8)
(2)求下列各式的值
①cs 72°cs 36°;②eq \f(1,sin 50°)+eq \f(\r(3),cs 50°).
【说明】所给角为非特殊角的三角函数式求值,要结合诱导公式、同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,化为适用二倍角公式的形式,进而求值;
对于给角求值问题,一般有两类:
(1)直接正用、逆用二倍角公式,结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化,一般可以化为特殊角;
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘,则一般逆用二倍角的正弦公式,在求解过程中,需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件,使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式;
题型2、结合二倍角公式给值求值
例2、(1)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0,\f(π,2))),tan 2α=eq \f(cs α,2-sin α),则tan α=( )
A.eq \f(\r(15),15) B.eq \f(\r(5),5)
C.eq \f(\r(5),3) D.eq \f(\r(15),3)
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,4)))=eq \f(3,5),eq \f(π,2)≤α
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