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    专题08 三角函数的积化和差与和差化积(原卷版+解析版)2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧(沪教版2020必修第二册)

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    专题08 三角函数的积化和差与和差化积(原卷版+解析版)2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧(沪教版2020必修第二册)

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    这是一份专题08 三角函数的积化和差与和差化积(原卷版+解析版)2023-2024学年高一数学期末复习重点题型方法与技巧(沪教版2020必修第二册),文件包含专题08三角函数的积化和差与和差化积原卷版docx、专题08三角函数的积化和差与和差化积解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共22页, 欢迎下载使用。

    一、《必修第二册》目录与内容提要
    第6章 三角
    6.1 正弦、余弦、正切、余切:6.1.1锐角的正弦、余弦、正切、余切,6.1.2任意角及其度量,6.1.3任意角的正弦、余弦、正切、余切,6.1.4诱导公式,6.1.5已知正弦、余弦或正切值求角
    6.2 常用三角公式:6.2.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式,6.2.2二倍角公式,6.2.3三角变换的应用
    6.3 解三角形:6.3.1正弦定理,6.3.2余弦定理;
    第六章内容提要
    2、常用三角公式
    和角与差角公式:,,

    二、考点解读
    1、积化和差公式
    cs αcs β=eq \f(1,2)[cs(α+β)+cs(α-β)];
    sin αsin β=-eq \f(1,2)[cs(α+β)-cs(α-β)];
    sin αcs β=eq \f(1,2)[sin(α+β)+sin(α-β)];
    cs αsin β=eq \f(1,2)[sin(α+β)-sin(α-β)].
    2、和差化积公式
    设α+β=x,α-β=y,则α=eq \f(x+y,2),β=eq \f(x-y,2).这样,上面的四个式子可以写成,
    sin x+sin y=2sin eq \f(x+y,2)cs eq \f(x-y,2);
    sin x-sin y=2cs eq \f(x+y,2)sin eq \f(x-y,2);
    cs x+cs y=2cs eq \f(x+y,2)cs eq \f(x-y,2);
    cs x-cs y=-2sin eq \f(x+y,2)sin eq \f(x-y,2).
    【说明】和差化积公式的适用条件是什么?
    【解析】只有系数绝对值相同的同名函数的和与差,才能直接运用公式化成积的形式,如果是一个正弦与一个余弦的和或差,则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式;
    1、积化和差公式;
    2、和差化积公式;
    3、常用三角变换公式与技巧;
    题型1、与积化和差问题相关
    例1、(1)求值:sin 20°cs 70°+sin 10°sin 50°.
    (2)求值:sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
    【说明】积化和差公式的功能与关键:
    (1)功能:①把三角函数的一种形式积的形式转化为另一种形式和差的形式;
    ②将角度化为特殊角求值或化简,将函数式变形以研究其性质;
    (2)关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相约或相消,从而化为特殊角的三角函数;
    题型2、与和差化积问题相关
    例2、(1)已知cs α-cs β=eq \f(1,2),sin α-sin β=-eq \f(1,3),求sin(α+β)的值;
    (2)已知cs α-cs β=eq \f(1,2),sin α-sin β=-eq \f(1,3),试求cs(α+β)的值;
    【说明】和差化积公式应用时的注意事项:
    1、在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高次函数,必须用降幂公式降为一次;
    (2)根据实际问题选用公式时,应从以下几个方面考虑:
    ①运用公式之后,能否出现特殊角;
    ②运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能否合并或消项;
    (3)为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式,如 eq \f(1,2)-cs α=cs eq \f(π,3)-cs α;
    题型3、积化和差与和差化积问题的简单整合
    例3、(1)求sin220°+cs250°+sin 20°·cs 50°的值.
    (2)sin220°+cs280°+eq \r(3)sin 20°cs 80°=________.
    题型4、与解决三角形问题的交汇
    例4、(1)在△ABC中,求证:sin A+sin B-sin C=4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2);
    (2)在△ABC中,求证:sin A+sin B+sin C=4cs eq \f(A,2)·cs eq \f(B,2)cs eq \f(C,2);
    【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证;
    特别注意:
    1、解决与三角形有关问题时应注意三角形中的隐含条件的应用,如A+B+C=π,a+b>c等;
    2、在△ABC中有一些重要的三角关系:sin(A+B)=sin C;cs(A+B)=-cs C;
    sineq \f(A+B,2)=cseq \f(C,2),cseq \f(A+B,2)=sineq \f(C,2);sin(2A+2B)=-sin 2C;cs(2A+2B)=cs 2C;
    题型5、利用积化和差与和差化积公式进行探究
    例5、在中,,且,能否利用求出和的大小?若能,请求出;若不能,请说明理由.
    【说明】本题三角恒等变换与对数的简单交汇;用到了待定系数法与等价转化思想;
    题型6、利用积化和差与和差化积公式求角
    例6、(1)若sin α+sin β=eq \f(\r(3),3)(cs β-cs α)且α∈(0,π),β∈(0,π),则α-β等于( )
    A.-eq \f(2π,3)B.-eq \f(π,3)
    C.eq \f(π,3) D.eq \f(2π,3)
    (2)在中,若,则是__________三角形
    【说明】本题主要由和差化积公式化简得出,进而得出,从而判断的形状;是和差化积公式与三角形的简单交汇;.
    题型7、利用积化和差与和差化积公式证明恒等式
    例7、(1)已知3taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α-\f(π,12)))=taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α+\f(π,12))),求证:sin 2α=1.
    (2)在△ABC中,求证:sin A+sin B-sin C=4sineq \f(A,2)sineq \f(B,2)cseq \f(C,2).
    【说明】证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法,使等式两端的“异”化为“同”,分式不好证时,可变形为整式来证;
    题型8、有关三角变换的辨析
    例8、(1)已知sin 2x=m,cs2x=n,求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的值.
    【错解】taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))=eq \f(1+tan x,1-tan x)=eq \f(cs x+sin x,cs x-sin x)=eq \f(cs x+sin x2,cs2x-sin2x)=eq \f(1+sin 2x,cs 2x)=eq \f(1+m,n).
    【错因分析】三角恒等变换的每一步,必须在函数
    taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x+\f(π,4)))的定义域eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠kπ+\f(π,4),k∈Z))))内进行,才能确保结果准确,但在第三步的变形过程中,分子、分母同乘csx+sin x≠0,缩小了定义域的范围,导致错误;
    (2)已知1+sin x-25cs2x=0,x是第二象限的角,求cseq \f(x,2).
    【错解】 由1+sin x-25cs2x=0,得25sin2x+sin x-24=0,解得sin x=eq \f(24,25)或sin x=-1.
    因为x是第二象限的角,即eq \f(π,2)

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