数学选择性必修 第一册3.3 抛物线学案

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抛物线
一、 抛物线的定义及标准方程
1. 定义及标准方程
（1）抛物线的定义
叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的，定直线 叫做抛物线的．
重要解读：
①定义的实质可归结为“一动三定”一个动点，设为 ；
一个定点，设为 ；
一条定直线 （抛物线的准线）；
一个定值（即点 到点 的距离与它到定直线的距离之比等于 ）.
②定点 不在定直线 上，否则动点 的轨迹就是过点 且垂直于直线 的一条直线.
（2）抛物线的标准方程
标准方程
图象
坐标
焦点
位置
准线
开口
注意：
①求解抛物线的标准方程，先根据题意分析焦点以及准线的位置，从而待定出上述四种标准方程中的一
种，再根据题目条件抽象出抛物线的定义或者直接获得抛物线上定点的坐标，求解出参数 带回原方程
1
即可；
②利用抛物线方程求解焦点坐标或者准线方程时，一定要化成标准形式后再由标准方程读出焦点坐标和
准线方程．如抛物线标准化之后为，相当于，故焦点坐标为，准线方程为
.
经典例题
1. 已知点
在抛物线
的准线上，记 的焦点为 ，则直线 的斜率为
．
2. 根据下列条件，求抛物线的标准方程．
（ 1 ）（ 2 ）
焦点为
准线为
．
．
（ 3 ）焦点到准线的距离是 ．
（ 4 ）过点 ．
3.为坐标原点， 为抛物线 ：的焦点， 为 上一点，若，则的面积为（
）．
A.B.C.D.
4. 已知抛物线方程为，定点，点 为抛物线上的动点， 到抛物线的准线的距离为 ，
则最小值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 抛物线的焦点到直线的距离 （ ）．
A.B.C.D.
2. 经过点的抛物线的标准方程为．
3. 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线的一个焦点重合，则该抛物线的标准方程可能
是（ ）．
A.B.C.D.
2. 知识总结
（1）抛物线的定义
叫做抛物线．
定点 叫做抛物线的，定直线 叫做抛物线的
（2）抛物线的标准方程
标准方程
图象
坐标
焦点
位置
准线
开口
二、 抛物线的性质
1. 基本性质
（1）范围
标准方程
图象
范围
（2）顶点
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点；由
，故抛物线的顶点为
（3）对称性以
为例
用 代替 ，抛物线的标准方程不变，因此这条抛物线是以 轴为对称轴的轴对称图形，此时， 轴为抛
物线的对称轴（或轴）．
抛物线对称轴及开口的判断方法：.
（4）离心率
抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之比叫做抛物线的离心率，用 表示．
根据抛物线的描述定义，．
（5）焦半径
标准方程
焦半径
注：为抛物线上一点
经典例题
1. 若抛物线（）上任意一点到焦点的距离恒大于 ，则 的取值范围是（ ）．
A.B.C.D.
2. 按要求填空．
（ 1 ）以双曲线的右焦点为焦点，且以原点为顶点的抛物线的标准方程为．
3. 已知抛物线的动弦 的中点的横坐标为 ，则 的最大值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1.
已知抛物线的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点，，垂足为 ．如果是
边长为 的正三角形，则此抛物线的焦点坐标为，点 的横坐标．
2. 已知点，抛物线的焦点是 ，若抛物线上存在一点 ，使得最小，则 点的坐
标为（ ）
A.B.C.D.
3. 如图所示，点 是抛物线的焦点，点 ， 分别在抛物线及圆的实线部
分上运动，且 总是平行于 轴，则的周长的取值范围是．
2. 抛物线的焦点弦
1、抛物线的焦点弦（1）
是抛物线
过 的一条弦，设
，
，线段 的中点
，相应的准线
方程为 ，有如下结论：
（1）
(焦点弦长与中点关系)；
（2）抛物线过焦点的弦长
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 ,,若 为
的中点，则
．
2、抛物线的焦点弦（2）
（5）抛物线
种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则
；
（6）已知 是抛物线的焦点弦，且，,则：
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
．
3、抛物线的焦点弦（3）
（8）已知 是过抛物线
焦点 的弦，则
4、抛物线的焦点弦（4）
（9）已知 是抛物线
的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则
．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
经典例题
1. 设点 是抛物线的焦点，直线 过点 且与抛物线 交于 、 两点，若 是 的中点
且，则 的值是（ ）．
A.B.C.D.
2. 设 为抛物线的焦点， 、 、 为该抛物线上三点．若，则
．
3.是抛物线的一条过焦点的弦，， 、 垂直于 轴， 、 分别为垂足，则梯形
的中位线长是（ ）．
A.B.C.D.
4. 设抛物线的焦点为 ，直线 过 且与抛物线交于 ， 两点．若，且
，则．
5. 设 为抛物线 ：的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 已知抛物线
的焦点为 ，过点 的直线 交抛物线于 ， 两点，若
，则线段 的中点到
轴的距离为．
2. 已知以 为焦点的抛物线
上的两点 、 满足
，则弦 的中点到准线的距离
为．
3. 已知抛物线的焦点为 ，直线与此抛物线相交于 两点，则（
）．
A.B.C.D.
4. 设 为抛物线 ：的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则（ ）．
A.B.C.D.
5. 如图，已知 、 、 、 分别为抛物线的焦点 的直线 与抛物线和圆的交
点，若直线 的倾斜角为 ，则等于
3. 抛物线的通径
过焦点且与焦点所在的轴垂直的直线与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.
抛物线，将代入得,故抛物线的通径长为 .
这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是.
经典例题
在圆锥曲线中，我们把过焦点最短的弦称为通径，那么抛物线的通径为 ，则 （ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
已知抛物线
的焦点到准线的距离为 ，则此抛物线的所有经过焦点的弦之中最短弦长
为．
4. 知识总结
（一）范围
标准方程
图象
范围
（二）顶点
抛物线的顶点为
（三）对称性
抛物线对称轴及开口的判断方法：
.
（四）离心率
叫做抛物线的离心率，用 表示．
．
（五）焦半径
标准方程
焦半径
（六）抛物线的焦点弦
是抛物线过 的一条弦，设，，线段 的中点，相应的准线
方程为 ，有如下结论：
（1）
(焦点弦长与中点关系)；
（2）
（3）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；
（4） , 在准线上的投影分别为 ,,若 为
的中点，则
．
（5）抛物线种，设 为焦点弦， 为准线与 轴的交点，则；
（6）已知 是抛物线的焦点弦，且，,则：
（7）若 的延长线交准线于点 ,则 平行于 轴，反之，若过点 平行于 轴的直线交准线于点 ,则
．
（8）已知 是过抛物线焦点 的弦，则
（9）已知 是抛物线的焦点弦，且直线 的倾斜角为 ，则．并
且焦点弦中，通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短，为 ．
（七）抛物线的通径
抛物线
的通径长为
.这就是抛物线标准方程中 的一种几何意义.通径是
.
三、 轨迹方程求法
一般地，一条曲线可以看成动点依某种条件运动的轨迹，所以曲线的方程又常称为满足某种条件的点的
轨迹方程．
“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
1. 直接法与定义法
（一）直接法
定义：将动点满足的几何条件（本身就是一些几何量的等量关系或这些几何条件简单明了且易于表达）
“翻译成”含 的等式就得到曲线的轨迹方程.
求解步骤：
①建立直角坐标系；
②设动点 的坐标为；
③把几何条件转化为坐标表示；
④等价化简，根据范围或几何意义验证除去或补上相关的点．
（二）定义法
若能确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），则可用曲线定义直接
写出方程.
常见曲线轨迹的定义
①在平面内，到两定点的距离相等的点的轨迹是连接两定点的线段的垂直平分线；
②平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
③平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，以定长为半径的圆；
④平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹与这条直线平行的两条直线；
⑤平面内与两个定点 ， 距离之和等于常数（大于）的点的轨迹是椭圆；
⑥平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于且不等于零）的点的轨迹是双曲
线；
⑦平面内与一个定点 和一条定直线
的距离相等的点的轨迹是抛物线．
经典例题
1. 已知点，，直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
2. 已知动圆 与圆
，圆
均内切，则动圆圆心 的轨迹方程
是．
3.
平面内两个定点的距离为 ，则以两定点的中点为原点，两定点所在直线为坐标轴建立坐标系，到这两个定点的距离之差的绝对值为 的点的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.或D.或
巩固练习
1. 若动点
到点
的距离比它到直线
的距离小 ，则点 的轨迹方程为
．
2. 解答下列各题：
（ 1 ）动圆与定圆外切，且与直线相切，则动圆圆心 的轨迹是 （ ）．
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
（ 2 ）动点 到直线的距离减去它到点的距离等于 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
（ 3 ）动点 到直线的距离等于它到点的距离，则点 的轨迹是（ ）．
A. 直线B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
（ 4 ）点 到点的距离比它到直线的距离大 ，则点 的轨迹是（ ）．
A. 一条抛物线B. 一条双曲线C. 一个椭圆D. 以上都不对
3. 在中,，的周长是 ，则顶点 的轨迹方程是（ ）．
A.B.
C.D.
2. 待定系数法、相关点代入法与交轨法
（一）待定系数法
根据条件能知道曲线方程的类型，可设出其方程形式，再由条件确定其待定系数．
（二）相关点代入法
动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用 , 的代数
式表示，再将代入已知曲线得要求的轨迹方程．
（三）交轨法
在求动点轨迹时，有时会出现求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参
数）的坐标，再消去参数求出动点轨迹的方程，该方法经常与参数法并用．
经典例题
1. 求下列椭圆的标准方程：
（ 1 ）已知椭圆长轴是短轴的 倍，并且过点．
（ 2 ）已知椭圆经过两点、．
2. 如图，已知，直线 ：，点 为平面上的动点，过 作直线 的垂线，垂足为 ，
，求动点 的轨迹方程．
3. 已知点、、，动圆 与直线 相切于点 ，分别过点 、 且与圆 相切的两条
直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）．
A.B.
C.D.
4. 已知直线 ：和 ∶，则此两直线的交点 的轨迹方
程为．
巩固练习
1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（ 1 ）（ 2 ）
虚轴长为 ，离心率为 ．
焦点在 轴上，且两顶点间的距离为 ，渐近线方程为
．
2. 已知 是抛物线上的焦点， 是抛物线上的一个动点，若动点 满足，则 的轨迹
方程是．
3. 已知直线，．
（ 2 ）求 与 的交点 的轨迹方程 ．
3. 知识总结
（1）“轨迹方程”与“轨迹”区别
轨迹方程是坐标关系式，是一个方程；有时在方程后，根据需要指明变量的取值范围；
轨迹是点的集合，是曲线，所以说求轨迹方程和求轨迹是优不同要求的，求轨迹需要说明是什么曲线，
求轨迹方程则不需要说明.
（2）求轨迹方法
直接法、相关点代入法、待定系数法、定义法、交轨法
思维导图
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出门测
1. 已知以 为焦点的抛物线上的两点 、 满足， 为准线与 轴的交点，则：
（ 4 ）则的值为．
2. 已知 为抛物线 ：上一点，点 到 的焦点的距离为 ，到 轴的距离为 ，则 （
）．
A.B.C.D.
3. 已知定点，它与抛物线上的动点 连线的中点 的轨迹方程为（ ）．
A.B.C.D.
4.且，直线 的方程为，，则 ， 的交点轨迹方程为．
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