高中数学1.4 空间向量的应用导学案

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1.
（1）方向向量：一般地，如果 是空间中的一条直线， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与 平行或重合，则称 是直线 的一个方向向量.
（2）设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则有：
经典例题
1. 已知向量，分别是直线 ， 的方向向量，若，则（ ）．
A.，B.，C.，D.，
2. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，， ， 分别是
， 的中点．
（ 1 ）求证：．
巩固练习
1
1.的方向向量为， 的方向向量为，若，则 等于（ ）．
A.B.C.D.
2. 如图所示，在正方体
（ 1 ）求证：（ 2 ）求证：
．
．
中， 为 的中点．
2.
（1
①定义：如果 是空间中的一个平面， 是空间中的一个非零向量，且表示 的有向线段所在的直线与
平面 垂直，则称 为平面 的一个法向量．此时，也称 与平面 垂直，记作．
②性质：
（i）如果直线 垂直平面 ，则直线 的任意一个方向向量都是平面 的一个法向量；
（ii）如果 是平面 的一个法向量，则对任意的实数，空间向量 也是平面 的一个法向量，而且
平面 的任意两个法向量都平行；
（iii）如果 为平面 的一个法向量， 为平面 上一个已知的点，则对于平面 上任意一点 ，向量 一
定与向量 垂直，即，从而可知平面 的位置可由 和 唯一确定.
（2）
设 是平面 的一个法向量， 是直线 的方向向量，则：
；
或.
经典例题
1. 如图，在正方体
（ 1 ）求证：
平面
．
中， 为 的中点， 为 的中点．
2. 已知点，，，点，若平面，则点 的坐标为（ ）．
A.B.C.D.
3. 在正方体中， ， 分别是 ，的中点，
求证：平面．
巩固练习
1. 如图，在三棱锥中，底面，，点 ， ， 分别为棱 ， ， 的中
点， 是线段 的中点，
（ 1 ）求证：平面
．
，
．
2. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，
， 分别是 ， 的中点．证明：平面．
3.
设平面的法向量分别是，则
；
或 与 重合.
经典例题
1. 已知平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为，若，则实数 的值为（
）．
A.B.C.D.
2. 如图，正方体中， 、 分别为 、 的中点．
（ 1 ）用向量法证明平面平面．
3. 设，分别是平面 ， 的法向量．若 ，则实数 的值是（ ）．
A.B.C.D.
4.
已知平行四边形中，，平面平面，三角形为等边三角
形，
（ 1 ）
．
求证：平面
平面
．
巩固练习
1. 已知向量，，若 ， 分别是平面 ， 的法向量，且 ，则 （ ）．
A.B.C.D.
2. 已知正方体的棱长为 ， ， ， 分别为 ， ， 的中点，求证：平面
平面．
3. 如图，在四棱锥中，平面，平面，，
．
求证：平面平面．
4.
（1）直线与直线的平行与垂直关系
设直线 和 的方向向量分别为 和 ，则
或 与 重合或者
或者
（2）平面的法向量求解步骤①设向量
②选向量
③列方程组④解方程组⑤赋非零值⑥得结论
（2）直线与平面、平面与平面的平行与垂直关系
① 设 是平面 的一个法向量， 是直线 的方向向量，则：
；
或．
② 设 ， 分别是平面 的法向量，则：
或 与 重合；
、
1.
（1）
已知空间两点和，则两点之间的距离
．
（2）
点 是直线 外一点，若 是直线 的垂线段，则 的长度就是点 到直线 的距离，这一距离也等于
.
（3）
求平面 外一点 到平面 的距离的解题步骤：①建立适当的空间直角坐标系；
②找到平面 内一定点，如 ，求出向量 的坐标；③求出平面 的法向量 ；
④利用公式，求出点 到平面 的距离 ．
（4）
直线 与平面 平行， 是平面 的一个法向量， 分别是 上和 内的点，则直线 与平面 之间的距离为：
（5）
如果平面 和平面 平行， 是平面 的一个法向量（当然也是平面 的一个法向量）， 和 分别是平面
和平面 内的点，则平面 和平面 之间的距离为：.
经典例题
长方形中，， ， 分别是 ，的中点（图 ）．将此长方形沿 对
折，使二面角为直二面角， 是 的中点（图 ）．
图图
（ 1 ）求 到面的距离．
（ 2 ）求 到 的距离．
巩固练习
1. 在正四棱锥中， 为顶点 在底面内的正投影， 为侧棱 的中点，且
，则异面直线 与 的距离为（ ）．
A.B.C.D.
2. 如图所示，在长方体中，，，点 是棱 的中点，则点
到平面的距离为（ ）．
A.B.C.D.
2.
设两条异面直线所成的角为 ，则设两条异面直线的方向向量分别为
， ．
，则其夹角
与 相等或互补．
注意：两条直线夹角的范围：；两条异面直线夹角的范围：
（1）利用向量法求异面直线所成角的步骤：
①建系：选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；
②定向量：确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量；③计算：利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
④下结论：两异面直线所成角的余弦值等于两方向向量夹角余弦值的绝对值.
（2）注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取值范围.
经典例题
如图，在所有棱长均为 的直三棱柱中， 、 分别为 、的中点，则异面直线
、 所成角的余弦值为（ ）．
A.B.C.D.
巩固练习
1. 如图，四棱锥中，平面，，，，则
异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）．
A.B.C.D.
2. 如图，在三棱锥，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面
平面， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为．
3.
直线与其在平面内的射影所成的角称为直线与平面所成的角．
由此得出：
①若直线与平面垂直，则直线与平面所成角为 ；
②若直线与平面平行，则直线与平面所成角为 ．直线与平面所成角的取值范围是
求解直线 与平面 所成角的步骤：①建立合理的空间直角坐标系；
②求出直线 的方向向量 和平面 的法向量 ；
③设直线与平面 所成角为，则
：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）. ②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
.
经典例题
1. 如图正三棱柱的底面边长为 ，侧棱长为 ，则 与侧面所成的角
为．
2. 在正方体中， 为线段 的中点，点 在线段上，则直线 与平面所
成角的正弦值的取值范围是（ ）．
A.B.C.D.
3.
如图，在四棱台中，底面为正方形，侧棱平面，
．
（ 1 ）（ 2 ）
求证：平面平面．
在线段 上是否存在一点 ，使 与平面
所成的角的正弦值为
?若存在，指出
点 的位置，若不存在，说明理由．
巩固练习
1. 在三棱锥中，，，点 是 的中点，底面，则直线 与
平面所成角的正弦值为．
2. 如图，在正方体中，点 是线段 上的动点，则直线 与平面所成的最大
角的余弦值为．
3. 如图，四棱锥中，菱形所在的平面，， 是 中点， 是 上的
点．
（ 1 ）求证：平面平面．
（ 2 ）若 是 的中点，当时，是否存在点 ，使直线 与平面的所成角的正弦值为
？若存在，请求出 的值，若不存在，请说明理由．
4.
平面 与平面 相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于 的二面角称为平面 与平面 的夹角．
所形成的二面角的大小与两个平面的夹角相等或互补．
所以平面与平面的夹角的范围是，二面角的范围是
分别求出两个平面的法向量，设二面角为 ，，
若 为锐角，则若 为钝角，则
经典例题
1. 如图，四棱锥
中，
平面
，底面
是正方形，
， 为 上一
点，当 为 的中点时， 平行于平面．
（ 1 ）（ 2 ）
求证：
求二面角
平面
；
的余弦值．
2. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平
面平面，且．
（ 1 ）（ 2 ）
求证：
求二面角
平面
．
的正弦值．
3. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．
（ 1 ）求证：直线平面．
（ 2 ）（ 3 ）
求直线 与平面所成角的正切值．
设点 在线段 上，且二面角
的余弦值为 ，求点 到底面
的距离．
巩固练习
1. 如图在直角中， 为直角，， ， 分别为 ， 的中点，将沿 折起，使
点 到达点 的位置，连接 ， ， 为 的中点．
（ 1 ）（ 2 ）
证明：
若
面．
，求二面角
的余弦值．
2. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，
．
（ 1 ）（ 2 ）
证明 丄 ；求二面角
的正弦值；
3. 如图，在四棱锥中，平面平面，且四边形为矩形，，
，， ， 分别为 ， 的中点， 在线段 上（不包括端点）．
（ 1 ）求证：平面．
（ 2 ）（ 3 ）
求证：平面平面
是否存在点 ，使得二面角
．
的大小为 ？若存在，求 ；若不存在，说明理由．
5.
（1）利用空间向量研究距离问题
①点到直线距离公式
②点到平面距离公式
③相互平行的直线与平面间的距离
向量法求线线角
向量法求线面角
向量法求二面角
求二面角的大小，先求出两个半平面的法向量的夹角，然后根据二面角与其大小相等或互补求出二面角的大小．
思维导图
你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！
出门测
1. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，， 是 的中
点，
（ 1 ）（ 2 ）
．
证明：
证明：
平面
平面
．
．
2. 如图所示，四棱锥中，底面是一个边长为 的正方形，平面，，那
么点 到平面的距离为（ ）．
A.B.C.D.
3. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点 在线段 上，
平面，，．
（ 1 ）求证： 为 中点．
（ 2 ）（ 3 ）
求二面角
求直线 与平面
的大小．
所成角的正弦值．
18