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高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.4 圆的方程同步训练题，文件包含弦长与面积问题-讲义教师版docx、弦长与面积问题-讲义学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
弦长与面积问题
一、 直线与圆锥曲线的位置关系
1. 位置关系的判断方法
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：、、 ． 方法主要有二：
（1）几何判断：判断直线是否恒过圆锥曲线“内部”的一定点，如果过曲线“内部”一点的话，那直线必然与圆锥曲线有交点.
（2）判别式法：设直线 ：，圆锥曲线方程 ：，
联立两个方程，消去 （或消去 ）得：，．
由于方程的解就是曲线的交点，故可以利用判别式确定交点个数：
相交，直线与圆锥曲线有交点；
相切，直线与圆锥曲线有交点；
相离，直线与圆锥曲线 交点.
例题讲解
1. 已知椭圆经过，两点． 为坐标原点，且的面积
为 ，过点且斜率为的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ， ，且直线 ，
分别与 轴交于点 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（ 2 ）求直线 的斜率 的取值范围；
巩固练习
2. 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆
交于 ， 两点，点 为椭圆 的左焦点．
求证：直线 与椭圆 相切．
3. 已知 、 、 为椭圆上三个不同的点， 为坐标原点．
若，问：是否存在恒与直线 相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请
说明理由．
登堂入室
4. 已知椭圆 :，圆 ：( 为坐标原点)．过点且斜率为 的
直线与圆 交于点，与椭圆 的另一个交点的横坐标为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程和圆 的方程．
（ 2 ）过圆 上的动点 作两条互相垂直的直线 ， ，若直线 的斜率为
且 与椭圆 相
切，试判断直线 与椭圆 的位置关系，并说明理由．
登峰造极
5. 设 是坐标原点，以 ， 为焦点的椭圆的长轴长为 ，以为
直径的圆和 恰好有两个交点．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ） 是 外的一点，过 的直线 ， 均与 相切，且 ， 的斜率之积为，
记 为的最小值，求 的取值范围．
二、 弦长问题
1. 弦长公式
连结圆锥曲线上不同的两个点的线段称为圆锥曲线的弦，该线段的长度称为弦长.
y
B
x
A
若直线的斜率为 ，与圆锥曲线交点坐标分别为和，则弦长为
或
其中， 与 分别表示直线与圆锥曲线联立消元以后的关于 或 的判别式.
例题讲解
6. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆 的方程．
经过点
，一个焦点是
．
（ 2 ）若倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且，求直线 的方程．
巩固练习
7. 已知 是椭圆
的左顶点，斜率为
的直线交 于 、 两点，点 在 上，
且．
当时，求 的值．
8. 设椭圆的离心率为 ，直线 过点、，且与椭圆 相切于
点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）是否存在过点
的直线 与椭圆 相交于不同两点 、 ，使得
成立？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
登堂入室
9. 已知椭圆 与的离心率相同，过 的右焦点且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的
线段长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）若直线
与椭圆 ， 的交点从上到下依次为
，且
，求 的
值．
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在
椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）
设直线与椭圆 相交于 ， 两点，与圆相交于 ， 两
点，当的值为 时，求直线 的方程．
2. 弦长取值范围
例题讲解
11. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆 的方程．
经过点
，且右焦点
．
（ 2 ）若直线与椭圆 交于 ， 两点，当最大时，求直线 的方程．
巩固练习
12. 已知椭圆过点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）若椭圆 上存在三个不同的点 ， ， ，满足
且离心率为 ．
，求弦长
的取值范围．
13. 在平面直角坐标系 中，已知定点，点 在 轴的非正半轴上运动，点 在 轴上运动，满
足，点 关于点 的对称点为 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）已知点，动直线与 相交于 ， 两点，求过 ， ， 三点的圆在直线
上截得的弦长的最小值．
登堂入室
14. 已知椭圆的离心率为 ，右顶点 到左焦点的距离为 ，直线 与椭圆
交于点 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）设直线 ， 的斜率为 ， ．若，求的最小值．
15. 如图，已知圆 的方程为，圆 的方程为，若动圆 与圆
内切，与圆 外切．
（ 1 ）求动圆圆心 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过直线上的点 作圆 ：的两条切线，设切点分别为 ， ，若直线与
轨迹 交于 ， 两点，求的最小值．
登峰造极
16. 已知椭圆 ：（）的左焦点，点在椭圆 上，
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）经过圆 ：
上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ， ，直线 ，
分别与圆 相交于异于点 的 ， 两点．
1
当直线 ， 的斜率都存在时，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证：
．
2 求的取值范围．
三、 面积问题
1. 三角形的面积
例题讲解
17. 已知焦点在 轴的椭圆 的离心率为 ，且过点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
．
（ 2 ）直线与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点，求的面积．
（1）常规法求三角形面积：
例如研究圆锥曲线中以曲线上一点
，一条弦 为底的三角形的面积：
Py
B
x
A
设若直线 方程为：，则有：
高，底边
从而有.
18. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆的方程；
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
．
（ 2 ）过左焦点 的直线与椭圆分别交于 、 两点，若三角形的面积为，求直线 的方
程．
（2）铅垂法求三角形面积：
例如研究圆锥曲线中以原点为顶点，一条弦为底的三角形的面积：
y
O
x
当直线经过 轴一定点时，可设直线方程为（平行于 轴的直线要另外讨论），则
面积为；
当直线经过 轴一定点时，可设直线方程为（平行于 轴的直线要另外讨论），则
面积为.
19. 如图，分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线
与椭圆 的另一个交点，
（ 1 ）求椭圆 的离心率；
．
（ 2 ）已知的面积为，求 的值．
（3）利用其他三角面积公式进行面积计算：
如使用，利用定理表示边角关系；
或（其中 是三角形的）等.
巩固练习
20. 已知点 ， 的坐标分别为，，三角形的两条边 ， 所在直线的斜率之积
为 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
（ 2 ）设直线 方程为
，直线 方程为
，直线 交 于 ，点 ， 关于
轴对称，直线 与 轴相交于点 ．若面积为 ，求 的值．
21. 已知椭圆的离心率为 ，过左焦点且斜率为 的直线交椭
圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 ：（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）求证：点 在直线 上．
交椭圆 于 ， 两点．
（ 3 ）是否存在实数 ，使得三角形的面积是三角形的 倍？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由．
登堂入室
22. 已知 、 、 为椭圆
上三个不同的点， 为坐标原点．
若，求的面积．
2. 三角形面积的取值范围
例题讲解
23. 已知椭圆的离心率为 ，点在椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）
若不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，并且点 是线段 的中
点，求面积的最大值．
巩固练习
24. 圆 的方程为：， 为圆上任意一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 上，且
．
（ 1 ）求点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过点的直线与曲线 交于 、 两点，点 的坐标为，的面积为 ，
求 的最大值及 取得最大值时直线 的方程．
25. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆方程．
的一个焦点为
，且离心率为 ．
（ 2 ）过点且斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求
面积的最大值．
登堂入室
26. 已知椭圆的方程为，其离心率，且短轴的一个端点与两焦点组成
的三角形面积为 ，过椭圆上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足，设点 的轨迹
为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）若直线 与曲线 相切，且交椭圆于 、 ，
，
，记
的面积为 ，
的面积为 ，求的最大值．
27. 已知离心率为 的椭圆 ：与抛物线 ：有相同的焦点
，且抛物线经过点， 是坐标原点．
（ 1 ）求椭圆和抛物线的标准方程．
（ 2 ）已知直线 ：与抛物线交于 ， 两点，与椭圆交于 ， 两点，若的内切
圆圆心始终在直线 上，求面积的最大值．
登峰造极
28. 如图，已知抛物线与椭圆交于点 ， ，且抛物线 在
点 处的切线 与椭圆 在点 处的切线 互相垂直．
y
x
O
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
（ 2 ）设 与 交于点 ， 与 交于点 ，求
面积的最小值．
3. 四边形面积
例题讲解
29. 已知椭圆的左、上顶点分别为 、 ，的面积为 （ 为原
点），点 是 上一点， 在 轴上的射影恰为 的右焦点，且（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）过点作直线 与椭圆 交于 、 两点，点 满足
．
，求四边形
面积的最大值及此时直线 的方程．
（1）常规法求平行四边形面积：
在平行四边形中，若有： ：， ：
则可以算出底.
高即两条直线间的距离.
从而有
30. 已知椭圆 ：的离心率为 ，，，，的面
积为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求
证：四边形的面积为定值．
（2）对角线互相垂直的四边形面积求法：
在平行四边形中，若有，则
31. 已知点，点 是圆上的动点，线段 的垂直平分线与相交于点
，点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ）过点 作倾斜角互补的两条直线 ， ，若直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 与圆 交
于 ， 两点，当 ， ， ， 四点构成四边形，且四边形的面积为 时，求直
线 的方程．
（3）将平行四边形分割成一些三角形进行面积计算.
巩固练习
32. 已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
为其上一点，且
．
（ 2 ）过 的直线 与椭圆 交与 ， 两点，过 与 平行的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求四
边形的面积的最大值．
33.的圆心为 ，直线 过点且与 轴不重合， 交圆 于 ， 两点，过
作 的平行线交 于点 ．
（ 1 ）证明为定值，并写出点 的轨迹方程；
（ 2 ）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ， 两
点，求四边形面积的取值范围．
34. 已知椭圆的离心率为 ，且经过点，过点 且斜率为 的
直线 与抛物线的交于点 ， ，且 为 的中点．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程及点 的纵坐标．
（ 2 ）若过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求四边形
的面积的最大值及
此时抛物线 的方程．
10
弦长与面积问题
一、 直线与圆锥曲线的位置关系
1. 位置关系的判断方法
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：、、 ． 方法主要有二：
（1）几何判断：判断直线是否恒过圆锥曲线“内部”的一定点，如果过曲线“内部”一点的话，那直线必然与圆锥曲线有交点.
（2）判别式法：设直线 ：，圆锥曲线方程 ：，
联立两个方程，消去 （或消去 ）得：，．
由于方程的解就是曲线的交点，故可以利用判别式确定交点个数：
相交，直线与圆锥曲线有交点；
相切，直线与圆锥曲线有交点；
相离，直线与圆锥曲线 交点.
例题讲解
1. 已知椭圆经过，两点． 为坐标原点，且的面积
为 ，过点且斜率为的直线 与椭圆 有两个不同的交点 ， ，且直线 ，
分别与 轴交于点 ， ．
（1）求椭圆 的方程；
（ 2 ）求直线 的斜率 的取值范围；
巩固练习
2. 已知点为椭圆上任意一点，直线与圆
交于 ， 两点，点 为椭圆 的左焦点．
求证：直线 与椭圆 相切．
3. 已知 、 、 为椭圆上三个不同的点， 为坐标原点．
若，问：是否存在恒与直线 相切的圆？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请
说明理由．
登堂入室
4. 已知椭圆 :，圆 ：( 为坐标原点)．过点且斜率为 的
直线与圆 交于点，与椭圆 的另一个交点的横坐标为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程和圆 的方程．
（ 2 ）过圆 上的动点 作两条互相垂直的直线 ， ，若直线 的斜率为
且 与椭圆 相
切，试判断直线 与椭圆 的位置关系，并说明理由．
登峰造极
5. 设 是坐标原点，以 ， 为焦点的椭圆的长轴长为 ，以为
直径的圆和 恰好有两个交点．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ） 是 外的一点，过 的直线 ， 均与 相切，且 ， 的斜率之积为，
记 为的最小值，求 的取值范围．
二、 弦长问题
1. 弦长公式
连结圆锥曲线上不同的两个点的线段称为圆锥曲线的弦，该线段的长度称为弦长.
y
B
x
A
若直线的斜率为 ，与圆锥曲线交点坐标分别为和，则弦长为
或
其中， 与 分别表示直线与圆锥曲线联立消元以后的关于 或 的判别式.
例题讲解
6. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆 的方程．
经过点
，一个焦点是
．
（ 2 ）若倾斜角为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且，求直线 的方程．
巩固练习
7. 已知 是椭圆
的左顶点，斜率为
的直线交 于 、 两点，点 在 上，
且．
当时，求 的值．
8. 设椭圆的离心率为 ，直线 过点、，且与椭圆 相切于
点 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）是否存在过点
的直线 与椭圆 相交于不同两点 、 ，使得
成立？若存在，求出直线 的方程，若不存在，说明理由．
登堂入室
9. 已知椭圆 与的离心率相同，过 的右焦点且垂直于 轴的直线被椭圆 截得的
线段长为 ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）若直线
与椭圆 ， 的交点从上到下依次为
，且
，求 的
值．
10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在
椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）
设直线与椭圆 相交于 ， 两点，与圆相交于 ， 两
点，当的值为 时，求直线 的方程．
2. 弦长取值范围
例题讲解
11. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆 的方程．
经过点
，且右焦点
．
（ 2 ）若直线与椭圆 交于 ， 两点，当最大时，求直线 的方程．
巩固练习
12. 已知椭圆过点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）若椭圆 上存在三个不同的点 ， ， ，满足
且离心率为 ．
，求弦长
的取值范围．
13. 在平面直角坐标系 中，已知定点，点 在 轴的非正半轴上运动，点 在 轴上运动，满
足，点 关于点 的对称点为 ，设点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）已知点，动直线与 相交于 ， 两点，求过 ， ， 三点的圆在直线
上截得的弦长的最小值．
登堂入室
14. 已知椭圆的离心率为 ，右顶点 到左焦点的距离为 ，直线 与椭圆
交于点 ， ．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）设直线 ， 的斜率为 ， ．若，求的最小值．
15. 如图，已知圆 的方程为，圆 的方程为，若动圆 与圆
内切，与圆 外切．
（ 1 ）求动圆圆心 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过直线上的点 作圆 ：的两条切线，设切点分别为 ， ，若直线与
轨迹 交于 ， 两点，求的最小值．
登峰造极
16. 已知椭圆 ：（）的左焦点，点在椭圆 上，
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）经过圆 ：
上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ， ，直线 ，
分别与圆 相交于异于点 的 ， 两点．
1
当直线 ， 的斜率都存在时，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证：
．
2 求的取值范围．
三、 面积问题
1. 三角形的面积
例题讲解
17. 已知焦点在 轴的椭圆 的离心率为 ，且过点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
．
（ 2 ）直线与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点，求的面积．
（1）常规法求三角形面积：
例如研究圆锥曲线中以曲线上一点
，一条弦 为底的三角形的面积：
Py
B
x
A
设若直线 方程为：，则有：
高，底边
从而有.
18. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆的方程；
（
）右顶点与右焦点的距离为
，短轴长为
．
（ 2 ）过左焦点 的直线与椭圆分别交于 、 两点，若三角形的面积为，求直线 的方
程．
（2）铅垂法求三角形面积：
例如研究圆锥曲线中以原点为顶点，一条弦为底的三角形的面积：
y
O
x
当直线经过 轴一定点时，可设直线方程为（平行于 轴的直线要另外讨论），则
面积为；
当直线经过 轴一定点时，可设直线方程为（平行于 轴的直线要另外讨论），则
面积为.
19. 如图，分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线
与椭圆 的另一个交点，
（ 1 ）求椭圆 的离心率；
．
（ 2 ）已知的面积为，求 的值．
（3）利用其他三角面积公式进行面积计算：
如使用，利用定理表示边角关系；
或（其中 是三角形的）等.
巩固练习
20. 已知点 ， 的坐标分别为，，三角形的两条边 ， 所在直线的斜率之积
为 ．
（ 1 ）求点 的轨迹方程．
（ 2 ）设直线 方程为
，直线 方程为
，直线 交 于 ，点 ， 关于
轴对称，直线 与 轴相交于点 ．若面积为 ，求 的值．
21. 已知椭圆的离心率为 ，过左焦点且斜率为 的直线交椭
圆 于 ， 两点，线段 的中点为 ，直线 ：（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）求证：点 在直线 上．
交椭圆 于 ， 两点．
（ 3 ）是否存在实数 ，使得三角形的面积是三角形的 倍？若存在，求出 的值；若不
存在，说明理由．
登堂入室
22. 已知 、 、 为椭圆
上三个不同的点， 为坐标原点．
若，求的面积．
2. 三角形面积的取值范围
例题讲解
23. 已知椭圆的离心率为 ，点在椭圆 上．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
（ 2 ）
若不过原点的直线 与椭圆 交于 ， 两点，与直线 交于点 ，并且点 是线段 的中
点，求面积的最大值．
巩固练习
24. 圆 的方程为：， 为圆上任意一点，过 作 轴的垂线，垂足为 ，点 在 上，且
．
（ 1 ）求点 的轨迹 的方程．
（ 2 ）过点的直线与曲线 交于 、 两点，点 的坐标为，的面积为 ，
求 的最大值及 取得最大值时直线 的方程．
25. 已知椭圆
（ 1 ）求椭圆方程．
的一个焦点为
，且离心率为 ．
（ 2 ）过点且斜率为 的直线与椭圆交于 ， 两点，点 关于 轴的对称点为 ，求
面积的最大值．
登堂入室
26. 已知椭圆的方程为，其离心率，且短轴的一个端点与两焦点组成
的三角形面积为 ，过椭圆上的点 作 轴的垂线，垂足为 ，点 满足，设点 的轨迹
为曲线 ．
（ 1 ）求曲线 的方程．
（ 2 ）若直线 与曲线 相切，且交椭圆于 、 ，
，
，记
的面积为 ，
的面积为 ，求的最大值．
27. 已知离心率为 的椭圆 ：与抛物线 ：有相同的焦点
，且抛物线经过点， 是坐标原点．
（ 1 ）求椭圆和抛物线的标准方程．
（ 2 ）已知直线 ：与抛物线交于 ， 两点，与椭圆交于 ， 两点，若的内切
圆圆心始终在直线 上，求面积的最大值．
登峰造极
28. 如图，已知抛物线与椭圆交于点 ， ，且抛物线 在
点 处的切线 与椭圆 在点 处的切线 互相垂直．
y
x
O
（ 1 ）求椭圆 的离心率．
（ 2 ）设 与 交于点 ， 与 交于点 ，求
面积的最小值．
3. 四边形面积
例题讲解
29. 已知椭圆的左、上顶点分别为 、 ，的面积为 （ 为原
点），点 是 上一点， 在 轴上的射影恰为 的右焦点，且（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）过点作直线 与椭圆 交于 、 两点，点 满足
．
，求四边形
面积的最大值及此时直线 的方程．
（1）常规法求平行四边形面积：
在平行四边形中，若有： ：， ：
则可以算出底.
高即两条直线间的距离.
从而有
30. 已知椭圆 ：的离心率为 ，，，，的面
积为 ．
（ 1 ）求椭圆 的方程．
（ 2 ）设 为第三象限内一点且在椭圆 上，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求
证：四边形的面积为定值．
（2）对角线互相垂直的四边形面积求法：
在平行四边形中，若有，则
31. 已知点，点 是圆上的动点，线段 的垂直平分线与相交于点
，点 的轨迹为曲线 ．
（ 1 ）求 的方程．
（ 2 ）过点 作倾斜角互补的两条直线 ， ，若直线 与曲线 交于 ， 两点，直线 与圆 交
于 ， 两点，当 ， ， ， 四点构成四边形，且四边形的面积为 时，求直
线 的方程．
（3）将平行四边形分割成一些三角形进行面积计算.
巩固练习
32. 已知 ， 为椭圆 的左、右焦点，点
（ 1 ）求椭圆 的标准方程．
为其上一点，且
．
（ 2 ）过 的直线 与椭圆 交与 ， 两点，过 与 平行的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求四
边形的面积的最大值．
33.的圆心为 ，直线 过点且与 轴不重合， 交圆 于 ， 两点，过
作 的平行线交 于点 ．
（ 1 ）证明为定值，并写出点 的轨迹方程；
（ 2 ）设点 的轨迹为曲线 ，直线 交 于 ， 两点，过 且与 垂直的直线与圆 交于 ， 两
点，求四边形面积的取值范围．
34. 已知椭圆的离心率为 ，且经过点，过点 且斜率为 的
直线 与抛物线的交于点 ， ，且 为 的中点．
（ 1 ）求椭圆 的标准方程及点 的纵坐标．
（ 2 ）若过点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，求四边形
的面积的最大值及
此时抛物线 的方程．
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