专题01 绝对值的三种化简方法-2023-2024人教版七年级数学上学期期末复习培优专题

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【知识点梳理】
1.绝对值的定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
2.绝对值的意义
①代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；
②几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。
3.绝对值的化简：
类型一、利用数轴化简绝对值
例1．有理数a、b、c在数轴上位置如图，则的值为( )．
A．B．C．0D．
例2．有理数，在数轴上对应的位置如图所示，那么代数式的值是( )
A．-1B．1C．3D．-3
【变式训练1】已知，数、、的大小关系如图所示：化简____．
【变式训练2】有理数a、b、c在数轴上的位置如图．
(1)判断正负，用“>”或“<”填空： ， ， ．
(2)化简：
【变式训练3】有理数，在数轴上的对应点如图所示：
(1)填空：______0；______0；______0；(填“＜”、“＞”或“＝”)
(2)化简：
【变式训练4】有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
(1)用“＞”或“＜”填空a_____0，b_____0，c﹣b______0，ab_____0．
(2)化简：|a|+|b+c|﹣|c﹣a|．
类型二、利用几何意义化简绝对值
例1.同学们都知道，|5-(-2)|表示5与-2之差的绝对值，实际上也可理解为5与-2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索
(1)求|5-(-2)|=________；
(2)同样道理|x+1008|=|x-1005|表示数轴上有理数x所对点到-1008和1005所对的两点距离相等，则x=________；
(3)类似的|x+5|+|x-2|表示数轴上有理数x所对点到-5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7，这样的整数是__________．
(4)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x-3|+|x-6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【变式训练1】阅读下面的材料：
点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为∣AB∣，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣；当A、B两点都不在原点时：
①如图2，点A、B都在原点的右边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣；
②如图3，点A、B都在原点的左边：
∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-(-a)=∣a-b∣；
③如图4，点A、B在原点的两边：
∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+(-b)=∣a-b∣，
综上，数轴上A、B两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．
回答下列问题：
(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是________，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是___________；
(2)数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么x为__________．
(3)当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是__________．
【变式训练2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

(1)数轴上表示4和1的两点之间的距离是 ；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是 ；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离可以表示为|m﹣n|．那么，数轴上表示数x与5两点之间的距离可以表示为 ，表示数y与﹣1两点之间的距离可以表示为 ．
(2)如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝ ；若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；
(3)当a＝ 时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是 ．
【变式训练3】(问题提出)的最小值是多少？
(阅读理解)为了解决这个问题，我们先从最简单的情况入手．的几何意义是这个数在数轴上对应的点到原点的距离，那么可以看作这个数在数轴上对应的点到1的距离；就可以看作这个数在数轴上对应的点到1和2两个点的距离之和．下面我们结合数轴研究的最小值．
我们先看表示的点可能的3种情况，如图所示：
(1)如图①，在1的左边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．
(2)如图②，在1，2之间(包括在1，2上)，看出到1和2的距离之和等于1．
(3)如图③，在2的右边，从图中很明显可以看出到1和2的距离之和大于1．因此，我们可以得出结论：当在1，2之间(包括在1，2上)时，有最小值1．
(问题解决)
(1)的几何意义是 ，请你结合数轴探究：的最小值是 ．
(2)请你结合图④探究的最小值是 ，由此可以得出为 ．
(3)的最小值为 ．
(4)的最小值为 ．
(拓展应用)如图，已知使到-1，2的距离之和小于4，请直接写出的取值范围是 ．
类型三、分类讨论法化简绝对值
例1.化简：.
【变式训练1】若，则的值为_________．
【变式训练2】(1)数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求的值．
请补充以下解答过程(直接填空)
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x= ；②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，x= ；③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x= ；综上，当a，b均不为零，求x的值为 ．
(2)请仿照解答过程完成下列问题：
①若a，b，c均不为零，求的值．
②若a，b，c均不为零，且a+b+c=0，直接写出代数式的值．